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名古屋大学　2020年度　前期日程　文科系

名大文系 2020年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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第1問　2次関数・積分法

解の配置・絶対値つき定積分・3次関数の増減・最小値当サイトの体感難易度：標準

(1) $a$ を実数、 $f (x) = 2 x^{2} - 2 a x - a^{2}$ とするとき、方程式 $f (x) = 0$ の解 $t$ が必ず $- 1 ≦ t ≦ 1$ を満たすための $a$ の条件を求める

答 $- (3 - 1) ≦ a ≦ 3 - 1$

この2次方程式は解の公式がきれいに出る（判別式が $a$ の平方の定数倍）ので、解を直接書き下して評価するのがいちばん早い。解の配置の3条件（判別式・軸・端点の値）で解いてもよい。

判別式を4で割ったものは

\frac{D}{4} = a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{2} ≧ 0

なので、実数解はつねに存在する。解の公式から

t = \frac{2 a \pm 12 a ^{2}}{4} = \frac{2 a \pm 2 3 ∣ a ∣}{4} = \frac{a \pm 3 ∣ a ∣}{2}

である。 $a ≧ 0$ でも $a < 0$ でも、2解の集合は ${\frac{( 1 - 3 ) a}{2}, \frac{( 1 + 3 ) a}{2}}$ になる。それぞれの絶対値は

\frac{( 3 - 1 ) ∣ a ∣}{2}, \frac{( 3 + 1 ) ∣ a ∣}{2}

で、後者のほうが大きい。したがって「2解とも $[- 1, 1]$ に入る」条件は

\frac{( 3 + 1 ) ∣ a ∣}{2} ≦ 1, すなわち ∣ a ∣ ≦ \frac{2}{3 + 1}

である。有理化すると $\frac{2}{3 + 1} = \frac{2 ( 3 - 1 )}{2} = 3 - 1$ なので、求める条件は

- (3 - 1) ≦ a ≦ 3 - 1

である（ $3 - 1 = 0.732 \dots$ ）。

解の配置で解くなら、 $f (1) ≧ 0$ から $- 1 - 3 ≦ a ≦ 3 - 1$ 、 $f (- 1) ≧ 0$ から $1 - 3 ≦ a ≦ 1 + 3$ 、軸 $x = \frac{a}{2}$ が $[- 1, 1]$ にあることから $- 2 ≦ a ≦ 2$ となり、共通部分は同じ $1 - 3 ≦ a ≦ 3 - 1$ である。

$a = 0.73 (< 3 - 1)$ では解が $- 0.267199, 0.997199$ で区間内、 $a = 0.8$ では $1.092820$ が外に出た。

$12 a^{2} = 23 ∣ a ∣$ で、 $23 a$ ではない。 $a$ の符号で場合分けしてもよいが、結局同じ条件になる。

$a = 0$ のとき解は $t = 0$ （重解）で、これも条件を満たす。等号を外さない。

(2)(1) の条件を満たす $a$ に対し $S (a) = \int_{- 1}^{1} ∣ f (x) ∣ d x$ を求める

答 $S (a) = 23 ∣ a ∣^{3} - 2 a^{2} + \frac{4}{3}$

絶対値は「符号が変わるところで区間を切る」のが基本だが、ここでは2解がともに $[- 1, 1]$ の中にあるので、 $\int_{- 1}^{1} ∣ f ∣ = \int_{- 1}^{1} f - 2 \int_{t_{1}}^{t_{2}} f$ と書ける。後ろの積分は $\frac{1}{6}$ 公式で一発である。

a = 2√3/9 のときの y = f(x)。2つの解は -1 と 1 のあいだにあり、網かけの3つの部分の面積の合計が S(a)。

2解を $t_{1} ≦ t_{2}$ とすると、(1) の条件より $- 1 ≦ t_{1} ≦ t_{2} ≦ 1$ である。 $f$ は下に凸なので $t_{1} ≦ x ≦ t_{2}$ で $f ≦ 0$ 、それ以外で $f ≧ 0$ である。したがって

S (a) = \int_{- 1}^{1} ∣ f ∣ d x = \int_{- 1}^{1} f d x - 2 \int_{t_{1}}^{t_{2}} f d x

