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名古屋大学　2020年度　前期日程　文科系

第3問場合の数の解答・解説

格子点の数え上げ・長方形の数え方・和の計算・積の形への因数分解当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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(1) $x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≦ n$ で定まる領域を $D$ とし、4つの頂点がすべて $D$ に含まれる格子点で $x$ 軸と平行な辺をもつ長方形の数を $R (n)$ とするとき、 $R (3)$ と $R (4)$ を求める

答 $R (3) = 5$ 、 $R (4) = 15$

長方形は「左右の $x$ 座標の組 $x_{1} < x_{2}$ 」と「上下の $y$ 座標の組 $y_{1} < y_{2}$ 」で決まる。4頂点がすべて $D$ に入る条件は、右上の頂点 $(x_{2}, y_{2})$ だけ見れば足りる。

n = 4 のときの領域 D と、その中の15個の格子点。網かけは長方形の一例（x1 = 0, x2 = 2, y1 = 1, y2 = 2）。

条件の整理。 求める長方形は、 $x$ 軸に平行な辺をもつので $y$ 軸にも平行な辺をもつ。したがって整数 $x_{1} < x_{2}$ 、 $y_{1} < y_{2}$ を使って4頂点が

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{1}), (x_{1}, y_{2}), (x_{2}, y_{2})

と書ける。4頂点が $D$ に入る条件は $x_{1} ≧ 0$ 、 $y_{1} ≧ 0$ と、 $x_{i} + y_{j} ≦ n$ が4通りすべてで成り立つことだが、 $x_{1} < x_{2}$ 、 $y_{1} < y_{2}$ なので左辺が最大になるのは右上の頂点である。よって条件は

0 ≦ x_{1} < x_{2}, 0 ≦ y_{1} < y_{2}, x_{2} + y_{2} ≦ n

だけでよい。 $x_{2} ≧ 1$ 、 $y_{2} ≧ 1$ も自動的に従う。

数える。 右上の頂点 $(x_{2}, y_{2})$ を固定すると、 $x_{1}$ は $0, 1, \dots, x_{2} - 1$ の $x_{2}$ 通り、 $y_{1}$ は $y_{2}$ 通りである。よって

R (n) = x_{2} = 1 \sum n - 1 y_{2} = 1 \sum n - x_{2} x_{2} y_{2}

である。 $n = 3$ では

$x_{2} = 1$ ： $y_{2} = 1, 2$ で $1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3$
$x_{2} = 2$ ： $y_{2} = 1$ で $2 \cdot 1 = 2$

R (3) = 3 + 2 = 5

である。 $n = 4$ では

$x_{2} = 1$ ： $1 \cdot (1 + 2 + 3) = 6$
$x_{2} = 2$ ： $2 \cdot (1 + 2) = 6$
$x_{2} = 3$ ： $3 \cdot 1 = 3$

R (4) = 6 + 6 + 3 = 15

である。

4重ループの総当たりで $R (3) = 5$ 、 $R (4) = 15$ になった。

4頂点すべてを調べる必要はない。 $x + y$ がいちばん大きいのは右上の頂点なので、そこだけで足りる。

$x_{1}$ の個数は $x_{2}$ 通り（ $0$ から $x_{2} - 1$ ）。 $x_{2} + 1$ 通りではない。

(2) $R (n)$ のうち特に1つの辺が $x$ 軸上にある長方形の数を $S (n)$ とするとき、 $S (n)$ を求める

答 $S (n) = \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 )}{6}$

$y_{1} = 0$ に固定するだけ。すると $y_{1}$ の選び方が1通りになり、和が1重になる。 $\sum k$ と $\sum k^{2}$ の公式で closed form になる。

1つの辺が $x$ 軸上にあるのは $y_{1} = 0$ のときである。(1) の数え方で $y_{1}$ の選び方が1通りに固定されるので

S (n) = x_{2} = 1 \sum n - 1 y_{2} = 1 \sum n - x_{2} x_{2} = k = 1 \sum n - 1 k (n - k)

である（ $x_{2} = k$ とおいた。 $y_{2}$ は $1$ から $n - k$ までの $n - k$ 通り）。計算すると

S (n) = n k = 1 \sum n - 1 k - k = 1 \sum n - 1 k^{2} = n \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2} - \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6}

