独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全5問・無料

京都大学　2020年度　前期日程　文系

京大文系 2020年度数学の解答・解説

全5問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　積分法

絶対値を含む関数・接する条件・判別式・面積当サイトの体感難易度：標準

$C : y = ∣ x ∣ x - 3 x + 1$ と $ℓ : y = x + a$ （ $a < 0$ ）が接する $a$ を求め、 $C$ と $ℓ$ で囲まれた部分の面積を求める

答 $a = - 3$ 、面積は $\frac{48 + 32 2}{3}$

$∣ x ∣ x$ は $x \geq 0$ で $x^{2}$ 、 $x < 0$ で $- x^{2}$ なので、 $C$ は2つの放物線をつないだ曲線である。枝ごとに「接する」＝判別式 $0$ で $a$ の候補を出し、接点がその枝にあるかを確かめる。面積は、接しているほうの差が完全平方になるので軽く計算できる。

$C$ は

y = {x^{2} - 3 x + 1 - x^{2} - 3 x + 1 (x \geq 0) (x < 0)

である（ $x = 0$ でつながり、傾きも $- 3$ で一致する）。

接する $a$ を探す。 $x \geq 0$ の枝で $x^{2} - 3 x + 1 = x + a$ とすると

x^{2} - 4 x + (1 - a) = 0

で、判別式 $16 - 4 (1 - a) = 0$ より $a = - 3$ 。このとき $x = 2 (\geq 0)$ で、確かにこの枝の上である。 $a = - 3 < 0$ も条件をみたす。

$x < 0$ の枝で $- x^{2} - 3 x + 1 = x + a$ とすると $x^{2} + 4 x + (a - 1) = 0$ で、判別式 $16 - 4 (a - 1) = 0$ より $a = 5$ 。これは $a < 0$ に反するので不適である。よって

a = - 3

である。

交点をすべて求める。 $a = - 3$ 、 $ℓ : y = x - 3$ とする。

$x \geq 0$ ： $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} = 0$ より $x = 2$ （接点）。
$x < 0$ ： $x^{2} + 4 x - 4 = 0$ より $x = - 2 \pm 22$ 。 $- 2 + 22 = 0.83 > 0$ は枝の外なので不適、 $x = - 2 - 22$ だけが交点。

$β = - 2 - 22$ とおく。 $β \leq x \leq 2$ では $C$ が $ℓ$ の上側にある。実際

x \geq 0 x < 0 : (x^{2} - 3 x + 1) - (x - 3) = (x - 2)^{2} \geq 0 : (- x^{2} - 3 x + 1) - (x - 3) = - (x^{2} + 4 x - 4)

で、後者は $β < x < - 2 + 22$ で正である。

面積。

S = \int_{β}^{0} (- x^{2} - 4 x + 4) d x + \int_{0}^{2} (x - 2)^{2} d x

である。後ろは

\int_{0}^{2} (x - 2)^{2} d x = [\frac{( x - 2 ) ^{3}}{3}]_{0}^{2} = \frac{8}{3}

である。前は、 $β^{2} = 12 + 82$ 、 $β^{3} = - 56 - 402$ を使って

\int_{β}^{0} (- x^{2} - 4 x + 4) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4 x]_{β}^{0} = \frac{β ^{3}}{3} + 2 β^{2} - 4 β = \frac{- 56 - 40 2}{3} + (24 + 162) + (8 + 82) = \frac{- 56 - 40 2 + 96 + 72 2}{3} = \frac{40 + 32 2}{3}

である。合わせて

S = \frac{40 + 32 2}{3} + \frac{8}{3} = \frac{48 + 32 2}{3}

である（ $31.08$ ほど）。

C : y = ∣ x ∣ x - 3 x + 1

と

ℓ : y = x - 3

。

x = 2

で接し、

x = - 2 - 22 = - 4.83

で交わる。囲まれた部分の面積は

\frac{48 + 32 2}{3} = 31.08

。

$a = - 3$ のとき $x = 2$ で $C$ も $ℓ$ も $- 1$ 、 $x = - 2 - 22 = - 4.828427$ でどちらも $- 7.828427$ になる。囲まれた部分の面積を $400$ 万点の数値積分で求めると $31.084944665$ で、 $\frac{48 + 32 2}{3} = 31.084944665$ と一致する。

