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東北大学　2024年度　前期日程　文系

第2問図形と計量の解答・解説

加法定理・直角三角形と tan・方べきの定理・相似当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $tan 7 5^{\circ}$ の値を求める

答 $tan 7 5^{\circ} = 2 + 3$

$7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ と見て加法定理。分母を有理化すると平方がきれいにほどける。

$tan$ の加法定理より

tan 7 5^{\circ} = tan (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = \frac{tan 4 5 ^{\circ} + tan 3 0 ^{\circ}}{1 - tan 4 5 ^{\circ} tan 3 0 ^{\circ}} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}}

である。分母・分子を $3$ 倍すると

= \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{4 + 2 3}{2} = 2 + 3

である。

ついでに $tan 1 5^{\circ} = \frac{1}{tan 7 5 ^{\circ}} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3$ も出る（ $1 5^{\circ}$ と $7 5^{\circ}$ は余角どうし）。

$tan 7 5^{\circ} = 3.732050808$ で $2 + 3 = 3.732050808$ と一致した。

(2) $a, b, d$ を正の実数とし、 $x y$ 平面上の点 $O (0, 0)$ 、 $A (a, 0)$ 、 $B (b, 0)$ 、 $D (0, d)$ が $∠ OAD = 1 5^{\circ}$ 、 $∠ OBD = 7 5^{\circ}$ 、 $AB = 6$ をすべて満たすとき、 $a, b, d$ の値をそれぞれ求める

答 $a = 3 + 23$ 、 $b = 23 - 3$ 、 $d = 3$

$△ OAD$ も $△ OBD$ も $O$ が直角である。だから $tan$ の定義そのままで $a, b$ を $d$ で表せる。

$A$ と $B$ は $x$ 軸上、 $D$ は $y$ 軸上にあるので、 $△ OAD$ と $△ OBD$ はどちらも $∠ AOD = ∠ BOD = 9 0^{\circ}$ の直角三角形である。したがって

tan 1 5^{\circ} = tan ∠ OAD = \frac{OD}{OA} = \frac{d}{a}, tan 7 5^{\circ} = tan ∠ OBD = \frac{OD}{OB} = \frac{d}{b}

である。(1) と $tan 1 5^{\circ} = 2 - 3$ より

a = \frac{d}{2 - 3} = d (2 + 3), b = \frac{d}{2 + 3} = d (2 - 3)

である（ $\frac{1}{2 - 3} = 2 + 3$ 、 $\frac{1}{2 + 3} = 2 - 3$ ）。 $2 + 3 > 2 - 3 > 0$ なので $a > b > 0$ であり

AB = a - b = d {(2 + 3) - (2 - 3)} = 23 d = 6

である。よって

d = \frac{6}{2 3} = \frac{3}{3} = 3

で、これを代入して

a = 3 (2 + 3) = 3 + 23, b = 3 (2 - 3) = 23 - 3

である。 $23 = 3.46 \dots > 3$ なので $b > 0$ も満たしている。

この $a, b, d$ で角と長さを計算し直すと $1 5^{\circ}$ 、 $7 5^{\circ}$ 、 $AB = 6$ がぴったり出た。

$AB = ∣ a - b ∣$ である。 $tan 7 5^{\circ} > tan 1 5^{\circ}$ から $a > b$ を確かめてから引く。

(3)2点 $O, D$ を直径の両端とする円を $C$ とし、線分 $AD$ と $C$ の交点のうち $D$ と異なるものを $P$ 、線分 $BD$ と $C$ の交点のうち $D$ と異なるものを $Q$ とするとき、 $AP \cdot AD = AO^{2}$ 、 $BQ \cdot BD = BO^{2}$ を示す

答 $x$ 軸は $C$ に $O$ で接している。接線と割線についての方べきの定理そのもの

$OD$ が直径で、 $OA ⊥ OD$ 。つまり $x$ 軸は円 $C$ と $O$ で接している。あとは方べきの定理の「接線版」をあてはめるだけ。相似を使って直接示してもよい。

