第3問対数・不等式の解答・解説

対数不等式・差をとる・底の変換・整数解の絞り込み当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1) $t > 1$ とし、正の実数 $x$ が (a) $x > \frac{1}{t - 1}$ と (b) $x ≧ 2 lo g_{t} x$ をともに満たすとき、 $x + 1 > 2 lo g_{t} (x + 1)$ を示す

答(a) は $t > (1 + \frac{1}{x})^{2}$ と同値で、これから $2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x} < 1$ 。あとは (b) に足す

示したい式と (b) の差をとると $1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}$ になる。これが正であることが (a) そのものだ、と見抜くのがこの小問の芯である。

(a) の言い換え。 $t > 1$ より $t > 1$ なので $t - 1 > 0$ である。(a) の両辺に $t - 1 (> 0)$ を掛けると

x (t - 1) > 1, x t > x + 1, t > \frac{x + 1}{x}

である（ $x > 0$ ）。両辺とも正なので2乗して

t > (\frac{x + 1}{x})^{2}

である。 $t > 1$ だから底 $t$ の対数をとると（ $lo g_{t}$ は増加関数）

1 > 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}, すなわち 1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x} > 0 \dots ①

である。

仕上げ。 (b) は $x - 2 lo g_{t} x ≧ 0$ である。これに ① を足すと

(x - 2 lo g_{t} x) + (1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}) > 0

で、左辺の対数の部分は

2 lo g_{t} x + 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x} = 2 lo g_{t} (x \cdot \frac{x + 1}{x}) = 2 lo g_{t} (x + 1)

とまとまるので

(x + 1) - 2 lo g_{t} (x + 1) > 0

すなわち $x + 1 > 2 lo g_{t} (x + 1)$ である。 $■$

$h (u) = u - 2 lo g_{t} u$ とおくと、示したのは「 $h (x) ≧ 0$ かつ (a) ならば $h (x + 1) > 0$ 」である。差 $h (x + 1) - h (x) = 1 - 2 lo g_{t} \frac{x + 1}{x}$ が (a) から正になる、という構図になっている。

$t$ と $x$ を20万組ランダムにとると、(a)(b) を満たすものすべてで結論が成り立った（反例 0 件）。

(a) の分母は $t - 1$ （ $t - 1$ ではない）。 $x t > x + 1$ と変形できる形になっている。

$lo g_{t}$ が増加関数なのは $t > 1$ だから。底が $1$ より小さければ不等号が逆になる。

(2) $n ≦ 2 lo g_{2} n$ を満たす正の整数 $n$ をすべて求める

答 $n = 2, 3, 4$

小さい $n$ を直接調べ、 $n ≧ 5$ では成り立たないことを (1) の帰納法で示す。(1) を $t = 2$ で使うと $\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1$ なので、 $x ≧ 3$ なら (a) が満たされる。

小さい $n$ 。 $lo g_{2} 1 = 0$ 、 $lo g_{2} 2 = 1$ 、 $lo g_{2} 4 = 2$ と、 $1 < lo g_{2} 3 < 2$ を使う。

$n = 1$ ： $1 ≦ 0$ は偽
$n = 2$ ： $2 ≦ 2$ は真
$n = 3$ ： $2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9 > lo g_{2} 8 = 3$ なので真
$n = 4$ ： $4 ≦ 4$ は真
$n = 5$ ： $2 lo g_{2} 5 = lo g_{2} 25 < lo g_{2} 32 = 5$ なので偽

$n ≧ 5$ では成り立たない。 $t = 2$ として (1) を使う。このとき

\frac{1}{2 - 1} = 2 + 1 = 2.414 \dots

なので、 $x ≧ 3$ ならば (a) $x > 2 + 1$ は満たされる。そこで「 $n ≧ 5$ のとき $n > 2 lo g_{2} n$ 」を数学的帰納法で示す。

$n = 5$ のときは上で見たとおり $5 > 2 lo g_{2} 5$ である。 $n = k (≧ 5)$ で $k > 2 lo g_{2} k$ が成り立つとすると、とくに $k ≧ 2 lo g_{2} k$ であり、 $k ≧ 5 > 2 + 1$ だから (1) の仮定 (a)(b) がともに成り立つ。よって