第4問 空間ベクトルの解答・解説

$\left|\vec{a}\right|=\left|\vec{b}\right|=\left|\vec{c}\right|=\left|\vec{d}\right|=1$ である。

などなので、$\vec{s}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ とおくと

である（${\left|\vec{s}\right|}^2=3+2\left(\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{c}+\vec{c}\cdot \vec{a}\right)$ を使った）。また

である。したがって

となる。よって

である。$■$

(1) より $F=-2{\left|\vec{s}\right|}^2+6\vec{s}\cdot \vec{d}$ である。$\left|\vec{d}\right|=1$ なので

で、等号は $\vec{s}\ne \vec{0}$ のとき $\vec{d}=\frac{\vec{s}}{\left|\vec{s}\right|}$ でとれる。よって $t=\left|\vec{s}\right|$ とおくと

である。$t=\left|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\right|$ は $0$ から $3$ までのすべての値をとれる（たとえば $\vec{a}=\vec{b}=\vec{c}$ なら $t=3$、適当に回せば連続的に $0$ まで動く）ので、$t=\frac{3}{2}$ が実現できる。したがって

である。

等号が成り立つのは「$\left|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}\right|=\frac{3}{2}$ かつ $\vec{d}$ が $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}$ と同じ向き」のときである。

(2) の等号条件より $\left|\vec{s}\right|=\frac{3}{2}$ かつ $\vec{d}=\frac{\vec{s}}{\left|\vec{s}\right|}$、すなわち

である。したがって

である。この長さは

である。一方、三角不等式より

で、等号が成り立つのは $\vec{a}$ と $\vec{b}$ が同じ向きのとき、すなわち（どちらも単位ベクトルなので）$\vec{a}=\vec{b}$ のときである。よって

である。実際 ${\left(\frac{7}{8}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{15}}{8}\right)}^2=\frac{49+15}{64}=1$ なので $S$ 上にある ✓。よって

の1組だけである。

$\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ が重なってしまうが、問題は「$S$ 上を動く点」としか言っていないのでこれでよい。このとき $\mathrm{AB}=0$ である。