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東北大学　2024年度　前期日程　文系

東北大文系 2024年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　2次関数・積分法

放物線の頂点・接線・解と係数の関係・面積当サイトの体感難易度：標準

(1) $a > 0$ 、 $f (x) = x^{2} - 2 a x + 4 a^{2}$ とし、 $C : y = f (x)$ の頂点を $A$ 、直線 $OA$ と $C$ の交点のうち $A$ と異なるものを $P (p, f (p))$ 、原点 $O$ から $C$ へ引いた接線の接点を $Q (q, f (q))$ （ $q > 0$ ）とするとき、 $p, q$ を $a$ で表し、 $p > q$ を示す

答 $p = 4 a$ 、 $q = 2 a$ 。 $a > 0$ より $4 a > 2 a$

頂点は平方完成で出る。 $P$ は「直線 $OA$ と $C$ の連立」で、 $x = a$ （ $A$ ）が必ず解になるので因数分解できる。 $Q$ は「接線が原点を通る」を $q$ の方程式にする。

頂点。 平方完成すると

f (x) = (x - a)^{2} + 3 a^{2}

なので $A (a, 3 a^{2})$ である。 $a > 0$ より直線 $OA$ は

y = \frac{3 a ^{2}}{a} x = 3 a x

である。

$p$ 。 $C$ と連立して

x^{2} - 2 a x + 4 a^{2} = 3 a x, x^{2} - 5 a x + 4 a^{2} = 0, (x - a) (x - 4 a) = 0

である。 $x = a$ は $A$ なので、 $P$ の $x$ 座標は

p = 4 a

である。

$q$ 。 $f^{'} (x) = 2 x - 2 a$ なので、 $x = q$ における接線は

y = (2 q - 2 a) (x - q) + f (q)

である。これが原点を通るから、 $x = y = 0$ を入れて

0 = - q (2 q - 2 a) + q^{2} - 2 a q + 4 a^{2} = - q^{2} + 4 a^{2}

すなわち $q^{2} = 4 a^{2}$ である。 $q > 0$ 、 $a > 0$ だから

q = 2 a

である。 $a > 0$ より $p - q = 4 a - 2 a = 2 a > 0$ なので $p > q$ である。 $■$

$Q (2 a, 4 a^{2})$ 、 $P (4 a, 12 a^{2})$ である。 $OQ$ の傾きは $\frac{4 a ^{2}}{2 a} = 2 a = f^{'} (2 a)$ で、確かに接している。

$a = 2$ では $A (2, 12)$ 、 $P (8, 48)$ 、 $Q (4, 16)$ で、 $OP$ の傾き $6 = 3 a$ 、 $OQ$ の傾き $4 = f^{'} (4)$ だった。

$A$ は $C$ 上の点なので、直線 $OA$ と $C$ の連立では $x = a$ が必ず解になる。これを使えば因数分解が見える。

接点を文字でおいて「接線が原点を通る」と立てる。原点から接線を引く問題の定石である。

(2) $C$ の $q ≦ x ≦ p$ の部分、線分 $OP$ 、線分 $OQ$ で囲まれた図形の面積 $S$ を $a$ で表す

答 $S = \frac{16 a ^{3}}{3}$

$0 ≦ x ≦ 2 a$ では上が $OP$ ・下が $OQ$ 、 $2 a ≦ x ≦ 4 a$ では上が $OP$ ・下が $C$ になる。2つに分けて積分するだけ。後半は $\frac{1}{6}$ 公式が使える形である。

a = 1/2 のときの様子。放物線 C の頂点が A、直線 OA と C のもう1つの交点が P、原点から引いた接線の接点が Q。網かけが求める面積 S。

$OP$ は $y = 3 a x$ 、 $OQ$ は $y = 2 a x$ である。まず上下を確かめる。

$f (x) - 2 a x = x^{2} - 4 a x + 4 a^{2} = (x - 2 a)^{2} ≧ 0$ ： $C$ は接線 $OQ$ の上側（接点 $x = 2 a$ でのみ一致）
$f (x) - 3 a x = (x - a) (x - 4 a)$ ： $a ≦ x ≦ 4 a$ で $≦ 0$ 、つまり $C$ は直線 $OP$ の下側
$3 a x - 2 a x = a x ≧ 0$ （ $x ≧ 0$ ）： $OP$ は $OQ$ の上側

