第1問積分法の解答・解説

絶対値を含む関数・接する条件・判別式・面積当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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$C : y = ∣ x ∣ x - 3 x + 1$ と $ℓ : y = x + a$ （ $a < 0$ ）が接する $a$ を求め、 $C$ と $ℓ$ で囲まれた部分の面積を求める

答 $a = - 3$ 、面積は $\frac{48 + 32 2}{3}$

$∣ x ∣ x$ は $x \geq 0$ で $x^{2}$ 、 $x < 0$ で $- x^{2}$ なので、 $C$ は2つの放物線をつないだ曲線である。枝ごとに「接する」＝判別式 $0$ で $a$ の候補を出し、接点がその枝にあるかを確かめる。面積は、接しているほうの差が完全平方になるので軽く計算できる。

$C$ は

y = {x^{2} - 3 x + 1 - x^{2} - 3 x + 1 (x \geq 0) (x < 0)

である（ $x = 0$ でつながり、傾きも $- 3$ で一致する）。

接する $a$ を探す。 $x \geq 0$ の枝で $x^{2} - 3 x + 1 = x + a$ とすると

x^{2} - 4 x + (1 - a) = 0

で、判別式 $16 - 4 (1 - a) = 0$ より $a = - 3$ 。このとき $x = 2 (\geq 0)$ で、確かにこの枝の上である。 $a = - 3 < 0$ も条件をみたす。

$x < 0$ の枝で $- x^{2} - 3 x + 1 = x + a$ とすると $x^{2} + 4 x + (a - 1) = 0$ で、判別式 $16 - 4 (a - 1) = 0$ より $a = 5$ 。これは $a < 0$ に反するので不適である。よって

a = - 3

である。

交点をすべて求める。 $a = - 3$ 、 $ℓ : y = x - 3$ とする。

$x \geq 0$ ： $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ より $x = 2$ （接点）。
$x < 0$ ： $x^{2} + 4 x - 4 = 0$ より $x = - 2 \pm 22$ 。 $- 2 + 22 = 0.83 > 0$ は枝の外なので不適、 $x = - 2 - 22$ だけが交点。

$β = - 2 - 22$ とおく。 $β \leq x \leq 2$ では $C$ が $ℓ$ の上側にある。実際

x \geq 0 x < 0 : (x^{2} - 3 x + 1) - (x - 3) = (x - 2)^{2} \geq 0 : (- x^{2} - 3 x + 1) - (x - 3) = - (x^{2} + 4 x - 4)

で、後者は $β < x < - 2 + 22$ で正である。

面積。

S = \int_{β}^{0} (- x^{2} - 4 x + 4) d x + \int_{0}^{2} (x - 2)^{2} d x

である。後ろは

\int_{0}^{2} (x - 2)^{2} d x = [\frac{( x - 2 ) ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3}

である。前は、 $β^{2} = 12 + 82$ 、 $β^{3} = - 56 - 402$ を使って

\int_{β}^{0} (- x^{2} - 4 x + 4) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x]_{β}^{0} = \frac{β ^{3}}{3} + 2 β^{2} - 4 β = \frac{- 56 - 40 2}{3} + (24 + 162) + (8 + 82) = \frac{- 56 - 40 2 + 96 + 72 2}{3} = \frac{40 + 32 2}{3}

である。合わせて

S = \frac{40 + 32 2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{48 + 32 2}{3}

である（ $31.08$ ほど）。

C : y = ∣ x ∣ x - 3 x + 1

と

ℓ : y = x - 3

。

x = 2

で接し、

x = - 2 - 22 = - 4.83

で交わる。囲まれた部分の面積は

\frac{48 + 32 2}{3} = 31.08

。

$a = - 3$ のとき $x = 2$ で $C$ も $ℓ$ も $- 1$ 、 $x = - 2 - 22 = - 4.828427$ でどちらも $- 7.828427$ になる。囲まれた部分の面積を $400$ 万点の数値積分で求めると $31.084944665$ で、 $\frac{48 + 32 2}{3} = 31.084944665$ と一致する。