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東北大学　2023年度　前期日程　文系

東北大文系 2023年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　確率

非復元抽出・色の並びで数える・順番に依存する勝敗・余事象当サイトの体感難易度：標準

(1)赤玉4個と白玉5個の袋から、 $A$ と $B$ が $A$ から交互に1個ずつ取り出す（戻さない）。 $A$ が赤を取り出したら $A$ の勝ち、 $B$ が白を取り出したら $B$ の勝ちでそこで終了し、玉がなくなったら引き分けとするとき、引き分けとなる確率を求める

答 $\frac{1}{126}$

9個を全部取り出す順番を「色の並び」と見る。同じ色の玉は区別しないことにすると、並びは $_{9} C_{4} = 126$ 通りで、どれも同様に確からしい。引き分けになる並びはたった1つしかない。

色の並びで考える。 9個すべてを取り出す順番を考え、赤がどの位置に来るかで色の並びを決める。赤の位置の選び方は

_{9} C_{4} = 126 通り

で、どれも同様に確からしい（玉を区別して $9!$ 通りと数えても、同じ色の並びを与えるものは $4! 5!$ 通りずつで等しい）。ゲームは途中で終わることもあるが、「その先も全部取り出したとしたらどういう並びか」で数えれば、各並びがちょうど1つの結果に対応する。

$A$ は1,3,5,7,9番目、 $B$ は2,4,6,8番目を引く。

$A$ の手番で赤が出たらそこで $A$ の勝ち
$B$ の手番で白が出たらそこで $B$ の勝ち

引き分け。 最後まで誰も勝たないのは、奇数番目がすべて白、偶数番目がすべて赤のときである。奇数番目は5か所、偶数番目は4か所で、白が5個・赤が4個だからちょうど過不足なく配れる。そのような並びは

白赤白赤白赤白赤白

の1通りだけである。よって引き分けの確率は

\frac{1}{126}

である。

126通りを全列挙して勝敗を判定すると、引き分けはちょうど1通りだった。

途中で終わるゲームでも「9個全部の並び」で数えてよい。終わったあとの並びを勝手に決めても、結果は変わらないからである。

白が5個・赤が4個と、奇数番目5か所・偶数番目4か所がぴったり合う。ここが「1通りだけ」になる理由である。

(2)このゲームに $A$ が勝つ確率を求める

答 $\frac{38}{63}$

$A$ が $j$ 回目の手番で勝つ並びを数える。それまでの $2 j - 2$ 個の色は「奇数番目は白・偶数番目は赤」と完全に決まり、 $2 j - 1$ 番目が赤、残りは自由なので、組合せ1つで数えられる。

$A$ が $j$ 回目の手番（ $2 j - 1$ 番目）で勝つのは、次のときである。

$1, 3, \dots, 2 j - 3$ 番目（ $j - 1$ か所）がすべて白
$2, 4, \dots, 2 j - 2$ 番目（ $j - 1$ か所）がすべて赤
$2 j - 1$ 番目が赤
それ以降は何でもよい

このとき赤は $j$ 個、白は $j - 1$ 個が使われ、残り $9 - (2 j - 1) = 10 - 2 j$ か所に赤 $4 - j$ 個と白 $5 - (j - 1) = 6 - j$ 個を並べる。並べ方は $_{10 - 2 j} C_{4 - j}$ 通りである。

$j = 1$ ： $_{8} C_{3} = 56$
$j = 2$ ： $_{6} C_{2} = 15$
$j = 3$ ： $_{4} C_{1} = 4$
$j = 4$ ： $_{2} C_{0} = 1$
$j = 5$ ：赤は4個しかなく、 $2, 4, 6, 8$ 番目で使い切るので $9$ 番目を赤にできない。 $0$ 通り

合計すると $56 + 15 + 4 + 1 = 76$ 通りなので、求める確率は

\frac{76}{126} = \frac{38}{63}

である。

同じ数え方で $B$ が勝つのは $35 + 10 + 3 + 1 = 49$ 通りである。 $76 + 49 + 1 = 126$ でちょうど尽きるので、よい検算になる。確率で書くと $A$ が $\frac{38}{63}$ 、 $B$ が $\frac{7}{18}$ 、引き分けが $\frac{1}{126}$ で、先手の $A$ が有利である。