したがって、求める図形は上の境界が $OP$ 、下の境界が「 $0 ≦ x ≦ 2 a$ では $OQ$ 、 $2 a ≦ x ≦ 4 a$ では $C$ 」である。

S = \int_{0}^{2 a} (3 a x - 2 a x) d x + \int_{2 a}^{4 a} {3 a x - f (x)} d x

第1項。

\int_{0}^{2 a} a x d x = \frac{a ( 2 a ) ^{2}}{2} = 2 a^{3}

第2項。 $3 a x - f (x) = - (x - a) (x - 4 a)$ なので

\int_{2 a}^{4 a} (- x^{2} + 5 a x - 4 a^{2}) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{5 a}{2} x^{2} - 4 a^{2} x]_{2 a}^{4 a}

である。 $x = 4 a$ で $- \frac{64 a ^{3}}{3} + 40 a^{3} - 16 a^{3} = \frac{8 a ^{3}}{3}$ 、 $x = 2 a$ で $- \frac{8 a ^{3}}{3} + 10 a^{3} - 8 a^{3} = - \frac{2 a ^{3}}{3}$ なので、差は $\frac{10 a ^{3}}{3}$ である。よって

S = 2 a^{3} + \frac{10 a ^{3}}{3} = \frac{16 a ^{3}}{3}

である。

$a = 1$ で数値積分すると $5.3333333333$ 、 $\frac{16}{3} = 5.3333333333$ と一致した。

境界が $x = 2 a$ で切り替わる。 $OQ$ は接線なので $x > 2 a$ では $C$ より下に行き、下側の境界にならない。

$S$ が $a^{3}$ に比例するのは、図形が $a$ 倍の相似拡大で移り合うから。次元を見る検算になる。

(3) $S = \frac{2}{3}$ となるときの $a$ の値を求める

答 $a = \frac{1}{2}$

(2) の式に代入するだけ。 $a > 0$ なので3乗根は1つに決まる。

(2) より

\frac{16 a ^{3}}{3} = \frac{2}{3}, 16 a^{3} = 2, a^{3} = \frac{1}{8}

である。 $a$ は実数なので $a = \frac{1}{2}$ であり、これは $a > 0$ を満たす。よって

a = \frac{1}{2}

である。

$a = 0.5$ で数値積分すると面積は $0.6666666667 = \frac{2}{3}$ だった。

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第2問　図形と計量

加法定理・直角三角形と tan・方べきの定理・相似当サイトの体感難易度：標準

(1) $tan 7 5^{\circ}$ の値を求める

答 $tan 7 5^{\circ} = 2 + 3$

$7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ と見て加法定理。分母を有理化すると平方がきれいにほどける。

$tan$ の加法定理より

tan 7 5^{\circ} = tan (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}) = \frac{tan 4 5 ^{\circ} + tan 3 0 ^{\circ}}{1 - tan 4 5 ^{\circ} tan 3 0 ^{\circ}} = \frac{1 + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}}

である。分母・分子を $3$ 倍すると

= \frac{3 + 1}{3 - 1} = \frac{( 3 + 1 ) ^{2}}{( 3 - 1 ) ( 3 + 1 )} = \frac{4 + 2 3}{2} = 2 + 3

である。

ついでに $tan 1 5^{\circ} = \frac{1}{tan 7 5 ^{\circ}} = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3$ も出る（ $1 5^{\circ}$ と $7 5^{\circ}$ は余角どうし）。

