第2問 ベクトル・整数の解答・解説

$\left|\vec{p}\right|=P$、$\left|\vec{q}\right|=Q$ とおくと $P>0$、$Q>0$ で、$\vec{p}\cdot \vec{q}=PQ\cos \theta$、$\vec{p}\cdot \vec{p}=P^2$、$\vec{q}\cdot \vec{q}=Q^2$ である。①、②の値をそれぞれ $m,n$ とすると

である。掛け合わせると $P,Q$ が消えて

となる。③より $\cos \theta \ne 0$ なので $0<{\cos }^2\theta \leqq 1$、したがって $0<mn\leqq 4$ である。$m,n$ は整数だから

のいずれかで、${\cos }^2\theta =\frac{mn}{4}$ より

1. $mn=1$ … $\cos \theta =\pm \frac{1}{2}$、$\theta =\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$
2. $mn=2$ … $\cos \theta =\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}$
3. $mn=3$ … $\cos \theta =\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$、$\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$
4. $mn=4$ … $\cos \theta =\pm 1$、$\theta =0,\pi$

である。逆にこれらはどれも実現する。$m$ と $\cos \theta$ は同符号で、$\frac{Q}{P}=\frac{m}{\cos \theta }$ と決めればよい（$mn=4{\cos }^2\theta$ から $n$ も自動的に整数になる）。たとえば $mn=3$ なら $\left(m,n\right)=\left(1,3\right),\left(3,1\right)$ と、符号を変えた $\left(-1,-3\right),\left(-3,-1\right)$ がとれる。

よって

の8通りである。

(1) より $\frac{Q}{P}=\frac{m}{\cos \theta }$ である。$mn$ の値ごとに、$m$ のとりうる値は

1. $mn=4$（$\cos \theta =\pm 1$）… $m=\pm 1,\pm 2,\pm 4$（符号は $\cos \theta$ と同じ）。$\frac{Q}{P}=\left|m\right|=1,2,4$
2. $mn=3$（$\left|\cos \theta \right|=\frac{\sqrt{3}}{2}$）… $\left|m\right|=1,3$。$\frac{Q}{P}=\frac{\left|m\right|}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\left|m\right|}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}},2\sqrt{3}$
3. $mn=2$（$\left|\cos \theta \right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$）… $\left|m\right|=1,2$。$\frac{Q}{P}=\sqrt{2}\left|m\right|=\sqrt{2},2\sqrt{2}$
4. $mn=1$（$\left|\cos \theta \right|=\frac{1}{2}$）… $\left|m\right|=1$ のみ。$\frac{Q}{P}=2$

である。$P:Q=1:\frac{Q}{P}$ として書き直すと

1. $\theta =0,\pi$ … $\left|\vec{p}\right|:\left|\vec{q}\right|=1:1,1:2,1:4$
2. $\theta =\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$ … $1:\frac{2}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}:2$、および $1:2\sqrt{3}$
3. $\theta =\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}$ … $1:\sqrt{2}$、および $1:2\sqrt{2}$
4. $\theta =\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}$ … $1:2$

である。

$\vec{p}\cdot \vec{p}=1$、$\vec{p}\cdot \vec{q}=q_1$、$\vec{q}\cdot \vec{q}=q_1^2+q_2^2$ なので、①は $m=q_1$ が整数、②は

が整数、③は $q_1\ne 0$、④は $\vec{q}\ne \vec{0}$ ということである。(1) と同じく $mn=4{\cos }^2\theta$ なので $1\leqq mn\leqq 4$、つまり $m,n$ は同符号で $\left|mn\right|\leqq 4$ である。

$n=\frac{4m}{q_1^2+q_2^2}$ から $q_1^2+q_2^2=\frac{4m}{n}$ なので

である。$mn=1,2,3,4$ となる組を並べて $q_2\geqq 0$ を計算すると

1. $\left(m,n\right)=\left(1,1\right)$ … $q_2^2=4-1=3$、$\vec{q}=\left(1,\sqrt{3}\right)$
2. $\left(1,2\right)$ … $q_2^2=2-1=1$、$\vec{q}=\left(1,1\right)$
3. $\left(1,3\right)$ … $q_2^2=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$、$\vec{q}=\left(1,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$
4. $\left(1,4\right)$ … $q_2^2=1-1=0$、$\vec{q}=\left(1,0\right)$
5. $\left(2,1\right)$ … $q_2^2=8-4=4$、$\vec{q}=\left(2,2\right)$
6. $\left(2,2\right)$ … $q_2^2=4-4=0$、$\vec{q}=\left(2,0\right)$
7. $\left(3,1\right)$ … $q_2^2=12-9=3$、$\vec{q}=\left(3,\sqrt{3}\right)$
8. $\left(4,1\right)$ … $q_2^2=16-16=0$、$\vec{q}=\left(4,0\right)$

の8個が得られる。$m,n$ をともに符号反転した組からは、$q_2$ はそのままで $q_1$ の符号だけが変わった8個が出る。よって全部で16点である。

$\left(1,\sqrt{3}\right)$ は $\theta =\frac{\pi }{3}$、$\left(1,1\right)$ は $\frac{\pi }{4}$、$\left(1,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ と $\left(3,\sqrt{3}\right)$ は $\frac{\pi }{6}$、$x$ 軸上の点は $\theta =0$ に対応する。(2) で出した比ともきちんと合う。