と書ける（負の部分だけ符号を反転させるので、全体の積分から負の部分を2回引く）。

第1項。 奇関数の項は消えて

\int_{- 1}^{1} (2 x^{2} - 2 a x - a^{2}) d x = 2 \cdot \frac{2}{3} - 0 - 2 a^{2} = \frac{4}{3} - 2 a^{2}

である。

第2項。 $f (x) = 2 (x - t_{1}) (x - t_{2})$ なので、 $\frac{1}{6}$ 公式から

\int_{t_{1}}^{t_{2}} f d x = - \frac{2}{6} (t_{2} - t_{1})^{3} = - \frac{( t _{2} - t _{1} ) ^{3}}{3}

である。(1) より2解の差は

t_{2} - t_{1} = \frac{( 3 + 1 ) ∣ a ∣}{2} + \frac{( 3 - 1 ) ∣ a ∣}{2} = 3 ∣ a ∣

なので

\int_{t_{1}}^{t_{2}} f d x = - \frac{3 3 ∣ a ∣ ^{3}}{3} = - 3 ∣ a ∣^{3}

である。以上から

S (a) = (\frac{4}{3} - 2 a^{2}) + 23 ∣ a ∣^{3} = 23 ∣ a ∣^{3} - 2 a^{2} + \frac{4}{3}

である。

$a = 0$ では $S = \frac{4}{3}$ で、 $\int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x = \frac{4}{3}$ と合う。 $S$ は $a$ の偶関数（ $∣ a ∣$ しか出てこない）である。

$a = 0.73$ で数値積分すると $1.6151277516$ 、式の値は $1.6151277513$ で一致した。

$∣ a ∣^{3}$ であって $a^{3}$ ではない。 $a < 0$ でも $t_{2} - t_{1} > 0$ だからである。

$\frac{1}{6}$ 公式の係数は $x^{2}$ の係数 $2$ 。 $\frac{2}{6} (t_{2} - t_{1})^{3}$ である。

(3) $S (a)$ の値が最小となる $a$ を求める

答 $a = \pm \frac{2 3}{9}$ （このとき $S = \frac{100}{81}$ ）

$S$ は偶関数なので $a ≧ 0$ で考えれば十分。 $a ≧ 0$ では $S = 23 a^{3} - 2 a^{2} + \frac{4}{3}$ という3次関数なので、微分して増減を見る。極小を与える $a$ が (1) の範囲に入っていることを確かめる。

$S (- a) = S (a)$ なので $0 ≦ a ≦ 3 - 1$ で考えればよい。この範囲では

S (a) = 23 a^{3} - 2 a^{2} + \frac{4}{3}

で、微分すると

S^{'} (a) = 63 a^{2} - 4 a = 2 a (33 a - 2)

である。 $S^{'} (a) = 0$ となるのは $a = 0$ と

a = \frac{2}{3 3} = \frac{2 3}{9} = 0.3849 \dots

である。 $0 < a < \frac{2 3}{9}$ では $S^{'} < 0$ 、 $a > \frac{2 3}{9}$ では $S^{'} > 0$ なので、 $a = \frac{2 3}{9}$ で最小になる。これは $3 - 1 = 0.732 \dots$ より小さいので (1) の範囲に入っている。

そのときの値は、 $(\frac{2 3}{9})^{2} = \frac{4}{27}$ 、 $(\frac{2 3}{9})^{3} = \frac{2 3}{9} \cdot \frac{4}{27} = \frac{8 3}{243}$ から

S = 23 \cdot \frac{8 3}{243} - 2 \cdot \frac{4}{27} + \frac{4}{3} = \frac{48}{243} - \frac{8}{27} + \frac{4}{3} = \frac{16}{81} - \frac{24}{81} + \frac{108}{81} = \frac{100}{81}

である。偶関数なので、 $a < 0$ 側にも同じ最小値を与える点があり、答えは

a = \pm \frac{2 3}{9}

である。

$a$ を $5 \times 1 0^{- 6}$ 刻みで動かすと最小は $a = 0.384900$ での $1.2345679012$ で、 $\frac{2 3}{9} = 0.3849001795$ 、 $\frac{100}{81} = 1.2345679012$ と一致した。