$∣ x ∣ x$ は $x^{2}$ ではない。 $x < 0$ では $- x^{2}$ になるので、枝ごとに分けて考える。

判別式から出た $a$ について、接点がその枝の範囲にあるかを必ず確かめる。 $a = 5$ は $a < 0$ でも弾けるが、範囲外の接点が出る場合もある。

$x < 0$ の枝との交点は2つ出るが、片方は $x > 0$ なので枝の外である。式の上の解をすべて採用しない。

$β = - 2 - 22$ の3乗を使うので、 $β^{2} = 12 + 82$ を先に出しておくと計算が整理される。

第1問だけのページ

第2問　微分法

接線の傾き・直交条件・2次方程式の係数比較・すべて求める当サイトの体感難易度：難

グラフが $y = x^{2}$ のグラフと2点で直交する2次関数をすべて求める

答 $y = p x^{2} + \frac{p - 1}{4 p}$ （ $p < 0$ ）、および $y = - x^{2} + q x + \frac{1}{2}$ （ $q$ は任意の実数）

$y = p x^{2} + q x + r$ とおく。共有点の $x$ 座標は「2つの式を等しいとおいた2次方程式」の解、直交条件は「傾きの積が $- 1$ 」というもう1本の2次方程式の解である。2点とも直交するということは、この2本の2次方程式が同じ2解をもつ、つまり係数が比例するということになる。

求める2次関数を $g (x) = p x^{2} + q x + r$ （ $p \neq = 0$ ）とする。共有点の $x$ 座標を $t$ とすると

t^{2} = p t^{2} + q t + r ⟺ (1 - p) t^{2} - q t - r = 0 \dots ①

である。また $y = x^{2}$ の $t$ での接線の傾きは $2 t$ 、 $g$ のほうは $2 pt + q$ で、直交条件は

2 t (2 pt + q) = - 1 ⟺ 4 p t^{2} + 2 q t + 1 = 0 \dots ②

である。

2本が同じ2解をもつ条件。 ② は $4 p \neq = 0$ より2次式で、解は高々2個である。「2点で直交する」とは、① の解がちょうど2個あり、そのどちらも ② をみたすということである。

$1 - p = 0$ だと ① は1次以下になり解が2個にならない（ $q = r = 0$ なら同じ放物線になって共有点が無数）。よって $p \neq = 1$ で、① も2次式である。2次式どうしが同じ2解をもつので、係数が比例する。比例定数を $λ$ として

(1 - p, - q, - r) = λ (4 p, 2 q, 1)

である。第3成分から $λ = - r$ で、残り2本は

1 - p = - 4 p r, - q = - 2 q r

すなわち

r = \frac{p - 1}{4 p}, q (2 r - 1) = 0

となる。ここで

2 r - 1 = \frac{p - 1}{2 p} - 1 = \frac{- p - 1}{2 p}

なので、 $2 r - 1 = 0$ は $p = - 1$ と同値である。よって条件は

r = \frac{p - 1}{4 p} かつ (q = 0 または p = - 1)

である。

解が2個あるための条件。 ① の判別式は、 $r = \frac{p - 1}{4 p}$ を使うと

q^{2} + 4 (1 - p) r = q^{2} - \frac{( 1 - p ) ^{2}}{p}

である。 $p > 0$ の場合、 $q = 0$ か $p = - 1$ のうち使えるのは $q = 0$ だけで、そのとき判別式は $- \frac{( 1 - p ) ^{2}}{p} < 0$ （ $p \neq = 1$ ）となり不適。 $p < 0$ なら $- \frac{( 1 - p ) ^{2}}{p} > 0$ なので、 $q$ が何であれ判別式は正である。したがって $p < 0$ が必要十分である。

まとめ。 求める2次関数は

y = p x^{2} + \frac{p - 1}{4 p} (p < 0) および y = - x^{2} + q x + \frac{1}{2} (q \in R)