で、 $\frac{( n - 1 ) n}{6}$ でくくると

S (n) = \frac{( n - 1 ) n}{6} {3 n - (2 n - 1)} = \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 )}{6}

である。

$S (3) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{6} = 4$ 、 $S (4) = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{6} = 10$ である。 $S (n) =_{n + 1} C_{3}$ という形でもある。

総当たりで $S (1) \sim S (12)$ を数えると $0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286$ で、式の値と完全に一致した。

$y_{1} = 0$ に固定しても $y_{2}$ は動く。 $y_{2}$ の個数 $n - x_{2}$ を落とさない。

(3) $R (n)$ を求める

答 $R (n) = \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{24}$

下の辺の高さ $y_{1} = j$ で分類する。 $j$ だけ下にずらすと、領域はちょうど $D$ の $n$ を $n - j$ に取り替えたものになり、その中で「下の辺が $x$ 軸上」の長方形を数えることになる。つまり (2) の $S$ の和になる。

下の辺の高さ $y_{1} = j$ （ $0 ≦ j ≦ n$ ）で場合分けする。 $y_{1} = j$ の長方形は、 $x_{2} + y_{2} ≦ n$ かつ $j < y_{2}$ を満たすものである。 $y^{'} = y - j$ と平行移動すると、条件は

0 ≦ x_{1} < x_{2}, 0 = y_{1}^{'} < y_{2}^{'}, x_{2} + y_{2}^{'} ≦ n - j

となり、これは「 $n$ を $n - j$ に取り替えた領域で、下の辺が $x$ 軸上にある長方形」の条件そのものである。よってその個数は $S (n - j)$ で

R (n) = j = 0 \sum n S (n - j) = m = 1 \sum n S (m)

である（ $S (0) = 0$ なので $m = 0$ の項は落とした）。(2) より $S (m) = \frac{m ^{3} - m}{6}$ だから

R (n) = \frac{1}{6} (m = 1 \sum n m^{3} - m = 1 \sum n m) = \frac{1}{6} {(\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} - \frac{n ( n + 1 )}{2}}

である。 $T = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ とおくと $R (n) = \frac{T ( T - 1 )}{6}$ で

T - 1 = \frac{n ^{2} + n - 2}{2} = \frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2}

だから

R (n) = \frac{1}{6} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} \cdot \frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2} = \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{24}

である。

$R (n) =_{n + 2} C_{4}$ という形になっている。 $R (3) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{24} = 5$ 、 $R (4) = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{24} = 15$ で (1) と合う。

総当たりで $R (1) \sim R (12)$ を数えると $0, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001$ で、式の値と完全に一致した。

$j$ だけ平行移動すると「同じ形の小さい問題」になる、という見方が要。直接2重和を計算してもできるが、 $\sum x_{2} y_{2}$ の計算が重くなる。

$T (T - 1)$ の形にまとめると、 $T - 1$ が $\frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2}$ と因数分解できて見通しがよい。

(4) $R (n) = 1001$ となる $n$ を求める

答 $n = 12$

$1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ に素因数分解してから $(n - 1) n (n + 1) (n + 2) = 24024$ を見ると、連続4整数の積として $11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14$ が見える。 $R$ は $n$ について増加するので、答えは1つだけである。

(3) より

\frac{( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{24} = 1001

すなわち

(n - 1) n (n + 1) (n + 2) = 24 \cdot 1001 = 24024

である。左辺は連続する4つの整数の積で、 $n$ が $1$ 以上の範囲で増加する。 $24024$ の4乗根はおよそ $12.4$ なので $n + 1$ あたりが $12$ 前後と見当をつけると

$n = 11$ ： $10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 = 17160$ （小さい）
$n = 12$ ： $11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 = 132 \cdot 182 = 24024$ （一致）
$n = 13$ ： $12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 = 32760$ （大きい）

となるので

n = 12

である。左辺が増加関数なので、これ以外に解はない。

$1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ なので $24024 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ である。 $11$ と $13$ が因数に入っていることから、連続4整数のうち2つが $11, 13$ 、つまり $11, 12, 13, 14$ だと当たりがつく。