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東京科学大学　2021年度　前期日程　理系

第5問図形と方程式・積分法の解答・解説

円が領域に含まれる条件・媒介変数の消去・回転体の体積・バウムクーヘンでない断面法当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。理系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x y$ 平面上の円 $C : x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$ （ $a > 0$ ）が $y ≧ x^{2}$ で表される領域に含まれるための $a$ の範囲を求める

答 $0 < a ≦ \frac{1}{2}$

円の式から $x^{2} = 2 a y - y^{2}$ と $x^{2}$ を $y$ で表してしまえば、条件は $y$ だけの不等式になる。

$C$ は中心 $(0, a)$ 、半径 $a$ の円で、原点で $x$ 軸に接する。 $C$ 上の点では

x^{2} = a^{2} - (y - a)^{2} = 2 a y - y^{2}, 0 ≦ y ≦ 2 a

である。条件 $y ≧ x^{2}$ は

y ≧ 2 a y - y^{2} ⟺ y^{2} + y - 2 a y ≧ 0 ⟺ y (y + 1 - 2 a) ≧ 0

である。 $0 ≦ y ≦ 2 a$ で $y ≧ 0$ なので、 $y > 0$ の部分では $y + 1 - 2 a ≧ 0$ 、すなわち $y ≧ 2 a - 1$ が必要十分である。これが $0 < y ≦ 2 a$ のすべてで成り立つ条件は

2 a - 1 ≦ 0, すなわち a ≦ \frac{1}{2}

である。 $a > 0$ とあわせて

0 < a ≦ \frac{1}{2}

である。

$a = \frac{1}{2}$ のとき $x^{2} = y - y^{2}$ で、 $y - x^{2} = y^{2} ≧ 0$ となり原点でだけ接する。

$a = 0.49, 0.5$ では円が領域に入り、 $a = 0.501$ では入らなかった。

$x$ を消して $y$ の不等式にするのが近道。 $y = \pm \dots$ と場合分けすると煩雑になる。

(2)円 $C$ が $y ≧ x^{2} - x^{4}$ で表される領域に含まれるための $a$ の範囲を求める

答 $0 < a ≦ \frac{1}{2}$ （(1) と同じ）

同じく $x^{2} = 2 a y - y^{2}$ を代入する。 $x^{4}$ の項が増えるが、 $y$ で割ると $1 - 2 a$ という定数項が決め手になる。

$x^{2} - x^{4} ≦ x^{2}$ なので ${y ≧ x^{2}} \subset {y ≧ x^{2} - x^{4}}$ である。つまり (1) の範囲では必ず成り立つ。問題はそれより広くできるかどうかである。

$C$ 上で $u = x^{2} = 2 a y - y^{2}$ とおくと、条件 $y ≧ x^{2} - x^{4} = u - u^{2}$ は

y - u + u^{2} ≧ 0

である。 $y - u = y - 2 a y + y^{2} = y (1 - 2 a + y)$ 、 $u^{2} = y^{2} (2 a - y)^{2}$ なので

y {(1 - 2 a) + y + y (2 a - y)^{2}} ≧ 0

である。 $0 < y ≦ 2 a$ では $y > 0$ なので、条件は

g (y) = (1 - 2 a) + y {1 + (2 a - y)^{2}} ≧ 0 (0 < y ≦ 2 a)

と同値である。

$a ≦ \frac{1}{2}$ のとき。 $1 - 2 a ≧ 0$ で、 $y {1 + (2 a - y)^{2}} > 0$ なので $g (y) > 0$ ✓。

$a > \frac{1}{2}$ のとき。 $g$ は連続で $g (0) = 1 - 2 a < 0$ なので、十分小さい $y > 0$ で $g (y) < 0$ となる。つまり原点のすぐ近くで円が曲線より下に出てしまう ✗。

したがって求める範囲は

0 < a ≦ \frac{1}{2}

で、(1) と同じである。

a = 2/5 のとき。円 C（原点で x 軸に接する）は、放物線 y = x²（細い線）にも、4次曲線 y = x² - x⁴（太い線）にも下から触れない。きき目になるのは原点のすぐ近くで、そこでは x² - x⁴ も x² とほとんど同じ形をしている。

原点付近で円は $y ≒ \frac{x ^{2}}{2 a}$ のようにふるまう。 $y = x^{2}$ も $y = x^{2} - x^{4}$ も原点付近では $y ≒ x^{2}$ なので、 $\frac{1}{2 a} ≧ 1$ 、つまり $a ≦ \frac{1}{2}$ が決め手になる。 $x^{4}$ の項は原点では効かない。