$∣ a ∣$ が入っているので、そのまま微分しない。偶関数であることを使って $a ≧ 0$ に限ってから微分する。

答えは2つある。 $a = \frac{2 3}{9}$ だけで止めない。

極小を与える $a$ が (1) の範囲 $[- (3 - 1), 3 - 1]$ に入るかを確かめる。外れていれば端点が最小になる。

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第2問　空間ベクトル

単位ベクトルの和・内積・垂線の足と外心・正四面体当サイトの体感難易度：やや難

(1)平面上に $OP = OQ = OR = 1$ をみたす相異なる4点 $O, P, Q, R$ があるとき、 $OP + OQ + OR = 0$ ならば三角形 $PQR$ は正三角形であることを示す

答 $p + q + r = 0$ から $p \cdot q = q \cdot r = r \cdot p = - \frac{1}{2}$ となり、3辺がすべて $3$

1つのベクトルを残り2つで表して長さを取る、という2行で内積が決まる。あとは $∣ q - p ∣^{2} = 2 - 2 p \cdot q$ に入れるだけである。

長さ1のベクトル3本の和が 0 になるのは、互いに 120° ずつ向きが違うとき。先端 P, Q, R は単位円に内接する正三角形になる。

$p = OP$ 、 $q = OQ$ 、 $r = OR$ とおく。仮定は $∣ p ∣ = ∣ q ∣ = ∣ r ∣ = 1$ と $p + q + r = 0$ である。

$r = - (p + q)$ の両辺の長さの2乗を取ると

1 = ∣ p + q ∣^{2} = ∣ p ∣^{2} + 2 p \cdot q + ∣ q ∣^{2} = 2 + 2 p \cdot q

なので

p \cdot q = - \frac{1}{2}

である。 $p, q, r$ の役割は対称なので、同じ計算で

q \cdot r = r \cdot p = - \frac{1}{2}

である。したがって

PQ^{2} = ∣ q - p ∣^{2} = 1 - 2 (- \frac{1}{2}) + 1 = 3

で、同様に $QR^{2} = RP^{2} = 3$ である。3辺がすべて $3$ で等しいので、三角形 $PQR$ は正三角形である。 $■$

$p \cdot q = - \frac{1}{2}$ は、なす角が $12 0^{\circ}$ ということである。3本の単位ベクトルが $12 0^{\circ}$ ずつ開いている、という図のとおりの結論になる。

和が $0$ になる単位ベクトル3組を2万通り作ると、3辺はつねに $3$ で等しかった。

「相異なる4点」という条件から $P, Q, R$ は相異なるが、実は $p \cdot q = - \frac{1}{2}$ 自体が $p \neq = q$ を保証している。

(2)空間内に $OA = OB = OC = OD = 1$ をみたす相異なる5点があり、 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の足を $H$ とする。命題(i)「 $OA + OB + OC = 3 OH$ ならば三角形 $ABC$ は正三角形」と、命題(ii)「 $OA + OB + OC + OD = 0$ かつ $OH = \frac{1}{3}$ ならば四面体 $ABCD$ は正四面体」を示す

答 $OA + OB + OC = 3 OH + (HA + HB + HC)$ と直交分解し、(1) を $H$ を中心として使う

$H$ は $A, B, C$ から等距離（三角形 $ABC$ の外心）である。 $OX = OH + HX$ と分けると、 $OH$ と $HX$ は直交するので、長さの2乗が「縦の成分」と「横の成分」にきれいに分かれる。

準備。 $H$ は外心。 $OH$ は平面 $ABC$ に垂直なので、 $X = A, B, C$ について $OH ⊥ HX$ である。三平方の定理から

HX^{2} = OX^{2} - OH^{2} = 1 - OH^{2}

なので、 $HA = HB = HC$ である。この共通の値を $R$ とおく。 $A, B, C$ は相異なるので $R > 0$ である。

直交分解。 $h = OH$ 、 $u = HA + HB + HC$ とおく。 $OX = h + HX$ を3つ足して

OA + OB + OC = 3 h + u

である。 $u$ は平面 $ABC$ に平行なので $h ⊥ u$ であり

OA + OB + OC^{2} = 9 h^{2} + ∣ u ∣^{2} \dots ①

が成り立つ。

命題(i)。 仮定 $OA + OB + OC = 3 h$ を ① に入れると

9 h^{2} = 9 h^{2} + ∣ u ∣^{2}

なので $u = 0$ 、すなわち

HA + HB + HC = 0

である。 $HA = HB = HC = R > 0$ なので、各ベクトルを $R$ で割れば長さ1の3本のベクトルの和が $0$ になる。これは平面 $ABC$ の中での話だから、(1) がそのまま使えて三角形 $ABC$ は正三角形である。 $■$