126通りの全列挙で $A$ の勝ちは76通り、 $\frac{76}{126} = \frac{38}{63}$ だった。

$j = 5$ （ $A$ が9番目で勝つ）は赤の個数が足りず起こらない。機械的に $j = 1, \dots, 5$ と書き下すときに見落とさない。

「それ以降は何でもよい」の部分も数に入れる。勝敗が決まった時点で止まるが、並びとしては最後まで決めて数えている。

第1問だけのページ

第2問　図形と計量

円の接線・三平方の定理・内接円の半径・外接円の半径当サイトの体感難易度：標準

(1)平面上の半径 $1$ の円 $C$ の中心 $O$ から距離 $4$ だけ離れた点 $L$ をとる。 $L$ を通る円 $C$ の2本の接線を考え、この2本の接線と円 $C$ の接点をそれぞれ $M, N$ とするとき、三角形 $LMN$ の面積を求める

答 $\frac{15 15}{16}$

$OM ⊥ LM$ なので $△ OML$ は直角三角形。 $MN$ は $OL$ に垂直で、交点は直角三角形の斜辺に下ろした垂線の足になる。

接線の性質から $OM ⊥ LM$ である。 $OM = 1$ 、 $OL = 4$ なので三平方の定理より

LM = LN = 4^{2} - 1^{2} = 15

である。 $M$ と $N$ は直線 $OL$ について対称なので、 $MN ⊥ OL$ である。 $MN$ と $OL$ の交点を $H$ とすると、 $H$ は直角三角形 $OML$ の斜辺 $OL$ に $M$ から下ろした垂線の足である。面積を2通りに表すと

\frac{1}{2} \cdot OM \cdot LM = \frac{1}{2} \cdot OL \cdot MH, MH = \frac{1 \cdot 15}{4} = \frac{15}{4}

である。また $OM^{2} = OH \cdot OL$ より

OH = \frac{1}{4}, LH = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

である。 $MN = 2 MH = \frac{15}{2}$ なので

△ LMN = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot LH = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15 15}{16}

である。

実線が円 C（中心 O、半径 1）と三角形 LMN。細い破線は △LMN の内接円（中心 (1, 0)、半径 3/4）と外接円（中心 (2, 0)、半径 2）で、(2) の答えにあたる。OM ⊥ LM、MN ⊥ OL になっている。

座標で $M (\frac{1}{4}, \frac{15}{4})$ として計算すると面積は $3.630921887$ で、 $\frac{15 15}{16} = 3.630921887$ と一致した。

$MN$ は $OL$ の中点ではなく、 $O$ 寄りの $OH = \frac{1}{4}$ のところで交わる。

(2)三角形 $LMN$ の内接円の半径 $r$ と、外接円の半径 $R$ をそれぞれ求める

答 $r = \frac{3}{4}$ 、 $R = 2$

$r$ は「面積 $=$ 内接円の半径 $\times$ 周の半分」、 $R$ は正弦定理（または $S = \frac{ab c}{4 R}$ ）。3辺と面積はすでに (1) で出ている。

3辺は $LM = LN = 15$ 、 $MN = \frac{15}{2}$ なので、周の半分は

s = \frac{1}{2} (15 + 15 + \frac{15}{2}) = \frac{5 15}{4}

である。 $△ LMN = r s$ より

r = \frac{15 15 /16}{5 15 /4} = \frac{15 15}{16} \cdot \frac{4}{5 15} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}

である。次に $△ LMN = \frac{LM \cdot LN \cdot MN}{4 R}$ より

R = \frac{15 \cdot 15 \cdot \frac{15}{2}}{4 \cdot \frac{15 15}{16}} = \frac{\frac{15 15}{2}}{\frac{15 15}{4}} = 2

である。よって

r = \frac{3}{4}, R = 2

である。

正弦定理で確かめることもできる。 $∠ MLO = θ$ とすると $sin θ = \frac{1}{4}$ 、 $cos θ = \frac{15}{4}$ で $∠ MLN = 2 θ$ 、 $sin 2 θ = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{8}$ である。 $\frac{MN}{sin 2 θ} = 2 R$ より $2 R = \frac{15 /2}{15 /8} = 4$ 、 $R = 2$ となる。

外接円の中心は $OL$ の中点（ $O$ から距離 $2$ の点）である。 $L$ までも $2$ 、 $M$ までも $(2 - \frac{1}{4})^{2} + \frac{15}{16} = \frac{49}{16} + \frac{15}{16} = 2$ で確かに等しい。