である（ $p = - 1$ 、 $q = 0$ のときは両方に現れる同じ関数 $y = - x^{2} + \frac{1}{2}$ である）。

p = - \frac{1}{4}

の例。

y = x^{2}

と

y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{5}{4}

は

(\pm 1, 1)

で交わり、そこでの接線の傾きは

2

と

- \frac{1}{2}

（破線）で積が

- 1

になる。

$p = - \frac{1}{4}$ なら $r = \frac{- \frac{5}{4}}{- 1} = \frac{5}{4}$ で $g (x) = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{5}{4}$ 。共有点は $x = \pm 1$ で、 $x = 1$ では傾きが $2$ と $- \frac{1}{2}$ 、 $x = - 1$ では $- 2$ と $\frac{1}{2}$ となり、どちらも積が $- 1$ である。 $p = - 1$ 、 $q = 2$ 、 $r = \frac{1}{2}$ でも、共有点 $x = \frac{1 \pm 2}{2}$ の両方で積が $- 1.0000$ になった。

「2点で直交する」は、共有点が2個あってそのどちらでも接線が直交する、ということである。1点だけ直交すればよいと読むと答えが大きく変わる。

② から $t = 0$ は解になりえない（ $1 = 0$ になる）。つまり共有点は原点ではない。

$p = 1$ （ $x^{2}$ の係数が同じ）だと共有点は高々1個で、条件をみたさない。 $p = 1$ を除く理由を書いておく。

答えが2つの族に分かれる。 $q = 0$ の族だけ、あるいは $p = - 1$ の族だけで終わらないよう、 $q (2 r - 1) = 0$ の2通りを両方たどる。

第2問だけのページ

第3問　整数

合同式・16を法とする・平方数の余り・場合分け当サイトの体感難易度：難

$a$ を奇数とし $f (m, n) = m n^{2} + a m^{2} + n^{2} + 8$ とするとき、 $f (m, n)$ が $16$ で割り切れる整数の組 $(m, n)$ が存在する $a$ の条件を求める

答 $a \equiv 3 (mod 4)$ （ $a$ は $4$ で割ると $3$ 余る奇数）

$f (m, n) = n^{2} (m + 1) + a m^{2} + 8$ とまとめる。まず $m$ の偶奇で絞り、さらに $m$ を $4$ で割った余りで絞ると、残るのは「 $n^{2} (m + 1)$ が $16$ を法としてどんな値をとれるか」という問題になる。平方数が $16$ を法として $0, 1, 4, 9$ しかとらないことが効く。

$f (m, n) = n^{2} (m + 1) + a m^{2} + 8$ とまとめる。以下 $16$ を法として考える。

$m$ は偶数でなければならない。 $m$ が奇数なら $m + 1$ は偶数なので $n^{2} (m + 1)$ は偶数、 $a m^{2}$ は（ $a$ も $m$ も奇数なので）奇数である。よって $f$ は奇数となり、 $16$ の倍数にはなりえない。

$m \equiv 2 (mod 4)$ でなければならない。 $m = 2 k$ とすると $a m^{2} = 4 a k^{2}$ で、 $m + 1 = 2 k + 1$ は奇数である。

$k$ が偶数なら $k^{2}$ は $4$ の倍数だから $4 a k^{2} \equiv 0 (mod 16)$ で

f \equiv n^{2} (m + 1) + 8 (mod 16)

となる。 $m + 1$ は奇数なので $16$ を法として逆数をもち、 $f \equiv 0$ は $n^{2} \equiv - 8 \cdot (m + 1)^{- 1} \equiv 8 (mod 16)$ （奇数倍しても $8$ は $8$ のまま）を意味する。ところが平方数を $16$ で割った余りは $0, 1, 4, 9$ のいずれかで $8$ にならない。よって $k$ は奇数、すなわち $m \equiv 2 (mod 4)$ である。

$a$ の条件を出す。 $k$ が奇数なら $k^{2} \equiv 1 (mod 8)$ なので $4 a k^{2} \equiv 4 a (mod 16)$ である。したがって条件は

n^{2} (m + 1) \equiv - 4 a - 8 (mod 16)

となる。ここで $u = m + 1$ は $m \equiv 2 (mod 4)$ より $u \equiv 3 (mod 4)$ である。 $n^{2} \in {0, 1, 4, 9}$ として $n^{2} u$ を $16$ で割った余りを調べると

