第2問 図形と方程式の解答・解説

$y=ax+b$ を $E$ の式に代入すると

である。$\frac{1}{4}+a^2>0$ なので必ず $x$ の2次方程式で、異なる2つの実数解をもつ条件は判別式が正であることである。

である。$>0$ を4倍して

である。

$\ell$ も $m$ も傾き $a$ なので、$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{SR}}$ はどちらも $\left(1,a\right)$ の正の定数倍である。したがって

である（つまり2つの弦の長さが等しい）。

(1) の2次方程式の2解を $x_{\mathrm{P}},x_{\mathrm{Q}}$ とすると、$A=\frac{1}{4}+a^2$ とおいて

である（最後は (1) の判別式の計算をそのまま使った）。$A$ は $a$ だけで決まるので、弦の長さは $b^2$ にしかよらない。したがって

である。$b>c$ より $b=c$ はありえないので $c=-b$ であり、$b>c=-b$ から $b>0$ である。さらに2直線がどちらも $E$ と2点で交わる条件は (1) より $b^2<4a^2+1$（$c^2=b^2$ なので $m$ の条件も同じ）である。よって

である（$a$ は任意の実数）。

$c=-b$ は、2本の直線が原点について対称であることを意味する。このとき四角形 $\mathrm{PQRS}$ は原点を中心とする平行四辺形になる。

中心は原点。 正方形は平行四辺形である。対辺は $E$ の平行な2弦で、(2) より平行な2弦の長さが等しいのは2本が原点について対称なときだけだった。したがって正方形の中心は原点である。

（$x\mapsto \frac{x}{2}$ で $E$ を単位円に写すと、平行四辺形は平行四辺形に移り、円に内接する平行四辺形は長方形なのでその中心は円の中心である、と考えてもよい。）

対角線。 中心が原点なので、4頂点は $\pm \vec{u}$、$\pm \vec{v}$ の形である。正方形の2本の対角線は長さが等しく直交するので

である。したがって $\vec{v}$ は $\vec{u}$ を $90^{\circ }$ 回したものである。$\vec{u}=\left(2\cos \theta ,\sin \theta \right)$（$E$ 上の点）とすると

で、これも $E$ 上にある条件は

である。$4$ 倍して ${\sin }^2\theta =1-{\cos }^2\theta$ を使うと

である。このとき ${\sin }^2\theta =\frac{4}{5}$ なので

（複号は独立）である。符号の組み合わせをどう選んでも、$\pm \vec{u}$ と $\pm \vec{v}$ の4点は同じ集合

になる。実際この4点は $E$ 上にあり（$\frac{4/5}{4}+\frac{4}{5}=1$ ✓）、1辺 $\frac{4\sqrt{5}}{5}$、対角線 $\frac{4\sqrt{10}}{5}$ の正方形（軸に平行な正方形）である。よって求める組はこの1組だけである。