$tan 7 5^{\circ} = 3.732050808$ で $2 + 3 = 3.732050808$ と一致した。

(2) $a, b, d$ を正の実数とし、 $x y$ 平面上の点 $O (0, 0)$ 、 $A (a, 0)$ 、 $B (b, 0)$ 、 $D (0, d)$ が $∠ OAD = 1 5^{\circ}$ 、 $∠ OBD = 7 5^{\circ}$ 、 $AB = 6$ をすべて満たすとき、 $a, b, d$ の値をそれぞれ求める

答 $a = 3 + 23$ 、 $b = 23 - 3$ 、 $d = 3$

$△ OAD$ も $△ OBD$ も $O$ が直角である。だから $tan$ の定義そのままで $a, b$ を $d$ で表せる。

$A$ と $B$ は $x$ 軸上、 $D$ は $y$ 軸上にあるので、 $△ OAD$ と $△ OBD$ はどちらも $∠ AOD = ∠ BOD = 9 0^{\circ}$ の直角三角形である。したがって

tan 1 5^{\circ} = tan ∠ OAD = \frac{OD}{OA} = \frac{d}{a}, tan 7 5^{\circ} = tan ∠ OBD = \frac{OD}{OB} = \frac{d}{b}

である。(1) と $tan 1 5^{\circ} = 2 - 3$ より

a = \frac{d}{2 - 3} = d (2 + 3), b = \frac{d}{2 + 3} = d (2 - 3)

である（ $\frac{1}{2 - 3} = 2 + 3$ 、 $\frac{1}{2 + 3} = 2 - 3$ ）。 $2 + 3 > 2 - 3 > 0$ なので $a > b > 0$ であり

AB = a - b = d {(2 + 3) - (2 - 3)} = 23 d = 6

である。よって

d = \frac{6}{2 3} = \frac{3}{3} = 3

で、これを代入して

a = 3 (2 + 3) = 3 + 23, b = 3 (2 - 3) = 23 - 3

である。 $23 = 3.46 \dots > 3$ なので $b > 0$ も満たしている。

この $a, b, d$ で角と長さを計算し直すと $1 5^{\circ}$ 、 $7 5^{\circ}$ 、 $AB = 6$ がぴったり出た。

$AB = ∣ a - b ∣$ である。 $tan 7 5^{\circ} > tan 1 5^{\circ}$ から $a > b$ を確かめてから引く。

(3)2点 $O, D$ を直径の両端とする円を $C$ とし、線分 $AD$ と $C$ の交点のうち $D$ と異なるものを $P$ 、線分 $BD$ と $C$ の交点のうち $D$ と異なるものを $Q$ とするとき、 $AP \cdot AD = AO^{2}$ 、 $BQ \cdot BD = BO^{2}$ を示す

答 $x$ 軸は $C$ に $O$ で接している。接線と割線についての方べきの定理そのもの

$OD$ が直径で、 $OA ⊥ OD$ 。つまり $x$ 軸は円 $C$ と $O$ で接している。あとは方べきの定理の「接線版」をあてはめるだけ。相似を使って直接示してもよい。

$C$ の中心は $OD$ の中点 $(0, \frac{d}{2})$ である。中心から $x$ 軸までの距離は $\frac{d}{2}$ で、これは半径に等しい。したがって

x 軸は円 C に点 O で接する

である。直線 $AD$ は $C$ と2点 $P, D$ で交わるから、点 $A$ についての方べきの定理（接線と割線）より

AP \cdot AD = AO^{2}

である。同じく直線 $BD$ は $C$ と2点 $Q, D$ で交わるので

BQ \cdot BD = BO^{2}

である。 $■$

円 C は OD を直径とする円で、x 軸と O で接している。∠OPD も ∠OQD も直径に対する円周角なので 90°、つまり OP ⊥ AD、OQ ⊥ BD。破線が垂線 OP, OQ。a = 3 + 2√3 ≒ 6.46、b = 2√3 - 3 ≒ 0.46、d = √3 ≒ 1.73。