$a = 0.5$ では円が領域に入り、 $a = 0.501$ では入らなかった（(1) と同じ境目）。

$x^{4}$ があるぶん条件がゆるくなりそうに見えるが、きき目になるのは原点のすぐ近くで、そこでは $x^{4}$ は効かない。結果として範囲は変わらない。

(3) $a$ が (2) の範囲にあるとする。 $x y$ 平面において連立不等式 $∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ 、 $0 ≦ y ≦ \frac{1}{4}$ 、 $y ≧ x^{2} - x^{4}$ 、 $x^{2} + (y - a)^{2} ≧ a^{2}$ で表される領域 $D$ を、 $y$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める

答 $\frac{( 3 - 4 a ) π}{64}$

$y$ 軸のまわりの回転なので、高さ $y$ で切った断面を考える。各条件を $r^{2} = x^{2}$ の不等式に直すと、断面はきれいな円環になる。

高さ $y$ （ $0 ≦ y ≦ \frac{1}{4}$ ）で切る。回転後の断面は、 $(x, y) \in D$ となる $∣ x ∣$ の値を半径とする円の集まりである。 $u = x^{2}$ とおいて条件を書き直す。

$∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ ： $u ≦ \frac{1}{2}$
$y ≧ x^{2} - x^{4}$ ： $u^{2} - u + y ≧ 0$ 。 $0 ≦ y ≦ \frac{1}{4}$ なので解は $u ≦ \frac{1 - 1 - 4 y}{2}$ または $u ≧ \frac{1 + 1 - 4 y}{2}$
$x^{2} + (y - a)^{2} ≧ a^{2}$ ： $u ≧ 2 a y - y^{2}$

2つめの後者 $u ≧ \frac{1 + 1 - 4 y}{2} ≧ \frac{1}{2}$ は、1つめの $u ≦ \frac{1}{2}$ と $y < \frac{1}{4}$ では両立しない。したがって

u_{2} (y) = 2 a y - y^{2} ≦ u ≦ \frac{1 - 1 - 4 y}{2} = u_{1} (y)

である（ $u_{1} ≦ \frac{1}{2}$ なので1つめの条件は自動的に満たされる）。(2) より円 $C$ は $y ≧ x^{2} - x^{4}$ の領域に含まれるので、 $C$ 上の点では $u_{2} ≦ u_{1}$ が成り立つ。つまり区間は空にならない。

断面は半径の2乗が $u_{2}$ から $u_{1}$ までの円環なので、面積は

S (y) = π u_{1} (y) - π u_{2} (y)

である。体積は

V = \int_{0}^{\frac{1}{4}} π {u_{1} (y) - u_{2} (y)} d y

である。

それぞれ積分する。

\int_{0}^{\frac{1}{4}} 1 - 4 y d y = [- \frac{1}{6} (1 - 4 y)^{\frac{3}{2}}]_{0}^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{6}

なので

\int_{0}^{\frac{1}{4}} u_{1} d y = \frac{1}{2} (\frac{1}{4} - \frac{1}{6}) = \frac{1}{24}

である。また

\int_{0}^{\frac{1}{4}} u_{2} d y = [a y^{2} - \frac{y ^{3}}{3}]_{0}^{\frac{1}{4}} = \frac{a}{16} - \frac{1}{192}

である。よって

V = π (\frac{1}{24} - \frac{a}{16} + \frac{1}{192}) = π \cdot \frac{8 + 1 - 12 a}{192} = \frac{( 3 - 4 a ) π}{64}

である。

$0 < a ≦ \frac{1}{2}$ では $3 - 4 a ≧ 1 > 0$ なので体積は正である。 $a = \frac{1}{2}$ のとき $V = \frac{π}{64}$ 、 $a \to 0$ で $V \to \frac{3 π}{64}$ である。

$a = 0.1, 0.3, 0.5$ で断面積を数値積分すると、 $\frac{( 3 - 4 a ) π}{64}$ と小数9桁まで一致した。

$y$ 軸のまわりの回転なので、 $x$ ではなく $y$ で切る。各条件を $x^{2}$ の不等式に直すと断面が円環だと分かる。

$u^{2} - u + y ≧ 0$ の解のうち $u ≧ \frac{1 + 1 - 4 y}{2}$ の側は $∣ x ∣ ≦ \frac{1}{2}$ と両立しない。ここを落とさない。

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(1)xy 平面上の円 C:x2+(y−a)2=a2（a>0）が y≧x2 で表される領域に含まれるための a の範囲を求める

(2)円 C が y≧x2−x4 で表される領域に含まれるための a の範囲を求める

(3)a が (2) の範囲にあるとする。xy 平面において連立不等式 ∣x∣≦2​1​、0≦y≦41​、y≧x2−x4、x2+(y−a)2≧a2 で表される領域 D を、y 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求める

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