$n^{2} \equiv 0$ ： $n^{2} u \equiv 0$ 。
$n^{2} \equiv 1$ ： $n^{2} u \equiv u \in {3, 7, 11, 15}$ 。
$n^{2} \equiv 4$ ： $4 u$ は $u \equiv 3 (mod 4)$ より $4 u \equiv 12$ （ $u = 3, 7, 11, 15$ のいずれでも $12$ ）。
$n^{2} \equiv 9$ ： $9 u \in {11, 15, 3, 7}$ 。

なので、 $n^{2} u$ のとりうる値は ${0, 3, 7, 11, 12, 15}$ である。いっぽう右辺は、 $a$ が奇数なので

- 4 a - 8 \equiv {412 (a \equiv 1 (mod 4)) (a \equiv 3 (mod 4)) (mod 16)

である。 $4$ は ${0, 3, 7, 11, 12, 15}$ に入っていないので $a \equiv 1 (mod 4)$ では解がなく、 $12$ は入っているので $a \equiv 3 (mod 4)$ では解がある。よって求める条件は

a \equiv 3 (mod 4)

である。

$a \equiv 3 (mod 4)$ のとき、たとえば $(m, n) = (2, 2)$ が解になる。実際 $f (2, 2) = 2 \cdot 4 + 4 a + 4 + 8 = 4 a + 20$ で、 $a = 4 j + 3$ なら $4 a + 20 = 16 j + 32$ となり $16$ の倍数である。

$a = 1, 3, 5, \dots, 31$ のそれぞれで $0 \leq m, n \leq 31$ を全探索すると、 $f (m, n)$ が $16$ の倍数になる $(m, n)$ が存在するのは $a = 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31$ 、つまり $a \equiv 3 (mod 4)$ のときだけで、いずれも $(m, n) = (2, 2)$ が解になった。 $a = 3$ なら $f (2, 2) = 32$ である。

平方数を $16$ で割った余りが $0, 1, 4, 9$ だけであることが2回効く。 $n^{2} \equiv 8$ が不可能、というのが最初の絞り込みである。

$m$ が偶数というだけでは足りない。 $m \equiv 0 (mod 4)$ だと $a m^{2}$ の項が消えてしまい、やはり $n^{2} \equiv 8$ が必要になって詰む。

奇数 $k$ について $k^{2} \equiv 1 (mod 8)$ を使う。 $(mod 16)$ では $k^{2} \equiv 1$ または $9$ だが、 $4$ を掛けると差が $32$ の倍数になって消えるので $4 a k^{2} \equiv 4 a$ でよい。

「存在するための条件」なので、 $a \equiv 3 (mod 4)$ のときに実際に $(m, n)$ を1つ挙げておくと答案が完結する。

第3問だけのページ

第4問　空間ベクトル

内積・対称性・単位球面・2次方程式当サイトの体感難易度：難

単位球面上の4点が与えられた内積の関係をみたすとき、 $k = OA \cdot OD = OB \cdot OD$ を求める

答 $k = \frac{3 2 - 6}{8}$

$c$ も $d$ も $a, b$ と同じ内積をもつので、どちらも $a - b$ と直交する。つまり $c, d$ は $a - b$ に垂直な平面の中にある。この平面を座標平面にとってしまえば、あとは平面上の単位ベクトル2本の話になる。

$a, b, c, d$ を $OA, \dots, OD$ とする。すべて単位ベクトルである。

$c, d$ は $a - b$ に垂直。 条件より $a \cdot c = b \cdot c$ なので

(a - b) \cdot c = 0, 同様に (a - b) \cdot d = 0

である。

座標を置く。 $a - b^{2} = 1 + 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ なので $f = a - b$ は単位ベクトルである。また $e = \frac{a + b}{a + b}$ とおくと $a + b^{2} = 3$ より $e = \frac{a + b}{3}$ で、 $e \cdot f = 0$ である。 $f, e$ と、両方に垂直な単位ベクトル $g$ を座標軸にとると

a = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0), b = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2}, 0)