方べきの定理を使わずに示すなら。 $OD$ は直径なので、円周角の定理より $∠ OPD = 9 0^{\circ}$ 、すなわち $OP ⊥ AD$ である。 $△ APO$ と $△ AOD$ を比べると

$∠ A$ は共通
$∠ APO = ∠ AOD = 9 0^{\circ}$

なので2角が等しく、 $△ APO \sim △ AOD$ である。対応する辺の比から

\frac{AP}{AO} = \frac{AO}{AD}, AP \cdot AD = AO^{2}

となる。 $B$ 側もまったく同じである。

数値で $AP \cdot AD = 41.784609691 = AO^{2}$ 、 $BQ \cdot BD = 0.215390309 = BO^{2}$ だった。

$x$ 軸が円 $C$ の接線であることを言うのが要点。 $OD$ が直径で $OA ⊥ OD$ だからである。

(4)(3) の点 $P, Q$ に対し、積 $AP \cdot BQ$ の値を求める

答 $AP \cdot BQ = \frac{3}{4}$

(3) から $AP = \frac{AO ^{2}}{AD}$ 、 $BQ = \frac{BO ^{2}}{BD}$ 。あとは $AD, BD$ を三平方の定理で出して掛けるだけ。積の形なので、平方どうしがきれいに約分される。

(3) より

AP = \frac{AO ^{2}}{AD} = \frac{a ^{2}}{a ^{2} + d ^{2}}, BQ = \frac{BO ^{2}}{BD} = \frac{b ^{2}}{b ^{2} + d ^{2}}

である。(2) の値を入れる。 $a = 3 + 23$ 、 $b = 23 - 3$ 、 $d = 3$ なので

a^{2} = 21 + 123, b^{2} = 21 - 123, d^{2} = 3

である。したがって

a^{2} b^{2} = (21)^{2} - (123)^{2} = 441 - 432 = 9

で、また

(a^{2} + d^{2}) (b^{2} + d^{2}) = (24 + 123) (24 - 123) = 576 - 432 = 144

である。よって

AP \cdot BQ = \frac{a ^{2} b ^{2}}{( a ^{2} + d ^{2} ) ( b ^{2} + d ^{2} )} = \frac{9}{144} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}

である。

角で書くと見通しがよい。 $AD = \frac{d}{sin 1 5 ^{\circ}}$ 、 $AO = \frac{d}{tan 1 5 ^{\circ}}$ なので $AP = \frac{d cos ^{2} 1 5 ^{\circ}}{sin 1 5 ^{\circ}}$ 、同様に $BQ = \frac{d cos ^{2} 7 5 ^{\circ}}{sin 7 5 ^{\circ}}$ である。 $cos 7 5^{\circ} = sin 1 5^{\circ}$ 、 $sin 7 5^{\circ} = cos 1 5^{\circ}$ を使うと

AP \cdot BQ = d^{2} sin 1 5^{\circ} cos 1 5^{\circ} = \frac{d ^{2}}{2} sin 3 0^{\circ} = \frac{d ^{2}}{4} = \frac{3}{4}

となる。 $1 5^{\circ}$ と $7 5^{\circ}$ が足して $9 0^{\circ}$ であることが効いている。

数値では $AP \cdot BQ = 0.750000000$ だった。

$AP$ と $BQ$ を別々に根号のまま求めようとすると面倒になる。積にしてから計算すると根号が外れる。

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第3問　対数・不等式

対数不等式・差をとる・底の変換・整数解の絞り込み当サイトの体感難易度：やや難

(1) $t > 1$ とし、正の実数 $x$ が (a) $x > \frac{1}{t - 1}$ と (b) $x ≧ 2 lo g_{t} x$ をともに満たすとき、 $x + 1 > 2 lo g_{t} (x + 1)$ を示す

答(a) は $t > (1 + \frac{1}{x})^{2}$ と同値で、これから $2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x} < 1$ 。あとは (b) に足す

示したい式と (b) の差をとると $1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}$ になる。これが正であることが (a) そのものだ、と見抜くのがこの小問の芯である。