座標計算でも $r = 0.750000000$ 、 $R = 2.000000000$ だった。

$s$ は周の長さではなく、その半分。 $S = r s$ の形で覚えておく。

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第3問　2次関数

区間が動く最大最小・軸と区間の位置関係・場合分け・関数の関数の最小当サイトの体感難易度：標準

(1) $a$ を実数とし、2次関数 $f (x) = x^{2} + 2 a x - 3$ を考える。実数 $x$ が $a ≦ x ≦ a + 3$ の範囲を動くときの $f (x)$ の最大値を $M (a)$ とするとき、 $M (a)$ を $a$ で表す

答 $a ≦ - \frac{3}{4}$ のとき $M (a) = 3 a^{2} - 3$ 、 $a ≧ - \frac{3}{4}$ のとき $M (a) = 3 a^{2} + 12 a + 6$

下に凸なので、最大値は2つの端点のうち軸から遠いほうでとる。軸 $x = - a$ と区間の中点 $x = a + \frac{3}{2}$ の大小で分かれる。

$f (x) = (x + a)^{2} - a^{2} - 3$ なので、軸は $x = - a$ 、下に凸である。

下に凸な関数は、区間の端点のうち軸から遠いほうで最大になる。区間の中点は $x = a + \frac{3}{2}$ なので、軸と中点の大小で分かれる。

- a ≦ a + \frac{3}{2} ⟺ - \frac{3}{2} ≦ 2 a ⟺ a ≧ - \frac{3}{4}

である。したがって

$a ≦ - \frac{3}{4}$ （軸が中点より右）：左端 $x = a$ で最大。 $M (a) = f (a) = a^{2} + 2 a^{2} - 3 = 3 a^{2} - 3$
$a ≧ - \frac{3}{4}$ （軸が中点より左）：右端 $x = a + 3$ で最大。 $M (a) = f (a + 3) = (a + 3)^{2} + 2 a (a + 3) - 3 = 3 a^{2} + 12 a + 6$

である。 $a = - \frac{3}{4}$ ではどちらの式も $- \frac{21}{16}$ で一致する（両端で同時に最大）。

$a$ を $0.02$ 刻みで動かして区間を2万分割し、数値的に最大を求めるとこの式と一致した。

最大は「軸から遠いほうの端点」。最小のときの考えかた（軸が区間に入るかどうか）とは分かれかたが違う。

(2) $f (x)$ の $a ≦ x ≦ a + 3$ での最小値を $m (a)$ とするとき、 $m (a)$ を $a$ で表す

答 $a < - \frac{3}{2}$ のとき $3 a^{2} + 12 a + 6$ 、 $- \frac{3}{2} ≦ a ≦ 0$ のとき $- a^{2} - 3$ 、 $a > 0$ のとき $3 a^{2} - 3$

最小は、軸が区間の中にあれば頂点、区間の外なら近いほうの端点。軸 $x = - a$ が $a ≦ - a ≦ a + 3$ を満たすかどうかで3つに分ける。

軸 $x = - a$ が区間 $[a, a + 3]$ に入る条件は

a ≦ - a かつ - a ≦ a + 3 ⟺ a ≦ 0 かつ a ≧ - \frac{3}{2}

すなわち $- \frac{3}{2} ≦ a ≦ 0$ である。これで3つに分かれる。

$a < - \frac{3}{2}$ （軸が区間より右）：右端 $x = a + 3$ が軸に最も近い。 $m (a) = f (a + 3) = 3 a^{2} + 12 a + 6$
$- \frac{3}{2} ≦ a ≦ 0$ （軸が区間の中）：頂点で最小。 $m (a) = f (- a) = - a^{2} - 3$
$a > 0$ （軸が区間より左）：左端 $x = a$ が軸に最も近い。 $m (a) = f (a) = 3 a^{2} - 3$

である。境目では $a = - \frac{3}{2}$ のときどちらも $- \frac{21}{4}$ 、 $a = 0$ のときどちらも $- 3$ で、つながっている。

