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東北大学　2024年度　前期日程　文系

第4問整数の解答・解説

共役な無理数・連立漸化式・数学的帰納法・1次不定方程式当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $n$ を正の整数とし、2つの整数 $a_{n}, b_{n}$ を $(1 + 2)^{n} = a_{n} + b_{n} 2$ で定める。 $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ を用いてそれぞれ表し、さらに $b_{4}, b_{5}, b_{6}$ の値を求める

答 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}$ 、 $b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ 。 $b_{4} = 12$ 、 $b_{5} = 29$ 、 $b_{6} = 70$

$(1 + 2)^{n + 1} = (1 + 2)^{n} (1 + 2)$ を展開し、 $2$ が無理数であることから係数を比べる。

$(1 + 2)^{n + 1} = (a_{n} + b_{n} 2) (1 + 2)$ を展開すると

= a_{n} + a_{n} 2 + b_{n} 2 + 2 b_{n} = (a_{n} + 2 b_{n}) + (a_{n} + b_{n}) 2

である。 $2$ は無理数なので、整数 $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ との表しかたは1通りに決まる。よって

a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}

である。 $a_{1} = b_{1} = 1$ から順に計算すると

$(a_{2}, b_{2}) = (1 + 2, 1 + 1) = (3, 2)$
$(a_{3}, b_{3}) = (3 + 4, 3 + 2) = (7, 5)$
$(a_{4}, b_{4}) = (7 + 10, 7 + 5) = (17, 12)$
$(a_{5}, b_{5}) = (17 + 24, 17 + 12) = (41, 29)$
$(a_{6}, b_{6}) = (41 + 58, 41 + 29) = (99, 70)$

である。よって

b_{4} = 12, b_{5} = 29, b_{6} = 70

である。

この漸化式で作った $a_{n} + b_{n} 2$ は $n = 14$ まで $(1 + 2)^{n}$ と一致した。

(2)等式 $(1 - 2)^{n} = a_{n} - b_{n} 2$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す

答 $2$ の符号を反転させた掛け算が、(1) の漸化式をそのまま再現する

$n = 1$ を確かめ、 $n$ から $n + 1$ は (1) とまったく同じ展開をする。 $2$ の前の符号が逆になるだけ。

$n = 1$ 。 $a_{1} = b_{1} = 1$ なので $a_{1} - b_{1} 2 = 1 - 2$ ✓。

$n \to n + 1$ 。 $(1 - 2)^{n} = a_{n} - b_{n} 2$ と仮定する。このとき

(1 - 2)^{n + 1} = (a_{n} - b_{n} 2) (1 - 2) = a_{n} - a_{n} 2 - b_{n} 2 + 2 b_{n}

すなわち

= (a_{n} + 2 b_{n}) - (a_{n} + b_{n}) 2 = a_{n + 1} - b_{n + 1} 2

である（最後は (1) の漸化式）。よって $n + 1$ でも成り立つ。数学的帰納法よりすべての正の整数 $n$ で成り立つ。 $■$

$1 + 2$ と $1 - 2$ は「共役」な数で、足し算・掛け算をしても $2$ の符号が入れかわるだけ、という関係が保たれる。

(1) で作った $a_{n}, b_{n}$ について $a_{n} - b_{n} 2$ を計算すると、 $n = 14$ まで $(1 - 2)^{n}$ と一致した。

(3) $n ≧ 2$ のとき、 $b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2}$ を求める

答 $b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2} = (- 1)^{n}$

(1)(2) を掛け合わせると $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = (- 1)^{n}$ が出る。あとは $b_{n + 1}, b_{n - 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ で書き直せばよい。

(1) と (2) の両辺を掛けると

(1 + 2)^{n} (1 - 2)^{n} = (a_{n} + b_{n} 2) (a_{n} - b_{n} 2)

すなわち

(1 - 2)^{n} = a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2}, a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = (- 1)^{n}

である。

次に $b_{n \pm 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ で書く。(1) より $b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ である。また $n ≧ 2$ のとき (1) を $n - 1$ で使うと

a_{n} = a_{n - 1} + 2 b_{n - 1}, b_{n} = a_{n - 1} + b_{n - 1}

なので、辺々引いて

a_{n} - b_{n} = b_{n - 1}

である。したがって

b_{n + 1} b_{n - 1} = (a_{n} + b_{n}) (a_{n} - b_{n}) = a_{n}^{2} - b_{n}^{2}

となり

b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2} = a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = (- 1)^{n}

である。

$n = 2$ から $8$ まで $b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2}$ を計算すると $1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, 1$ で、 $(- 1)^{n}$ と一致した。

$b_{n - 1} = a_{n} - b_{n}$ を出すところが山場。(1) の2本の漸化式を $n - 1$ で書いて引けばよい。

(4) $p b_{6} - q b_{5} = 1$ 、 $0 ≦ p ≦ 100$ 、 $0 ≦ q ≦ 100$ をすべて満たす整数 $p, q$ の組 $(p, q)$ を1組求める

答 $(p, q) = (17, 41)$

(3) を $n = 5$ で使うと $70 \cdot 12 - 2 9^{2} = - 1$ という具体的な等式が手に入る。これを出発点にして、 $70$ と $29$ の倍数を足し引きして範囲に入れる。

(1) より $b_{6} = 70$ 、 $b_{5} = 29$ なので、求める式は

70 p - 29 q = 1

である。(3) を $n = 5$ で使うと

b_{6} b_{4} - b_{5}^{2} = (- 1)^{5} = - 1, 70 \cdot 12 - 29 \cdot 29 = - 1

である（ $840 - 841 = - 1$ ✓）。両辺に $- 1$ を掛けると

70 \cdot (- 12) - 29 \cdot (- 29) = 1

なので $(p, q) = (- 12, - 29)$ は方程式を満たす。ただし範囲外である。

$70 \cdot 29 - 29 \cdot 70 = 0$ なので、 $(p, q)$ を $(p + 29, q + 70)$ に取りかえても方程式は成り立つ。1回ずらすと

(p, q) = (- 12 + 29, - 29 + 70) = (17, 41)

となり、 $0 ≦ 17 ≦ 100$ 、 $0 ≦ 41 ≦ 100$ を満たす。実際

70 \cdot 17 - 29 \cdot 41 = 1190 - 1189 = 1

である。よって

(p, q) = (17, 41)

が条件を満たす。

もう1回ずらすと $(46, 111)$ で $q$ が $100$ を超える。したがって範囲内の組はこの1組だけである。また $17 = a_{4}$ 、 $41 = a_{5}$ になっているのも偶然ではない。

$0 ≦ p, q ≦ 100$ を全探索すると、 $70 p - 29 q = 1$ の解は $(17, 41)$ だけだった。

(3) をどの $n$ で使うかを考える。 $b_{6}, b_{5}$ が出てくるのは $n = 5$ のときである。

$70$ と $29$ は互いに素なので、解は $29$ と $70$ ずつずれて無数にある。範囲に入るものを選ぶ。

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問題文について

(1)n を正の整数とし、2つの整数 an​,bn​ を (1+2​)n=an​+bn​2​ で定める。an+1​,bn+1​ を an​,bn​ を用いてそれぞれ表し、さらに b4​,b5​,b6​ の値を求める

(2)等式 (1−2​)n=an​−bn​2​ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す

(3)n≧2 のとき、bn+1​bn−1​−bn2​ を求める

(4)pb6​−qb5​=1、0≦p≦100、0≦q≦100 をすべて満たす整数 p,q の組 (p,q) を1組求める

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