$C$ の中心は $OD$ の中点 $(0, \frac{d}{2})$ である。中心から $x$ 軸までの距離は $\frac{d}{2}$ で、これは半径に等しい。したがって

x 軸は円 C に点 O で接する

である。直線 $AD$ は $C$ と2点 $P, D$ で交わるから、点 $A$ についての方べきの定理（接線と割線）より

AP \cdot AD = AO^{2}

である。同じく直線 $BD$ は $C$ と2点 $Q, D$ で交わるので

BQ \cdot BD = BO^{2}

である。 $■$

円 C は OD を直径とする円で、x 軸と O で接している。∠OPD も ∠OQD も直径に対する円周角なので 90°、つまり OP ⊥ AD、OQ ⊥ BD。破線が垂線 OP, OQ。a = 3 + 2√3 ≒ 6.46、b = 2√3 - 3 ≒ 0.46、d = √3 ≒ 1.73。

方べきの定理を使わずに示すなら。 $OD$ は直径なので、円周角の定理より $∠ OPD = 9 0^{\circ}$ 、すなわち $OP ⊥ AD$ である。 $△ APO$ と $△ AOD$ を比べると

$∠ A$ は共通
$∠ APO = ∠ AOD = 9 0^{\circ}$

なので2角が等しく、 $△ APO \sim △ AOD$ である。対応する辺の比から

\frac{AP}{AO} = \frac{AO}{AD}, AP \cdot AD = AO^{2}

となる。 $B$ 側もまったく同じである。

数値で $AP \cdot AD = 41.784609691 = AO^{2}$ 、 $BQ \cdot BD = 0.215390309 = BO^{2}$ だった。

$x$ 軸が円 $C$ の接線であることを言うのが要点。 $OD$ が直径で $OA ⊥ OD$ だからである。

(4)(3) の点 $P, Q$ に対し、積 $AP \cdot BQ$ の値を求める

答 $AP \cdot BQ = \frac{3}{4}$

(3) から $AP = \frac{AO ^{2}}{AD}$ 、 $BQ = \frac{BO ^{2}}{BD}$ 。あとは $AD, BD$ を三平方の定理で出して掛けるだけ。積の形なので、平方どうしがきれいに約分される。

(3) より

AP = \frac{AO ^{2}}{AD} = \frac{a ^{2}}{a ^{2} + d ^{2}}, BQ = \frac{BO ^{2}}{BD} = \frac{b ^{2}}{b ^{2} + d ^{2}}

である。(2) の値を入れる。 $a = 3 + 23$ 、 $b = 23 - 3$ 、 $d = 3$ なので

a^{2} = 21 + 123, b^{2} = 21 - 123, d^{2} = 3

である。したがって

a^{2} b^{2} = (21)^{2} - (123)^{2} = 441 - 432 = 9

で、また

(a^{2} + d^{2}) (b^{2} + d^{2}) = (24 + 123) (24 - 123) = 576 - 432 = 144

である。よって

AP \cdot BQ = \frac{a ^{2} b ^{2}}{( a ^{2} + d ^{2} ) ( b ^{2} + d ^{2} )} = \frac{9}{144} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

である。

角で書くと見通しがよい。 $AD = \frac{d}{sin 1 5 ^{\circ}}$ 、 $AO = \frac{d}{tan 1 5 ^{\circ}}$ なので $AP = \frac{d cos ^{2} 1 5 ^{\circ}}{sin 1 5 ^{\circ}}$ 、同様に $BQ = \frac{d cos ^{2} 7 5 ^{\circ}}{sin 7 5 ^{\circ}}$ である。 $cos 7 5^{\circ} = sin 1 5^{\circ}$ 、 $sin 7 5^{\circ} = cos 1 5^{\circ}$ を使うと

AP \cdot BQ = d^{2} sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = \frac{d ^{2}}{2} sin 3 0^{\circ} = \frac{d ^{2}}{4} = \frac{3}{4}

となる。 $1 5^{\circ}$ と $7 5^{\circ}$ が足して $9 0^{\circ}$ であることが効いている。

数値では $AP \cdot BQ = 0.750000000$ だった。

$AP$ と $BQ$ を別々に根号のまま求めようとすると面倒になる。積にしてから計算すると根号が外れる。

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問題文について

(1)tan75∘ の値を求める

(2)a,b,d を正の実数とし、xy 平面上の点 O(0,0)、A(a,0)、B(b,0)、D(0,d) が ∠OAD=15∘、∠OBD=75∘、AB=6 をすべて満たすとき、a,b,d の値をそれぞれ求める

(3)2点 O,D を直径の両端とする円を C とし、線分 AD と C の交点のうち D と異なるものを P、線分 BD と C の交点のうち D と異なるものを Q とするとき、AP⋅AD=AO2、BQ⋅BD=BO2 を示す

(4)(3) の点 P,Q に対し、積 AP⋅BQ の値を求める