東京都立大 数理科学科数学の
傾向と対策

大問3題、完全記述式。答案用紙は大問ごとに1枚の計3枚。定規とコンパスの使用が認められ（分度器は不可）、公式集は配られない。出題範囲は数学II・III・B（数列）・C（ベクトル、平面上の曲線と複素数平面）が中心である。

配点は非公表である。

8年24題を主題で数え直すと、設計ははっきりしている。

ここから読み取るべきことは3つある。

• 複素数平面は必答枠である。2020年度以降、出ていない年がない。しかも理系共通問題では8年で1回しか出ていないので、複素数平面の負担はほぼ全部この3題に集まる。ここを空欄で出すのは致命的である。
• 確率・場合の数が8年間1題も出ていない。空間ベクトル（空間図形）も出ていない。この2分野は理系共通問題のほうで手当てされている。
• 「示しなさい」が4割近くを占める。24題78小問のうち30小問（38%）が証明である。理系共通問題は $14\%$ にすぎないので、これはまったく別の試験だと考えたほうがよい。しかも年による振れが大きく、2024年度は9小問中8問、2021年度は11小問中6問が証明であった（逆に2025年度は0問）。

同じ大学の同じ日程でありながら、2つの数学は性格がはっきり違う。

同じ対策では通用しない。理系共通問題の対策で身につくのは「定型処理を速く正確に」であるが、数理科学科用で問われるのは「与えられた誘導に沿って、穴のない証明を書く」ことである。

数理科学科用の3題は、理系共通問題より明確に難しい。ただしそれは計算が重いからではなく、答えが最初から与えられていて、論証だけが評価される小問が多いからである。

難易度の設計は小問の位置で決まっている。8年24題の小問を位置ごとに分類すると次のようになる。

実測すると次のようになる。

とくに証明小問の比率は本番の $38\%$ に対し $62\%$ で、1.6倍の密度で論証を要求している。

ただし「難しくするために計算を重くする」ことはしていない。本番の数理科学科用は8年を通じて計算量そのものは中程度で、差がつくのは論証の詰めだからである。

目標は1完＋2半（80〜90点／150点満点）である。数理科学科の合格者でも3題完答は多くない。3題すべての(1)(2)を確実に取るだけで到達できる水準に目標を置き、そのうえで得意な1題を完答しにいくのが正しい戦略である。

• 最終小問を必ず一段上に置いた。
• (1)で作った道具を(4)まで引きずる構成にした。 途中で1つ落とすと最後まで届かないという、本番の「型A」を強めたものである。
• 大学数学の入口にあたる結果を結論に置いた。トレミーの定理、ウィルソンの定理、カタラン数の整数性、2つの平方数の和の積、オイラー線、$\frac{\sin \theta }{\theta }$ への収束——いずれも本番が好んで置いてきた（$e$ の級数、$\frac{{\alpha }^n-{\beta }^n}{\alpha -\beta }$ の整数性、円の極線）のと同じ性格の題材である。