(a) の言い換え。 $t > 1$ より $t > 1$ なので $t - 1 > 0$ である。(a) の両辺に $t - 1 (> 0)$ を掛けると

x (t - 1) > 1, x t > x + 1, t > \frac{x + 1}{x}

である（ $x > 0$ ）。両辺とも正なので2乗して

t > (\frac{x + 1}{x})^{2}

である。 $t > 1$ だから底 $t$ の対数をとると（ $lo g_{t}$ は増加関数）

1 > 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}, すなわち 1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x} > 0 \dots ①

である。

仕上げ。 (b) は $x - 2 lo g_{t} x ≧ 0$ である。これに ① を足すと

(x - 2 lo g_{t} x) + (1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}) > 0

で、左辺の対数の部分は

2 lo g_{t} x + 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x} = 2 lo g_{t} (x \cdot \frac{x + 1}{x}) = 2 lo g_{t} (x + 1)

とまとまるので

(x + 1) - 2 lo g_{t} (x + 1) > 0

すなわち $x + 1 > 2 lo g_{t} (x + 1)$ である。 $■$

$h (u) = u - 2 lo g_{t} u$ とおくと、示したのは「 $h (x) ≧ 0$ かつ (a) ならば $h (x + 1) > 0$ 」である。差 $h (x + 1) - h (x) = 1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}$ が (a) から正になる、という構図になっている。

$t$ と $x$ を20万組ランダムにとると、(a)(b) を満たすものすべてで結論が成り立った（反例 0 件）。

(a) の分母は $t - 1$ （ $t - 1$ ではない）。 $x t > x + 1$ と変形できる形になっている。

$lo g_{t}$ が増加関数なのは $t > 1$ だから。底が $1$ より小さければ不等号が逆になる。

(2) $n ≦ 2 lo g_{2} n$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求める

答 $n = 2, 3, 4$

小さい $n$ を直接調べ、 $n ≧ 5$ では成り立たないことを (1) の帰納法で示す。(1) を $t = 2$ で使うと $\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1$ なので、 $x ≧ 3$ なら (a) が満たされる。

小さい $n$ 。 $lo g_{2} 1 = 0$ 、 $lo g_{2} 2 = 1$ 、 $lo g_{2} 4 = 2$ と、 $1 < lo g_{2} 3 < 2$ を使う。

$n = 1$ ： $1 ≦ 0$ は偽
$n = 2$ ： $2 ≦ 2$ は真
$n = 3$ ： $2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9 > lo g_{2} 8 = 3$ なので真
$n = 4$ ： $4 ≦ 4$ は真
$n = 5$ ： $2 lo g_{2} 5 = lo g_{2} 25 < lo g_{2} 32 = 5$ なので偽

$n ≧ 5$ では成り立たない。 $t = 2$ として (1) を使う。このとき

\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1 = 2.414 \dots

なので、 $x ≧ 3$ ならば (a) $x > 2 + 1$ は満たされる。そこで「 $n ≧ 5$ のとき $n > 2 lo g_{2} n$ 」を数学的帰納法で示す。

$n = 5$ のときは上で見たとおり $5 > 2 lo g_{2} 5$ である。 $n = k (≧ 5)$ で $k > 2 lo g_{2} k$ が成り立つとすると、とくに $k ≧ 2 lo g_{2} k$ であり、 $k ≧ 5 > 2 + 1$ だから (1) の仮定 (a)(b) がともに成り立つ。よって

k + 1 > 2 lo g_{2} (k + 1)

となり、 $n = k + 1$ でも成り立つ。したがって $n ≧ 5$ のすべてで $n > 2 lo g_{2} n$ 、つまり $n ≦ 2 lo g_{2} n$ は成り立たない。