命題(ii)。 $OA + OB + OC + OD = 0$ より

OA + OB + OC = - OD, OA + OB + OC = 1

である。 $h = \frac{1}{3}$ とあわせて ① に入れると

1 = 9 \cdot \frac{1}{9} + ∣ u ∣^{2} = 1 + ∣ u ∣^{2}

なので $u = 0$ である。よって命題(i) の議論から三角形 $ABC$ は正三角形で、しかも

OD = - (OA + OB + OC) = - 3 h

である。つまり $D$ は、 $O$ から平面 $ABC$ に下ろした垂線の反対向きに $3 h = 1$ だけ進んだ点である。

辺の長さ。 $R^{2} = 1 - h^{2} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ である。正三角形の外接円の半径が $R$ なら1辺は $3 R$ なので

AB = BC = CA = 3 \cdot \frac{2 2}{3} = \frac{2 6}{3}

である。一方 $DA = OA - OD = (h + HA) + 3 h = 4 h + HA$ で、 $h ⊥ HA$ だから

DA^{2} = 16 h^{2} + R^{2} = \frac{16}{9} + \frac{8}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}

すなわち $DA = \frac{8}{3} = \frac{2 6}{3}$ である。 $DB, DC$ も同じである。よって6辺がすべて $\frac{2 6}{3}$ で等しく、四面体 $ABCD$ は正四面体である。 $■$

$OH = \frac{1}{3}$ の配置で $D = - 3 OH$ ととると、4本のベクトルの和の大きさが $3.6 \times 1 0^{- 16}$ 、6辺がすべて $1.632993162 = \frac{2 6}{3}$ になった。

$H$ が三角形 $ABC$ の外心であることを最初に言う。 $O$ から等距離の3点を平面に落とすので当然だが、これがないと $R$ が共通だと言えない。

直交分解 ① が議論の中心。「縦（ $h$ 方向）」と「横（平面内）」が直交するので、長さの2乗が足し算になる。

(ii) では三角形 $ABC$ が正三角形であることだけでは足りない。 $D$ の位置（ $- 3 h$ ）まで決めて6辺を比べる。

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第3問　場合の数

格子点の数え上げ・長方形の数え方・和の計算・積の形への因数分解当サイトの体感難易度：やや難

(1) $x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≦ n$ で定まる領域を $D$ とし、4つの頂点がすべて $D$ に含まれる格子点で $x$ 軸と平行な辺をもつ長方形の数を $R (n)$ とするとき、 $R (3)$ と $R (4)$ を求める

答 $R (3) = 5$ 、 $R (4) = 15$

長方形は「左右の $x$ 座標の組 $x_{1} < x_{2}$ 」と「上下の $y$ 座標の組 $y_{1} < y_{2}$ 」で決まる。4頂点がすべて $D$ に入る条件は、右上の頂点 $(x_{2}, y_{2})$ だけ見れば足りる。

n = 4 のときの領域 D と、その中の15個の格子点。網かけは長方形の一例（x1 = 0, x2 = 2, y1 = 1, y2 = 2）。

条件の整理。 求める長方形は、 $x$ 軸に平行な辺をもつので $y$ 軸にも平行な辺をもつ。したがって整数 $x_{1} < x_{2}$ 、 $y_{1} < y_{2}$ を使って4頂点が

(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{1}), (x_{1}, y_{2}), (x_{2}, y_{2})

と書ける。4頂点が $D$ に入る条件は $x_{1} ≧ 0$ 、 $y_{1} ≧ 0$ と、 $x_{i} + y_{j} ≦ n$ が4通りすべてで成り立つことだが、 $x_{1} < x_{2}$ 、 $y_{1} < y_{2}$ なので左辺が最大になるのは右上の頂点である。よって条件は

0 ≦ x_{1} < x_{2}, 0 ≦ y_{1} < y_{2}, x_{2} + y_{2} ≦ n

だけでよい。 $x_{2} ≧ 1$ 、 $y_{2} ≧ 1$ も自動的に従う。

数える。 右上の頂点 $(x_{2}, y_{2})$ を固定すると、 $x_{1}$ は $0, 1, \dots, x_{2} - 1$ の $x_{2}$ 通り、 $y_{1}$ は $y_{2}$ 通りである。よって