(1) と同じ走査で最小も確かめ、この式と一致した。

軸が区間の外にあるときは「近いほうの端点」。 $a < - \frac{3}{2}$ では軸 $- a$ が区間より右なので、右端 $a + 3$ が近い。

(3) $a$ がすべての実数を動くとき、 $m (a)$ の最小値を求める

答 $- 6$ （ $a = - 2$ のとき）

(2) の3つの区間それぞれで $m (a)$ の最小を求め、いちばん小さいものを選ぶ。各区間の端点も忘れずに見る。

m(a) のグラフ。a < -3/2 では 3a² + 12a + 6（頂点 a = -2）、-3/2 ≦ a ≦ 0 では -a² - 3、a > 0 では 3a² - 3 の3本がつながっている。いちばん低いのは a = -2 のときの -6。

(2) の3つの場合それぞれで最小を調べる。

$a < - \frac{3}{2}$ のとき。 $3 a^{2} + 12 a + 6 = 3 (a + 2)^{2} - 6$ である。頂点 $a = - 2$ はこの範囲に入っているので、最小値は

- 6 (a = - 2)

である。

$- \frac{3}{2} ≦ a ≦ 0$ のとき。 $- a^{2} - 3$ は $a^{2}$ が大きいほど小さい。 $∣ a ∣$ が最大なのは $a = - \frac{3}{2}$ なので、最小値は

- \frac{9}{4} - 3 = - \frac{21}{4} (a = - \frac{3}{2})

である。

$a > 0$ のとき。 $3 a^{2} - 3$ は増加するので、 $a > 0$ では $- 3$ より大きい（ $a = 0$ は含まないので下限は取らない）。

3つを比べると

- 6 < - \frac{21}{4} = - 5.25 < - 3

なので、 $m (a)$ の最小値は

- 6 (a = - 2)

である。

$a = - 2$ のとき区間は $- 2 ≦ x ≦ 1$ 、軸は $x = 2$ で区間の外にある。最小は右端 $x = 1$ でとり、 $f (1) = 1 - 4 - 3 = - 6$ である。

$m (a)$ を $0.0001$ 刻みで走査すると、最小は $a = - 2$ での $- 6.000000000$ だった。

$3 a^{2} + 12 a + 6$ の頂点 $a = - 2$ が、その場合分けの範囲 $a < - \frac{3}{2}$ に入っているかを確かめる。入っていなければ端点の値を使うことになる。

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第4問　積分法

線分の通過領域・傾きをそろえる変換・折れ線のとき・放物線と接線当サイトの体感難易度：難

(1)関数 $f (x)$ に対して、座標平面上の2つの点 $P (x, f (x))$ 、 $Q (x + 1, f (x) + 1)$ を考える。実数 $x$ が $0 ≦ x ≦ 2$ の範囲を動くとき線分 $PQ$ が通過してできる図形の面積を $S$ とおく。 $f (x) = - 2 ∣ x - 1 ∣ + 2$ に対して $S$ の値を求める

答 $S = \frac{29}{8}$

$PQ$ はいつも傾き $1$ 、長さ $2$ の線分である。そこで「 $y - x$ の値」を高さと見ると、線分は水平な線分になり、通過領域の様子が一気に見やすくなる（面積は変わらない）。

$PQ = (1, 1)$ なので、線分 $PQ$ は傾き $1$ で、 $P$ から右上に進む長さ $2$ の線分である。線分上の点は

(x + t, f (x) + t) (0 ≦ t ≦ 1)

と書ける。ここで

(点の y 座標) - (点の x 座標) = f (x) - x

で、これは $t$ によらない。そこで $g (x) = f (x) - x$ とおき、各点を $(X, c) = (x 座標, y 座標 - x 座標)$ で表すことにする。この対応は平面を $x$ 方向にずらさず $y$ 方向にだけずらす変換なので、面積を変えない。

この座標では、パラメータ $x$ の線分は「高さ $c = g (x)$ の、 $X$ が $x$ から $x + 1$ までの水平線分」になる。したがって通過領域の面積は

S = \int 高さ c での g (x) = c ⋃ [x, x + 1] の長さ d c

で計算できる。

$g$ を調べる。 $f (x) = - 2 ∣ x - 1 ∣ + 2$ なので

$0 ≦ x ≦ 1$ ： $f (x) = 2 x$ で $g (x) = 2 x - x = x$ 。 $c$ は $0$ から $1$ まで増える
$1 ≦ x ≦ 2$ ： $f (x) = 4 - 2 x$ で $g (x) = 4 - 3 x$ 。 $c$ は $1$ から $- 2$ まで減る