以上より、求める $n$ は

n = 2, 3, 4

である。

$n ≦ 199$ を全探索すると、 $n ≦ 2 lo g_{2} n$ をみたすのは $2, 3, 4$ だけだった。

$n = 3$ の判定は $2 lo g_{2} 3$ と $3$ の比較。 $lo g_{2} 9$ と $lo g_{2} 8$ を比べれば暗算でできる。

帰納法の出発点は $n = 5$ 。 $n = 4$ では等号が成り立つので、そこから始めると「 $>$ 」が言えない。

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第4問　整数

共役な無理数・連立漸化式・数学的帰納法・1次不定方程式当サイトの体感難易度：標準

(1) $n$ を正の整数とし、2つの整数 $a_{n}, b_{n}$ を $(1 + 2)^{n} = a_{n} + b_{n} 2$ で定める。 $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ を用いてそれぞれ表し、さらに $b_{4}, b_{5}, b_{6}$ の値を求める

答 $a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}$ 、 $b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ 。 $b_{4} = 12$ 、 $b_{5} = 29$ 、 $b_{6} = 70$

$(1 + 2)^{n + 1} = (1 + 2)^{n} (1 + 2)$ を展開し、 $2$ が無理数であることから係数を比べる。

$(1 + 2)^{n + 1} = (a_{n} + b_{n} 2) (1 + 2)$ を展開すると

= a_{n} + a_{n} 2 + b_{n} 2 + 2 b_{n} = (a_{n} + 2 b_{n}) + (a_{n} + b_{n}) 2

である。 $2$ は無理数なので、整数 $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ との表しかたは1通りに決まる。よって

a_{n + 1} = a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}

である。 $a_{1} = b_{1} = 1$ から順に計算すると

$(a_{2}, b_{2}) = (1 + 2, 1 + 1) = (3, 2)$
$(a_{3}, b_{3}) = (3 + 4, 3 + 2) = (7, 5)$
$(a_{4}, b_{4}) = (7 + 10, 7 + 5) = (17, 12)$
$(a_{5}, b_{5}) = (17 + 24, 17 + 12) = (41, 29)$
$(a_{6}, b_{6}) = (41 + 58, 41 + 29) = (99, 70)$

である。よって

b_{4} = 12, b_{5} = 29, b_{6} = 70

である。

この漸化式で作った $a_{n} + b_{n} 2$ は $n = 14$ まで $(1 + 2)^{n}$ と一致した。

(2)等式 $(1 - 2)^{n} = a_{n} - b_{n} 2$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す

答 $2$ の符号を反転させた掛け算が、(1) の漸化式をそのまま再現する

$n = 1$ を確かめ、 $n$ から $n + 1$ は (1) とまったく同じ展開をする。 $2$ の前の符号が逆になるだけ。

$n = 1$ 。 $a_{1} = b_{1} = 1$ なので $a_{1} - b_{1} 2 = 1 - 2$ ✓。

$n \to n + 1$ 。 $(1 - 2)^{n} = a_{n} - b_{n} 2$ と仮定する。このとき

(1 - 2)^{n + 1} = (a_{n} - b_{n} 2) (1 - 2) = a_{n} - a_{n} 2 - b_{n} 2 + 2 b_{n}

すなわち

= (a_{n} + 2 b_{n}) - (a_{n} + b_{n}) 2 = a_{n + 1} - b_{n + 1} 2

である（最後は (1) の漸化式）。よって $n + 1$ でも成り立つ。数学的帰納法よりすべての正の整数 $n$ で成り立つ。 $■$

$1 + 2$ と $1 - 2$ は「共役」な数で、足し算・掛け算をしても $2$ の符号が入れかわるだけ、という関係が保たれる。

(1) で作った $a_{n}, b_{n}$ について $a_{n} - b_{n} 2$ を計算すると、 $n = 14$ まで $(1 - 2)^{n}$ と一致した。

(3) $n ≧ 2$ のとき、 $b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2}$ を求める

答 $b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2} = (- 1)^{n}$

(1)(2) を掛け合わせると $a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = (- 1)^{n}$ が出る。あとは $b_{n + 1}, b_{n - 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ で書き直せばよい。