であり、 $c, d$ は第1成分が $0$ である。

$c$ を決める。 $c = (0, c_{2}, c_{3})$ 、 $c_{2}^{2} + c_{3}^{2} = 1$ である。 $a \cdot c = \frac{3}{2} c_{2} = - \frac{6}{4}$ より

c_{2} = - \frac{6}{4} \cdot \frac{2}{3} = - \frac{1}{2}, c_{3} = \pm \frac{1}{2}

である。 $g$ の向きを選んで $c_{3} = \frac{1}{2}$ としてよい。

$d$ を決める。 $d = (0, d_{2}, d_{3})$ で、 $a \cdot d = \frac{3}{2} d_{2} = k$ より $d_{2} = \frac{2 k}{3}$ である。 $c \cdot d = \frac{1}{2}$ より

- \frac{1}{2} \cdot \frac{2 k}{3} + \frac{1}{2} d_{3} = \frac{1}{2} ⟹ d_{3} = \frac{1}{2} + \frac{2 k}{3}

である。 $d = 1$ に入れると

\frac{4 k ^{2}}{3} + (\frac{1}{2} + \frac{2 k}{3})^{2} = 1

すなわち

\frac{8 k ^{2}}{3} + \frac{4 k}{6} - \frac{1}{2} = 0 ⟺ 16 k^{2} + 46 k - 3 = 0

である。解くと

k = \frac{- 4 6 \pm 96 + 192}{32} = \frac{- 4 6 \pm 12 2}{32} = \frac{- 6 \pm 3 2}{8}

で、 $k > 0$ より

k = \frac{3 2 - 6}{8}

である（ $0.2241$ ほど）。

a - b

に垂直な平面で切った断面。横軸が

e = \frac{a + b}{3}

の向き。

c, d

はこの平面内の単位ベクトルで、

a, b

はどちらも点

M (\frac{3}{2}, 0)

に射影される。

c

と

d

のなす角は

6 0^{\circ}

。

$k = \frac{3 2 - 6}{8} = 0.224143868$ として座標を作ると、4本とも長さ $1$ で、 $a \cdot b = c \cdot d = 0.500000000$ 、 $a \cdot c = b \cdot c = - 0.612372436 = - \frac{6}{4}$ 、 $a \cdot d = b \cdot d = 0.224143868 = k$ となり、条件をすべてみたす。

$a \cdot c = b \cdot c$ を「 $c$ が $a, b$ と同じ角をなす」で止めず、 $(a - b) \cdot c = 0$ という垂直の形にすると、座標を置く方針がはっきりする。

$c_{3}$ の符号は、座標軸の向きの選び方で決まる自由度である。どちらにとっても $k$ の方程式は同じになる。

$16 k^{2} + 46 k - 3 = 0$ の2解のうち負のほうは $k > 0$ で捨てる。 $288 = 122$ の計算に注意する。

4点が実際にこの条件で存在することは、 $k$ を代入して $d = 1$ を確かめれば分かる。問題は $k$ を求めよなので必須ではないが、検算になる。

第4問だけのページ

第5問　場合の数

ラテン方陣・完全順列・置換の型・場合分け当サイトの体感難易度：やや難

$4 \times 4$ のマス目に $1, 2, 3, 4$ を入れ、どの行にもどの列にも同じ数字が1回しか現れないようにする入れ方の総数を求める

答 $576$ 通り

各行は $1, 2, 3, 4$ の並べ替えになる。1行目は $4!$ 通り、2行目は1行目と同じ列に同じ数字が来てはいけないので「完全順列」になる。3行目以降の数は、2行目の「ずれ方」の型（2つの入れ替えか、4つの巡回か）で変わるので、そこで場合分けする。

どの行にも $1, 2, 3, 4$ が1回ずつ現れるので、各行は $1, 2, 3, 4$ の並べ替えである。

1行目。 $4! = 24$ 通り。以下、1行目を固定して数え、最後に $24$ を掛ける。

2行目。 どの列でも1行目と違う数字が来るので、2行目は1行目に対する完全順列（どの位置も動く並べ替え）である。 $4$ 個の完全順列は $9$ 通りで、その内訳は