である。よって $c$ の動く範囲は $- 2 ≦ c ≦ 1$ で、 $c ≧ 0$ の高さには $x = c$ と $x = \frac{4 - c}{3}$ の2本、 $c < 0$ の高さには $x = \frac{4 - c}{3}$ の1本だけが対応する。

高さごとの長さ。 $c ≧ 0$ のとき2つの区間は

[c, c + 1] と [\frac{4 - c}{3}, \frac{7 - c}{3}]

である。重なるのは $c + 1 ≧ \frac{4 - c}{3}$ 、すなわち $4 c ≧ 1$ 、 $c ≧ \frac{1}{4}$ のときである。

$- 2 ≦ c < 0$ ：区間は1つで長さ $1$
$0 ≦ c < \frac{1}{4}$ ：離れた2つで長さの和は $2$
$\frac{1}{4} ≦ c ≦ 1$ ：つながって $[c, \frac{7 - c}{3}]$ 、長さ $\frac{7 - c}{3} - c = \frac{7 - 4 c}{3}$

である。足し合わせると

S = \int_{- 2}^{0} 1 d c + \int_{0}^{\frac{1}{4}} 2 d c + \int_{\frac{1}{4}}^{1} \frac{7 - 4 c}{3} d c

である。第3項は

\frac{1}{3} [7 c - 2 c^{2}]_{\frac{1}{4}}^{1} = \frac{1}{3} {(7 - 2) - (\frac{7}{4} - \frac{1}{8})} = \frac{1}{3} (5 - \frac{13}{8}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} = \frac{9}{8}

なので

S = 2 + \frac{1}{2} + \frac{9}{8} = \frac{16 + 4 + 9}{8} = \frac{29}{8}

である。

網かけが通過領域。太い実線が y = f(x)（0 ≦ x ≦ 2 の折れ線）、破線はそれを (1, 1) だけずらしたもの。細い線は x = 0, 0.5, 1, 1.5, 2 での線分 PQ。右下に食い込んだくぼみがあるぶん、面積は 4 ではなく 29/8 になる。

重なりを無視して「線分が掃く量」を足すと $\int_{0}^{2} ∣ f^{'} (x) - 1 ∣ d x = \int_{0}^{1} 1 d x + \int_{1}^{2} 3 d x = 4$ になる。重なっている部分が $\frac{3}{8}$ あるので、実際の面積は $4 - \frac{3}{8} = \frac{29}{8}$ である。

数値計算では $3.624750$ で、 $\frac{29}{8} = 3.625$ と合った。モンテカルロ法でも $3.59$ 程度だった。

線分どうしが重なる。重なりを数えないように、高さ $c$ ごとに「区間の和集合」の長さを測る。

$c < 0$ の高さには折れ線の右半分からしか線分が来ない。 $c ≧ 0$ と分けて考える。

(2)関数 $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$ に対して、曲線 $y = f (x)$ の接線で傾きが $1$ のものの方程式を求める

答 $y = x - \frac{3}{2}$

$f^{'} (x) = 1$ となる $x$ を求めて接線を書くだけ。ただしこの $x$ が $2$ （区間の右端）になることが (3) の鍵になる。

$f^{'} (x) = x - 1$ なので、 $f^{'} (x) = 1$ より $x = 2$ である。このとき

f (2) = \frac{1}{2} (2 - 1)^{2} = \frac{1}{2}

なので、接線は

y = 1 \cdot (x - 2) + \frac{1}{2} = x - \frac{3}{2}

である。

接点の $x$ 座標がちょうど $2$ 、つまり (3) で $x$ が動く範囲の右端にあたる。これが (3) で効いてくる。

$f^{'} (2) = 1$ 、 $f (2) = 0.5$ で、接線 $y = x - \frac{3}{2}$ は $x = 2$ で $0.5$ を通る。

(3)設問 (2) の関数 $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$ に対して、 $S$ の値を求める

答 $S = 2$

(1) と同じ $g (x) = f (x) - x$ を使う。今度は $g$ が単調なので、どの高さにも線分は1本しか来ず、重なりが起こらない。

$g (x) = f (x) - x = \frac{1}{2} (x - 1)^{2} - x$ とおくと

g^{'} (x) = (x - 1) - 1 = x - 2

である。 $0 ≦ x ≦ 2$ では $g^{'} (x) ≦ 0$ なので $g$ は減少する（ $x = 2$ でだけ $g^{'} = 0$ ）。したがって $g$ は $[0, 2]$ から値域への1対1の対応になり、どの高さ $c$ にも線分はちょうど1本しか来ない。重なりは起こらない。