(1) と (2) の両辺を掛けると

(1 + 2)^{n} (1 - 2)^{n} = (a_{n} + b_{n} 2) (a_{n} - b_{n} 2)

すなわち

(1 - 2)^{n} = a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2}, a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = (- 1)^{n}

である。

次に $b_{n \pm 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ で書く。(1) より $b_{n + 1} = a_{n} + b_{n}$ である。また $n ≧ 2$ のとき (1) を $n - 1$ で使うと

a_{n} = a_{n - 1} + 2 b_{n - 1}, b_{n} = a_{n - 1} + b_{n - 1}

なので、辺々引いて

a_{n} - b_{n} = b_{n - 1}

である。したがって

b_{n + 1} b_{n - 1} = (a_{n} + b_{n}) (a_{n} - b_{n}) = a_{n}^{2} - b_{n}^{2}

となり

b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2} = a_{n}^{2} - 2 b_{n}^{2} = (- 1)^{n}

である。

$n = 2$ から $8$ まで $b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2}$ を計算すると $1, - 1, 1, - 1, 1, - 1, 1$ で、 $(- 1)^{n}$ と一致した。

$b_{n - 1} = a_{n} - b_{n}$ を出すところが山場。(1) の2本の漸化式を $n - 1$ で書いて引けばよい。

(4) $p b_{6} - q b_{5} = 1$ 、 $0 ≦ p ≦ 100$ 、 $0 ≦ q ≦ 100$ をすべて満たす整数 $p, q$ の組 $(p, q)$ を1組求める

答 $(p, q) = (17, 41)$

(3) を $n = 5$ で使うと $70 \cdot 12 - 2 9^{2} = - 1$ という具体的な等式が手に入る。これを出発点にして、 $70$ と $29$ の倍数を足し引きして範囲に入れる。

(1) より $b_{6} = 70$ 、 $b_{5} = 29$ なので、求める式は

70 p - 29 q = 1

である。(3) を $n = 5$ で使うと

b_{6} b_{4} - b_{5}^{2} = (- 1)^{5} = - 1, 70 \cdot 12 - 29 \cdot 29 = - 1

である（ $840 - 841 = - 1$ ✓）。両辺に $- 1$ を掛けると

70 \cdot (- 12) - 29 \cdot (- 29) = 1

なので $(p, q) = (- 12, - 29)$ は方程式を満たす。ただし範囲外である。

$70 \cdot 29 - 29 \cdot 70 = 0$ なので、 $(p, q)$ を $(p + 29, q + 70)$ に取りかえても方程式は成り立つ。1回ずらすと

(p, q) = (- 12 + 29, - 29 + 70) = (17, 41)

となり、 $0 ≦ 17 ≦ 100$ 、 $0 ≦ 41 ≦ 100$ を満たす。実際

70 \cdot 17 - 29 \cdot 41 = 1190 - 1189 = 1

である。よって

(p, q) = (17, 41)

が条件を満たす。

もう1回ずらすと $(46, 111)$ で $q$ が $100$ を超える。したがって範囲内の組はこの1組だけである。また $17 = a_{4}$ 、 $41 = a_{5}$ になっているのも偶然ではない。

$0 ≦ p, q ≦ 100$ を全探索すると、 $70 p - 29 q = 1$ の解は $(17, 41)$ だけだった。

(3) をどの $n$ で使うかを考える。 $b_{6}, b_{5}$ が出てくるのは $n = 5$ のときである。

$70$ と $29$ は互いに素なので、解は $29$ と $70$ ずつずれて無数にある。範囲に入るものを選ぶ。

第4問だけのページ

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問題文について

(1)a>0、f(x)=x2−2ax+4a2 とし、C:y=f(x) の頂点を A、直線 OA と C の交点のうち A と異なるものを P(p,f(p))、原点 O から C へ引いた接線の接点を Q(q,f(q))（q>0）とするとき、p,q を a で表し、p>q を示す

