東京都立大 数理科学科数学の出題傾向と対策

大問3題，完全記述式。答案用紙は大問ごとに1枚の計3枚。 定規とコンパスの使用が認められ（分度器は不可），公式集は配られない。 出題範囲は数学II・III・B（数列）・C（ベクトル，平面上の曲線と複素数平面）が中心である。

配点は非公表である。

8年24題を主題で数え直すと，設計ははっきりしている。

ここから読み取るべきことは3つある。

• 複素数平面は必答枠である。2020年度以降，出ていない年がない。 しかも理系共通問題では8年で1回しか出ていないので， 複素数平面の負担はほぼ全部この3題に集まる。ここを空欄で出すのは致命的である。
• 確率・場合の数が8年間1題も出ていない。 空間ベクトル（空間図形）も出ていない。 この2分野は理系共通問題のほうで手当てされている。
• 「示しなさい」が4割近くを占める。 24題78小問のうち30小問（38%）が証明である。 理系共通問題は $14\%$ にすぎないので，これはまったく別の試験だと考えたほうがよい。 しかも年による振れが大きく，2024年度は9小問中8問， 2021年度は11小問中6問が証明であった（逆に2025年度は0問）。

同じ大学の同じ日程でありながら，2つの数学は性格がはっきり違う。

同じ対策では通用しない。 理系共通問題の対策で身につくのは「定型処理を速く正確に」であるが， 数理科学科用で問われるのは「与えられた誘導に沿って，穴のない証明を書く」ことである。

数理科学科用の3題は，理系共通問題より明確に難しい。 ただしそれは計算が重いからではなく， 答えが最初から与えられていて，論証だけが評価される小問が多いからである。

難易度の設計は小問の位置で決まっている。 8年24題の小問を位置ごとに分類すると次のようになる。

実測すると次のようになる。

とくに証明小問の比率は本番の $38\%$ に対し $62\%$ で， 1.6倍の密度で論証を要求している。

ただし「難しくするために計算を重くする」ことはしていない。 本番の数理科学科用は8年を通じて計算量そのものは中程度で， 差がつくのは論証の詰めだからである。

目標は1完＋2半（80〜90点／150点満点）である。 数理科学科の合格者でも3題完答は多くない。 3題すべての(1)(2)を確実に取るだけで到達できる水準に目標を置き， そのうえで得意な1題を完答しにいくのが正しい戦略である。

• 最終小問を必ず一段上に置いた。
• (1)で作った道具を(4)まで引きずる構成にした。 第1回1では(2)の不等式を(4)で $\log (1+x)$ に作り直させ， 第5回2では(1)の2倍角を $n$ 回反復させる。 途中で1つ落とすと最後まで届かないという，本番の「型A」を強めたものである。
• 大学数学の入口にあたる結果を結論に置いた。 トレミーの定理，ウィルソンの定理，カタラン数の整数性， 2つの平方数の和の積，オイラー線，$\frac{\sin \theta }{\theta }$ への収束—— いずれも本番が好んで置いてきた（$e$ の級数，$\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\alpha -\beta }$ の整数性， 円の極線）のと同じ性格の題材である。