$g^{'} (x) = 0$ になるのが $x = 2$ であることは、(2) で求めた「傾き $1$ の接線の接点が $x = 2$ 」ということと同じである。接点が区間の右端にあるおかげで、 $0 ≦ x < 2$ では $g$ が狭義に減少する。

値域は

g (0) = \frac{1}{2}, g (2) = \frac{1}{2} - 2 = - \frac{3}{2}

より $- \frac{3}{2} ≦ c ≦ \frac{1}{2}$ である。各高さでの区間はただ1つで長さ $1$ だから

S = \int_{- \frac{3}{2}}^{\frac{1}{2}} 1 d c = \frac{1}{2} - (- \frac{3}{2}) = 2

である。

網かけが通過領域。左下の太い曲線が y = f(x)（0 ≦ x ≦ 2）、右上はそれを (1, 1) だけずらしたもの。左右のふちは x = 0 と x = 2 での線分 PQ で、右のふちは (2) で求めた接線 y = x - 3/2 の一部にあたる。重なりがないので、面積は幅 1 × 高さの変化 2 になる。

重なりがないので、(1) の注で書いた「掃いた量」の計算と一致する。実際 $\int_{0}^{2} ∣ f^{'} (x) - 1 ∣ d x = \int_{0}^{2} ∣ x - 2 ∣ d x = 2$ である。

数値計算でも $2.000000$ 、モンテカルロ法でも $2.01$ 程度だった。

(1) と違って重なりがないことを、 $g$ の単調性で確かめてから面積を出す。確かめずに $\int ∣ f^{'} - 1 ∣$ と書くと、(1) のような場合に間違える。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(2)このゲームに A が勝つ確率を求める

(1)平面上の半径 1 の円 C の中心 O から距離 4 だけ離れた点 L をとる。L を通る円 C の2本の接線を考え、この2本の接線と円 C の接点をそれぞれ M,N とするとき、三角形 LMN の面積を求める

(2)三角形 LMN の内接円の半径 r と、外接円の半径 R をそれぞれ求める

(1)a を実数とし、2次関数 f(x)=x2+2ax−3 を考える。実数 x が a≦x≦a+3 の範囲を動くときの f(x) の最大値を M(a) とするとき、M(a) を a で表す

(2)f(x) の a≦x≦a+3 での最小値を m(a) とするとき、m(a) を a で表す

(3)a がすべての実数を動くとき、m(a) の最小値を求める

(1)関数 f(x) に対して、座標平面上の2つの点 P(x,f(x))、Q(x+1,f(x)+1) を考える。実数 x が 0≦x≦2 の範囲を動くとき線分 PQ が通過してできる図形の面積を S とおく。f(x)=−2∣x−1∣+2 に対して S の値を求める

(2)関数 f(x)=21​(x−1)2 に対して、曲線 y=f(x) の接線で傾きが 1 のものの方程式を求める

(3)設問 (2) の関数 f(x)=21​(x−1)2 に対して、S の値を求める

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(2)このゲームに $A$ が勝つ確率を求める

(1)平面上の半径 $1$ の円 $C$ の中心 $O$ から距離 $4$ だけ離れた点 $L$ をとる。 $L$ を通る円 $C$ の2本の接線を考え、この2本の接線と円 $C$ の接点をそれぞれ $M, N$ とするとき、三角形 $LMN$ の面積を求める

(2)三角形 $LMN$ の内接円の半径 $r$ と、外接円の半径 $R$ をそれぞれ求める

(1) $a$ を実数とし、2次関数 $f (x) = x^{2} + 2 a x - 3$ を考える。実数 $x$ が $a ≦ x ≦ a + 3$ の範囲を動くときの $f (x)$ の最大値を $M (a)$ とするとき、 $M (a)$ を $a$ で表す

(2) $f (x)$ の $a ≦ x ≦ a + 3$ での最小値を $m (a)$ とするとき、 $m (a)$ を $a$ で表す

(3) $a$ がすべての実数を動くとき、 $m (a)$ の最小値を求める

(2)関数 $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$ に対して、曲線 $y = f (x)$ の接線で傾きが $1$ のものの方程式を求める

(3)設問 (2) の関数 $f (x) = \frac{1}{2} (x - 1)^{2}$ に対して、 $S$ の値を求める