第1問 積分法の解答・解説

${\left\{{\left(\log x\right)}^2\right\}}^{\prime }=2\log x\cdot \frac{1}{x}=f\left(x\right)$ なので、$F\left(x\right)={\left(\log x\right)}^2$ が $f$ の原始関数である。

$f\left(x\right)$ の符号は $\log x$ の符号と同じで、$0<x<1$ で負、$x=1$ で $0$、$x>1$ で正である。$1$ が $\left[a,2a\right]$ のどこに来るかで3つに分ける。

$a\geqq 1$ のとき　区間全体で $f\geqq 0$ なので

$2a\leqq 1$、つまり $0<a\leqq \frac{1}{2}$ のとき　区間全体で $f\leqq 0$ なので

$\frac{1}{2}<a<1$ のとき　$a<1<2a$ で、$\left[a,1\right]$ では負、$\left[1,2a\right]$ では正だから

である（$\log 1=0$ を使った）。

${\left(\log 2a\right)}^2-{\left(\log a\right)}^2=\left(\log 2a+\log a\right)\left(\log 2a-\log a\right)=\log 2\left(\log 2+2\log a\right)$ と因数分解できる。$a\geqq 1$ でも $a\leqq \frac{1}{2}$ でも、$S$ は $\log a$ の1次式になる。

$u=\log a$、$L=\log 2>0$ とおく。$\log 2a=u+L$ である。

1. $a\geqq 1$（$u\geqq 0$）… $S={\left(u+L\right)}^2-u^2=L^2+2Lu$。$u$ について増加なので最小は $u=0$、つまり $a=1$ で $S=L^2$。
2. $0<a\leqq \frac{1}{2}$（$u\leqq -L$）… $S=u^2-{\left(u+L\right)}^2=-L^2-2Lu$。$u$ について減少なので最小は $u=-L$、つまり $a=\frac{1}{2}$ で $S=-L^2+2L^2=L^2$。
3. $\frac{1}{2}<a<1$（$-L<u<0$）… $S=u^2+{\left(u+L\right)}^2=2u^2+2Lu+L^2$。

である。3つ目を平方完成すると

で、頂点 $u=-\frac{L}{2}$ は $-L<u<0$ の範囲に入っている。そこでの値 $\frac{L^2}{2}$ は、他の2つの場合の最小値 $L^2$ より小さい。よって全体の最小は

のときで、最小値は

である（$0.2402\dots$）。このとき $\log a=-\frac{\log 2}{2}$、$\log 2a=\frac{\log 2}{2}$ で、2つの部分の面積がちょうど等しくなっている。