東京科学大学　2021年度　前期日程　理系

第1問場合の数・数列の解答・解説

桁ごとの数え上げ・等比数列の和・項を上から押さえる・不等式の証明当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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答 $a_{k} = 8 \cdot 9^{k - 1}$

$1 0^{k - 1}$ 以上 $1 0^{k}$ 未満の整数は $k$ 桁の数。各位を上から順に決めていく。

$1 0^{k - 1} ≦ n < 1 0^{k}$ の整数 $n$ は、ちょうど $k$ 桁の数である。各位の数字の選び方を数える。

である。したがって

a_{k} = 8 \cdot 9^{k - 1}

である。

$k = 1, \dots, 5$ で数え上げると $8, 72, 648, 5832, 52488$ で、この式と一致した。

答桁数ごとにまとめ、 $j$ 桁の項を $\frac{1}{1 0 ^{j - 1}}$ で上から押さえると、等比級数の和 $80 (1 - (\frac{9}{10})^{k})$ になる

$\frac{1}{n}$ は $n$ が大きいほど小さい。 $j$ 桁の数は $1 0^{j - 1}$ 以上なので、どの項も $\frac{1}{1 0 ^{j - 1}}$ 以下である。

$b_{n} \neq = 0$ になるのは $n$ が $(*)$ を満たすときだけなので、和は「 $1 0^{k}$ 未満で $(*)$ を満たす $n$ についての $\frac{1}{n}$ の和」である。これを桁数 $j$ で分ける。

$j$ 桁の数は $n ≧ 1 0^{j - 1}$ なので $\frac{1}{n} ≦ \frac{1}{1 0 ^{j - 1}}$ である。 $j$ 桁で $(*)$ を満たすものは (1) より $a_{j} = 8 \cdot 9^{j - 1}$ 個だから

j 桁 \sum \frac{1}{n} ≦ \frac{a _{j}}{1 0 ^{j - 1}} = \frac{8 \cdot 9 ^{j - 1}}{1 0 ^{j - 1}} = 8 (\frac{9}{10})^{j - 1}

である。 $j = 1$ から $k$ まで足すと、公比 $\frac{9}{10}$ の等比数列の和になり

n = 1 \sum 1 0^{k} - 1 b_{n} ≦ j = 1 \sum k 8 (\frac{9}{10})^{j - 1} = 8 \cdot \frac{1 - ( \frac{9}{10} ) ^{k}}{1 - \frac{9}{10}} = 80 {1 - (\frac{9}{10})^{k}}

である。 $(\frac{9}{10})^{k} > 0$ なので右辺は $80$ より小さい。したがって

n = 1 \sum 1 0^{k} - 1 b_{n} < 80

である。 $■$

これは「ケンプナー級数」と呼ばれる有名な級数で、実際の和は $k \to \infty$ で $22.92 \dots$ に収束する。 $80$ はかなりゆるい評価だが、それでも $9$ を含む数を除くだけで調和級数が収束に変わる、というのが面白いところである。

$k = 5$ では実際の和が $9.69$ で、評価値 $32.76$ よりも小さかった。

桁数ごとに「個数 × いちばん大きい項」で押さえる。1つずつ足そうとすると終わらない。

$j$ 桁の数の最小は $1 0^{j - 1}$ 。ここで $\frac{1}{n}$ が最大になる。

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