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東北大学　2023年度　前期日程　文系

第2問図形と計量の解答・解説

円の接線・三平方の定理・内接円の半径・外接円の半径当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)平面上の半径 $1$ の円 $C$ の中心 $O$ から距離 $4$ だけ離れた点 $L$ をとる。 $L$ を通る円 $C$ の2本の接線を考え、この2本の接線と円 $C$ の接点をそれぞれ $M, N$ とするとき、三角形 $LMN$ の面積を求める

答 $\frac{15 15}{16}$

$OM ⊥ LM$ なので $△ OML$ は直角三角形。 $MN$ は $OL$ に垂直で、交点は直角三角形の斜辺に下ろした垂線の足になる。

接線の性質から $OM ⊥ LM$ である。 $OM = 1$ 、 $OL = 4$ なので三平方の定理より

LM = LN = 4^{2} - 1^{2} = 15

である。 $M$ と $N$ は直線 $OL$ について対称なので、 $MN ⊥ OL$ である。 $MN$ と $OL$ の交点を $H$ とすると、 $H$ は直角三角形 $OML$ の斜辺 $OL$ に $M$ から下ろした垂線の足である。面積を2通りに表すと

\frac{1}{2} \cdot OM \cdot LM = \frac{1}{2} \cdot OL \cdot MH, MH = \frac{1 \cdot 15}{4} = \frac{15}{4}

である。また $OM^{2} = OH \cdot OL$ より

OH = \frac{1}{4}, LH = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}

である。 $MN = 2 MH = \frac{15}{2}$ なので

△ LMN = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot LH = \frac{1}{2} \cdot \frac{15}{2} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15 15}{16}

である。

実線が円 C（中心 O、半径 1）と三角形 LMN。細い破線は △LMN の内接円（中心 (1, 0)、半径 3/4）と外接円（中心 (2, 0)、半径 2）で、(2) の答えにあたる。OM ⊥ LM、MN ⊥ OL になっている。

座標で $M (\frac{1}{4}, \frac{15}{4})$ として計算すると面積は $3.630921887$ で、 $\frac{15 15}{16} = 3.630921887$ と一致した。

$MN$ は $OL$ の中点ではなく、 $O$ 寄りの $OH = \frac{1}{4}$ のところで交わる。

(2)三角形 $LMN$ の内接円の半径 $r$ と、外接円の半径 $R$ をそれぞれ求める

答 $r = \frac{3}{4}$ 、 $R = 2$

$r$ は「面積 $=$ 内接円の半径 $\times$ 周の半分」、 $R$ は正弦定理（または $S = \frac{ab c}{4 R}$ ）。3辺と面積はすでに (1) で出ている。

3辺は $LM = LN = 15$ 、 $MN = \frac{15}{2}$ なので、周の半分は

s = \frac{1}{2} (15 + 15 + \frac{15}{2}) = \frac{5 15}{4}

である。 $△ LMN = r s$ より

r = \frac{15 15 /16}{5 15 /4} = \frac{15 15}{16} \cdot \frac{4}{5 15} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}

である。次に $△ LMN = \frac{LM \cdot LN \cdot MN}{4 R}$ より

R = \frac{15 \cdot 15 \cdot \frac{15}{2}}{4 \cdot \frac{15 15}{16}} = \frac{\frac{15 15}{2}}{\frac{15 15}{4}} = 2

である。よって

r = \frac{3}{4}, R = 2

である。

正弦定理で確かめることもできる。 $∠ MLO = θ$ とすると $sin θ = \frac{1}{4}$ 、 $cos θ = \frac{15}{4}$ で $∠ MLN = 2 θ$ 、 $sin 2 θ = 2 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{15}{4} = \frac{15}{8}$ である。 $\frac{MN}{sin 2 θ} = 2 R$ より $2 R = \frac{15 /2}{15 /8} = 4$ 、 $R = 2$ となる。

外接円の中心は $OL$ の中点（ $O$ から距離 $2$ の点）である。 $L$ までも $2$ 、 $M$ までも $(2 - \frac{1}{4})^{2} + \frac{15}{16} = \frac{49}{16} + \frac{15}{16} = 2$ で確かに等しい。

座標計算でも $r = 0.750000000$ 、 $R = 2.000000000$ だった。

$s$ は周の長さではなく、その半分。 $S = r s$ の形で覚えておく。

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問題文について

(1)平面上の半径 1 の円 C の中心 O から距離 4 だけ離れた点 L をとる。L を通る円 C の2本の接線を考え、この2本の接線と円 C の接点をそれぞれ M,N とするとき、三角形 LMN の面積を求める

(2)三角形 LMN の内接円の半径 r と、外接円の半径 R をそれぞれ求める

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