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東北大学　2023年度　前期日程　文系

第4問積分法の解答・解説

線分の通過領域・傾きをそろえる変換・折れ線のとき・放物線と接線当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1)関数 $f (x)$ に対して、座標平面上の2つの点 $P (x, f (x))$ 、 $Q (x + 1, f (x) + 1)$ を考える。実数 $x$ が $0 ≦ x ≦ 2$ の範囲を動くとき線分 $PQ$ が通過してできる図形の面積を $S$ とおく。 $f (x) = - 2 ∣ x - 1 ∣ + 2$ に対して $S$ の値を求める

答 $S = \frac{29}{8}$

$PQ$ はいつも傾き $1$ 、長さ $2$ の線分である。そこで「 $y - x$ の値」を高さと見ると、線分は水平な線分になり、通過領域の様子が一気に見やすくなる（面積は変わらない）。

$PQ = (1, 1)$ なので、線分 $PQ$ は傾き $1$ で、 $P$ から右上に進む長さ $2$ の線分である。線分上の点は

(x + t, f (x) + t) (0 ≦ t ≦ 1)

と書ける。ここで

(点の y 座標) - (点の x 座標) = f (x) - x

で、これは $t$ によらない。そこで $g (x) = f (x) - x$ とおき、各点を $(X, c) = (x 座標, y 座標 - x 座標)$ で表すことにする。この対応は平面を $x$ 方向にずらさず $y$ 方向にだけずらす変換なので、面積を変えない。

この座標では、パラメータ $x$ の線分は「高さ $c = g (x)$ の、 $X$ が $x$ から $x + 1$ までの水平線分」になる。したがって通過領域の面積は

S = \int 高さ c での g (x) = c ⋃ [x, x + 1] の長さ d c

で計算できる。

$g$ を調べる。 $f (x) = - 2 ∣ x - 1 ∣ + 2$ なので

$0 ≦ x ≦ 1$ ： $f (x) = 2 x$ で $g (x) = 2 x - x = x$ 。 $c$ は $0$ から $1$ まで増える
$1 ≦ x ≦ 2$ ： $f (x) = 4 - 2 x$ で $g (x) = 4 - 3 x$ 。 $c$ は $1$ から $- 2$ まで減る

である。よって $c$ の動く範囲は $- 2 ≦ c ≦ 1$ で、 $c ≧ 0$ の高さには $x = c$ と $x = \frac{4 - c}{3}$ の2本、 $c < 0$ の高さには $x = \frac{4 - c}{3}$ の1本だけが対応する。

高さごとの長さ。 $c ≧ 0$ のとき2つの区間は

[c, c + 1] と [\frac{4 - c}{3}, \frac{7 - c}{3}]

である。重なるのは $c + 1 ≧ \frac{4 - c}{3}$ 、すなわち $4 c ≧ 1$ 、 $c ≧ \frac{1}{4}$ のときである。

$- 2 ≦ c < 0$ ：区間は1つで長さ $1$
$0 ≦ c < \frac{1}{4}$ ：離れた2つで長さの和は $2$
$\frac{1}{4} ≦ c ≦ 1$ ：つながって $[c, \frac{7 - c}{3}]$ 、長さ $\frac{7 - c}{3} - c = \frac{7 - 4 c}{3}$

である。足し合わせると

S = \int_{- 2}^{0} 1 d c + \int_{0}^{\frac{1}{4}} 2 d c + \int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{7 - 4 c}{3} d c

である。第3項は

\frac{1}{3} [7 c - 2 c^{2}]_{\frac{1}{4}}^{1} = \frac{1}{3} {(7 - 2) - (\frac{7}{4} - \frac{1}{8})} = \frac{1}{3} (5 - \frac{13}{8}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{8}

なので

S = 2 + \frac{1}{2} + \frac{9}{8} = \frac{16 + 4 + 9}{8} = \frac{29}{8}

である。

網かけが通過領域。太い実線が y = f(x)（0 ≦ x ≦ 2 の折れ線）、破線はそれを (1, 1) だけずらしたもの。細い線は x = 0, 0.5, 1, 1.5, 2 での線分 PQ。右下に食い込んだくぼみがあるぶん、面積は 4 ではなく 29/8 になる。

重なりを無視して「線分が掃く量」を足すと $\int_{0}^{2} ∣ f^{'} (x) - 1 ∣ d x = \int_{0}^{1} 1 d x + \int_{1}^{2} 3 d x = 4$ になる。重なっている部分が $\frac{3}{8}$ あるので、実際の面積は $4 - \frac{3}{8} = \frac{29}{8}$ である。

