第2問微分法の解答・解説

接線の傾き・直交条件・2次方程式の係数比較・すべて求める当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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グラフが $y = x^{2}$ のグラフと2点で直交する2次関数をすべて求める

答 $y = p x^{2} + \frac{p - 1}{4 p}$ （ $p < 0$ ）、および $y = - x^{2} + q x + \frac{1}{2}$ （ $q$ は任意の実数）

$y = p x^{2} + q x + r$ とおく。共有点の $x$ 座標は「2つの式を等しいとおいた2次方程式」の解、直交条件は「傾きの積が $- 1$ 」というもう1本の2次方程式の解である。2点とも直交するということは、この2本の2次方程式が同じ2解をもつ、つまり係数が比例するということになる。

求める2次関数を $g (x) = p x^{2} + q x + r$ （ $p \neq = 0$ ）とする。共有点の $x$ 座標を $t$ とすると

t^{2} = p t^{2} + q t + r ⟺ (1 - p) t^{2} - q t - r = 0 \dots ①

である。また $y = x^{2}$ の $t$ での接線の傾きは $2 t$ 、 $g$ のほうは $2 pt + q$ で、直交条件は

2 t (2 pt + q) = - 1 ⟺ 4 p t^{2} + 2 q t + 1 = 0 \dots ②

である。

2本が同じ2解をもつ条件。 ② は $4 p \neq = 0$ より2次式で、解は高々2個である。「2点で直交する」とは、① の解がちょうど2個あり、そのどちらも ② をみたすということである。

$1 - p = 0$ だと ① は1次以下になり解が2個にならない（ $q = r = 0$ なら同じ放物線になって共有点が無数）。よって $p \neq = 1$ で、① も2次式である。2次式どうしが同じ2解をもつので、係数が比例する。比例定数を $λ$ として

(1 - p, - q, - r) = λ (4 p, 2 q, 1)

である。第3成分から $λ = - r$ で、残り2本は

1 - p = - 4 p r, - q = - 2 q r

すなわち

r = \frac{p - 1}{4 p}, q (2 r - 1) = 0

となる。ここで

2 r - 1 = \frac{p - 1}{2 p} - 1 = \frac{- p - 1}{2 p}

なので、 $2 r - 1 = 0$ は $p = - 1$ と同値である。よって条件は

r = \frac{p - 1}{4 p} かつ (q = 0 または p = - 1)

である。

解が2個あるための条件。 ① の判別式は、 $r = \frac{p - 1}{4 p}$ を使うと

q^{2} + 4 (1 - p) r = q^{2} - \frac{( 1 - p ) ^{2}}{p}

である。 $p > 0$ の場合、 $q = 0$ か $p = - 1$ のうち使えるのは $q = 0$ だけで、そのとき判別式は $- \frac{( 1 - p ) ^{2}}{p} < 0$ （ $p \neq = 1$ ）となり不適。 $p < 0$ なら $- \frac{( 1 - p ) ^{2}}{p} > 0$ なので、 $q$ が何であれ判別式は正である。したがって $p < 0$ が必要十分である。

まとめ。 求める2次関数は

y = p x^{2} + \frac{p - 1}{4 p} (p < 0) および y = - x^{2} + q x + \frac{1}{2} (q \in R)

である（ $p = - 1$ 、 $q = 0$ のときは両方に現れる同じ関数 $y = - x^{2} + \frac{1}{2}$ である）。

p = - \frac{1}{4}

の例。

y = x^{2}

と

y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{5}{4}

は

(\pm 1, 1)

で交わり、そこでの接線の傾きは

2

と

- \frac{1}{2}

（破線）で積が

- 1

になる。

$p = - \frac{1}{4}$ なら $r = \frac{- \frac{5}{4}}{- 1} = \frac{5}{4}$ で $g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{5}{4}$ 。共有点は $x = \pm 1$ で、 $x = 1$ では傾きが $2$ と $- \frac{1}{2}$ 、 $x = - 1$ では $- 2$ と $\frac{1}{2}$ となり、どちらも積が $- 1$ である。 $p = - 1$ 、 $q = 2$ 、 $r = \frac{1}{2}$ でも、共有点 $x = \frac{1 \pm 2}{2}$ の両方で積が $- 1.0000$ になった。