2つずつ入れ替える型（たとえば $1234 \to 2143$ ）： $4$ 個を2組のペアに分ける分け方で $3$ 通り。
$4$ つが順に回る型（たとえば $1234 \to 2341$ ）： $3! = 6$ 通り。

である（ $3 + 6 = 9$ ）。

3・4行目。 各列には、1行目と2行目で使った数字以外の2つが残る。3行目はその残り2つから1つずつ選んで並べ替えになるようにし、4行目は自動的に決まる。

1行目を $1, 2, 3, 4$ として型ごとに数える。

2つずつ入れ替える型（例：2行目が $2, 1, 4, 3$ ）。各列の残りは左から ${3, 4}, {3, 4}, {1, 2}, {1, 2}$ である。3行目は左2列に $3, 4$ を並べ（ $2$ 通り）、右2列に $1, 2$ を並べる（ $2$ 通り）ので $4$ 通り。4行目は残りで決まる。よって $3 \times 4 = 12$ 通り。
$4$ つが順に回る型（例：2行目が $2, 3, 4, 1$ ）。各列の残りは ${3, 4}, {1, 4}, {1, 2}, {2, 3}$ である。1列目に $3$ を置くと4列目は $2$ 、3列目は $1$ 、2列目は $4$ と順に決まり $3, 4, 1, 2$ 。 $4$ を置くと $4, 1, 2, 3$ 。よって $2$ 通りで、 $6 \times 2 = 12$ 通り。

1行目を固定したときの総数は $12 + 12 = 24$ 通りである。したがって全体は

24 \times 24 = 576

通りである。

$n \times n$ でこのような入れ方の総数は「ラテン方陣の個数」と呼ばれ、 $n = 4$ では $576$ である。 $n = 5$ では $161280$ と急に増え、一般の公式は知られていない。

$4$ 行すべてを全探索して数えると $576$ 通りだった。1行目を固定したときの内訳も、 $(2, 2)$ 型の $3$ 通りが合計 $12$ 、 $4$ 項環状型の $6$ 通りが合計 $12$ で、 $24$ 通りと一致する。

2行目が1行目の完全順列になることは「列ごとに違う」から従う。 $9$ という数は $4$ 個の完全順列の個数で、 $3! = 6$ ではない。

完全順列の型で3・4行目の数が変わる（ $4$ 通りと $2$ 通り）。型を分けずに一律に掛けると答えがずれる。

4行目は3行目まで決めれば自動的に決まる。ここでさらに掛けないこと。

問題は「マス目に数字を入れる」ことを数えているので、回転や裏返しで移り合うものも別に数える。

第5問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる京大文系数学 2027

京大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る全2巻を見る¥2,695・106ページ・2026年8月9日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

C:y=∣x∣x−3x+1 と ℓ:y=x+a（a<0）が接する a を求め、C と ℓ で囲まれた部分の面積を求める

グラフが y=x2 のグラフと2点で直交する2次関数をすべて求める

a を奇数とし f(m,n)=mn2+am2+n2+8 とするとき、f(m,n) が 16 で割り切れる整数の組 (m,n) が存在する a の条件を求める

単位球面上の4点が与えられた内積の関係をみたすとき、k=OA⋅OD=OB⋅OD を求める

4×4 のマス目に 1,2,3,4 を入れ、どの行にもどの列にも同じ数字が1回しか現れないようにする入れ方の総数を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

$C : y = ∣ x ∣ x - 3 x + 1$ と $ℓ : y = x + a$ （ $a < 0$ ）が接する $a$ を求め、 $C$ と $ℓ$ で囲まれた部分の面積を求める

グラフが $y = x^{2}$ のグラフと2点で直交する2次関数をすべて求める

$a$ を奇数とし $f (m, n) = m n^{2} + a m^{2} + n^{2} + 8$ とするとき、 $f (m, n)$ が $16$ で割り切れる整数の組 $(m, n)$ が存在する $a$ の条件を求める

単位球面上の4点が与えられた内積の関係をみたすとき、 $k = OA \cdot OD = OB \cdot OD$ を求める

$4 \times 4$ のマス目に $1, 2, 3, 4$ を入れ、どの行にもどの列にも同じ数字が1回しか現れないようにする入れ方の総数を求める