数値計算では $3.624750$ で、 $\frac{29}{8} = 3.625$ と合った。モンテカルロ法でも $3.59$ 程度だった。

線分どうしが重なる。重なりを数えないように、高さ $c$ ごとに「区間の和集合」の長さを測る。

$c < 0$ の高さには折れ線の右半分からしか線分が来ない。 $c ≧ 0$ と分けて考える。

(2)関数 $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$ に対して、曲線 $y = f (x)$ の接線で傾きが $1$ のものの方程式を求める

答 $y = x - \frac{3}{2}$

$f^{'} (x) = 1$ となる $x$ を求めて接線を書くだけ。ただしこの $x$ が $2$ （区間の右端）になることが (3) の鍵になる。

$f^{'} (x) = x - 1$ なので、 $f^{'} (x) = 1$ より $x = 2$ である。このとき

f (2) = \frac{1}{2} (2 - 1)^{2} = \frac{1}{2}

なので、接線は

y = 1 \cdot (x - 2) + \frac{1}{2} = x - \frac{3}{2}

である。

接点の $x$ 座標がちょうど $2$ 、つまり (3) で $x$ が動く範囲の右端にあたる。これが (3) で効いてくる。

$f^{'} (2) = 1$ 、 $f (2) = 0.5$ で、接線 $y = x - \frac{3}{2}$ は $x = 2$ で $0.5$ を通る。

(3)設問 (2) の関数 $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$ に対して、 $S$ の値を求める

答 $S = 2$

(1) と同じ $g (x) = f (x) - x$ を使う。今度は $g$ が単調なので、どの高さにも線分は1本しか来ず、重なりが起こらない。

$g (x) = f (x) - x = \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - x$ とおくと

g^{'} (x) = (x - 1) - 1 = x - 2

である。 $0 ≦ x ≦ 2$ では $g^{'} (x) ≦ 0$ なので $g$ は減少する（ $x = 2$ でだけ $g^{'} = 0$ ）。したがって $g$ は $[0, 2]$ から値域への1対1の対応になり、どの高さ $c$ にも線分はちょうど1本しか来ない。重なりは起こらない。

$g^{'} (x) = 0$ になるのが $x = 2$ であることは、(2) で求めた「傾き $1$ の接線の接点が $x = 2$ 」ということと同じである。接点が区間の右端にあるおかげで、 $0 ≦ x < 2$ では $g$ が狭義に減少する。

値域は

g (0) = \frac{1}{2}, g (2) = \frac{1}{2} - 2 = - \frac{3}{2}

より $- \frac{3}{2} ≦ c ≦ \frac{1}{2}$ である。各高さでの区間はただ1つで長さ $1$ だから

S = \int_{- \frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} 1 d c = \frac{1}{2} - (- \frac{3}{2}) = 2

である。

網かけが通過領域。左下の太い曲線が y = f(x)（0 ≦ x ≦ 2）、右上はそれを (1, 1) だけずらしたもの。左右のふちは x = 0 と x = 2 での線分 PQ で、右のふちは (2) で求めた接線 y = x - 3/2 の一部にあたる。重なりがないので、面積は幅 1 × 高さの変化 2 になる。

重なりがないので、(1) の注で書いた「掃いた量」の計算と一致する。実際 $\int_{0}^{2} ∣ f^{'} (x) - 1 ∣ d x = \int_{0}^{2} ∣ x - 2 ∣ d x = 2$ である。

数値計算でも $2.000000$ 、モンテカルロ法でも $2.01$ 程度だった。

(1) と違って重なりがないことを、 $g$ の単調性で確かめてから面積を出す。確かめずに $\int ∣ f^{'} - 1 ∣$ と書くと、(1) のような場合に間違える。

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問題文について

(1)関数 f(x) に対して、座標平面上の2つの点 P(x,f(x))、Q(x+1,f(x)+1) を考える。実数 x が 0≦x≦2 の範囲を動くとき線分 PQ が通過してできる図形の面積を S とおく。f(x)=−2∣x−1∣+2 に対して S の値を求める

(2)関数 f(x)=21​(x−1)2 に対して、曲線 y=f(x) の接線で傾きが 1 のものの方程式を求める

(3)設問 (2) の関数 f(x)=21​(x−1)2 に対して、S の値を求める

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