第3問 2次関数の解答・解説

$f(x)={\left(x+a\right)}^2-a^2-3$ なので、軸は $x=-a$、下に凸である。

下に凸な関数は、区間の端点のうち軸から遠いほうで最大になる。区間の中点は $x=a+\frac{3}{2}$ なので、軸と中点の大小で分かれる。

である。したがって

1. $a\leqq -\frac{3}{4}$（軸が中点より右）：左端 $x=a$ で最大。$M(a)=f(a)=a^2+2a^2-3=3a^2-3$
2. $a\geqq -\frac{3}{4}$（軸が中点より左）：右端 $x=a+3$ で最大。$M(a)=f(a+3)={\left(a+3\right)}^2+2a\left(a+3\right)-3=3a^2+12a+6$

である。$a=-\frac{3}{4}$ ではどちらの式も $-\frac{21}{16}$ で一致する（両端で同時に最大）。

軸 $x=-a$ が区間 $\left[a,a+3\right]$ に入る条件は

すなわち $-\frac{3}{2}\leqq a\leqq 0$ である。これで3つに分かれる。

1. $a<-\frac{3}{2}$（軸が区間より右）：右端 $x=a+3$ が軸に最も近い。$m(a)=f(a+3)=3a^2+12a+6$
2. $-\frac{3}{2}\leqq a\leqq 0$（軸が区間の中）：頂点で最小。$m(a)=f(-a)=-a^2-3$
3. $a>0$（軸が区間より左）：左端 $x=a$ が軸に最も近い。$m(a)=f(a)=3a^2-3$

である。境目では $a=-\frac{3}{2}$ のときどちらも $-\frac{21}{4}$、$a=0$ のときどちらも $-3$ で、つながっている。

(2) の3つの場合それぞれで最小を調べる。

$a<-\frac{3}{2}$ のとき。 $3a^2+12a+6=3{\left(a+2\right)}^2-6$ である。頂点 $a=-2$ はこの範囲に入っているので、最小値は

である。

$-\frac{3}{2}\leqq a\leqq 0$ のとき。 $-a^2-3$ は $a^2$ が大きいほど小さい。$\left|a\right|$ が最大なのは $a=-\frac{3}{2}$ なので、最小値は

である。

$a>0$ のとき。 $3a^2-3$ は増加するので、$a>0$ では $-3$ より大きい（$a=0$ は含まないので下限は取らない）。

3つを比べると

なので、$m(a)$ の最小値は

である。

$a=-2$ のとき区間は $-2\leqq x\leqq 1$、軸は $x=2$ で区間の外にある。最小は右端 $x=1$ でとり、$f(1)=1-4-3=-6$ である。