(2)C の q≦x≦p の部分、線分 OP、線分 OQ で囲まれた図形の面積 S を a で表す

(3)S=32​ となるときの a の値を求める

(1)tan75∘ の値を求める

(2)a,b,d を正の実数とし、xy 平面上の点 O(0,0)、A(a,0)、B(b,0)、D(0,d) が ∠OAD=15∘、∠OBD=75∘、AB=6 をすべて満たすとき、a,b,d の値をそれぞれ求める

(3)2点 O,D を直径の両端とする円を C とし、線分 AD と C の交点のうち D と異なるものを P、線分 BD と C の交点のうち D と異なるものを Q とするとき、AP⋅AD=AO2、BQ⋅BD=BO2 を示す

(4)(3) の点 P,Q に対し、積 AP⋅BQ の値を求める

(1)t>1 とし、正の実数 x が (a) x>t​−11​ と (b) x≧2logt​x をともに満たすとき、x+1>2logt​(x+1) を示す

(2)n≦2log2​n を満たす正の整数 n をすべて求める

(1)n を正の整数とし、2つの整数 an​,bn​ を (1+2​)n=an​+bn​2​ で定める。an+1​,bn+1​ を an​,bn​ を用いてそれぞれ表し、さらに b4​,b5​,b6​ の値を求める

(2)等式 (1−2​)n=an​−bn​2​ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す

(3)n≧2 のとき、bn+1​bn−1​−bn2​ を求める

(4)pb6​−qb5​=1、0≦p≦100、0≦q≦100 をすべて満たす整数 p,q の組 (p,q) を1組求める

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(2) $C$ の $q ≦ x ≦ p$ の部分、線分 $OP$ 、線分 $OQ$ で囲まれた図形の面積 $S$ を $a$ で表す

(3) $S = \frac{2}{3}$ となるときの $a$ の値を求める

(1) $tan 7 5^{\circ}$ の値を求める

(2) $a, b, d$ を正の実数とし、 $x y$ 平面上の点 $O (0, 0)$ 、 $A (a, 0)$ 、 $B (b, 0)$ 、 $D (0, d)$ が $∠ OAD = 1 5^{\circ}$ 、 $∠ OBD = 7 5^{\circ}$ 、 $AB = 6$ をすべて満たすとき、 $a, b, d$ の値をそれぞれ求める

(3)2点 $O, D$ を直径の両端とする円を $C$ とし、線分 $AD$ と $C$ の交点のうち $D$ と異なるものを $P$ 、線分 $BD$ と $C$ の交点のうち $D$ と異なるものを $Q$ とするとき、 $AP \cdot AD = AO^{2}$ 、 $BQ \cdot BD = BO^{2}$ を示す

(4)(3) の点 $P, Q$ に対し、積 $AP \cdot BQ$ の値を求める

(1) $t > 1$ とし、正の実数 $x$ が (a) $x > \frac{1}{t - 1}$ と (b) $x ≧ 2 lo g_{t} x$ をともに満たすとき、 $x + 1 > 2 lo g_{t} (x + 1)$ を示す

(2) $n ≦ 2 lo g_{2} n$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求める

(1) $n$ を正の整数とし、2つの整数 $a_{n}, b_{n}$ を $(1 + 2)^{n} = a_{n} + b_{n} 2$ で定める。 $a_{n + 1}, b_{n + 1}$ を $a_{n}, b_{n}$ を用いてそれぞれ表し、さらに $b_{4}, b_{5}, b_{6}$ の値を求める

(2)等式 $(1 - 2)^{n} = a_{n} - b_{n} 2$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す

(3) $n ≧ 2$ のとき、 $b_{n + 1} b_{n - 1} - b_{n}^{2}$ を求める

(4) $p b_{6} - q b_{5} = 1$ 、 $0 ≦ p ≦ 100$ 、 $0 ≦ q ≦ 100$ をすべて満たす整数 $p, q$ の組 $(p, q)$ を1組求める