R (n) = x_{2} = 1 \sum n - 1 y_{2} = 1 \sum n - x_{2} x_{2} y_{2}

である。 $n = 3$ では

$x_{2} = 1$ ： $y_{2} = 1, 2$ で $1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 3$
$x_{2} = 2$ ： $y_{2} = 1$ で $2 \cdot 1 = 2$

R (3) = 3 + 2 = 5

である。 $n = 4$ では

$x_{2} = 1$ ： $1 \cdot (1 + 2 + 3) = 6$
$x_{2} = 2$ ： $2 \cdot (1 + 2) = 6$
$x_{2} = 3$ ： $3 \cdot 1 = 3$

R (4) = 6 + 6 + 3 = 15

である。

4重ループの総当たりで $R (3) = 5$ 、 $R (4) = 15$ になった。

4頂点すべてを調べる必要はない。 $x + y$ がいちばん大きいのは右上の頂点なので、そこだけで足りる。

$x_{1}$ の個数は $x_{2}$ 通り（ $0$ から $x_{2} - 1$ ）。 $x_{2} + 1$ 通りではない。

(2) $R (n)$ のうち特に1つの辺が $x$ 軸上にある長方形の数を $S (n)$ とするとき、 $S (n)$ を求める

答 $S (n) = \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 )}{6}$

$y_{1} = 0$ に固定するだけ。すると $y_{1}$ の選び方が1通りになり、和が1重になる。 $\sum k$ と $\sum k^{2}$ の公式で closed form になる。

1つの辺が $x$ 軸上にあるのは $y_{1} = 0$ のときである。(1) の数え方で $y_{1}$ の選び方が1通りに固定されるので

S (n) = x_{2} = 1 \sum n - 1 y_{2} = 1 \sum n - x_{2} x_{2} = k = 1 \sum n - 1 k (n - k)

である（ $x_{2} = k$ とおいた。 $y_{2}$ は $1$ から $n - k$ までの $n - k$ 通り）。計算すると

S (n) = n k = 1 \sum n - 1 k - k = 1 \sum n - 1 k^{2} = n \cdot \frac{( n - 1 ) n}{2} - \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6}

で、 $\frac{( n - 1 ) n}{6}$ でくくると

S (n) = \frac{( n - 1 ) n}{6} {3 n - (2 n - 1)} = \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 )}{6}

である。

$S (3) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{6} = 4$ 、 $S (4) = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{6} = 10$ である。 $S (n) =_{n + 1} C_{3}$ という形でもある。

総当たりで $S (1) \sim S (12)$ を数えると $0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286$ で、式の値と完全に一致した。

$y_{1} = 0$ に固定しても $y_{2}$ は動く。 $y_{2}$ の個数 $n - x_{2}$ を落とさない。

(3) $R (n)$ を求める

答 $R (n) = \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{24}$

下の辺の高さ $y_{1} = j$ で分類する。 $j$ だけ下にずらすと、領域はちょうど $D$ の $n$ を $n - j$ に取り替えたものになり、その中で「下の辺が $x$ 軸上」の長方形を数えることになる。つまり (2) の $S$ の和になる。

下の辺の高さ $y_{1} = j$ （ $0 ≦ j ≦ n$ ）で場合分けする。 $y_{1} = j$ の長方形は、 $x_{2} + y_{2} ≦ n$ かつ $j < y_{2}$ を満たすものである。 $y^{'} = y - j$ と平行移動すると、条件は

0 ≦ x_{1} < x_{2}, 0 = y_{1}^{'} < y_{2}^{'}, x_{2} + y_{2}^{'} ≦ n - j

となり、これは「 $n$ を $n - j$ に取り替えた領域で、下の辺が $x$ 軸上にある長方形」の条件そのものである。よってその個数は $S (n - j)$ で

R (n) = j = 0 \sum n S (n - j) = m = 1 \sum n S (m)

である（ $S (0) = 0$ なので $m = 0$ の項は落とした）。(2) より $S (m) = \frac{m ^{3} - m}{6}$ だから

R (n) = \frac{1}{6} (m = 1 \sum n m^{3} - m = 1 \sum n m) = \frac{1}{6} {(\frac{n ( n + 1 )}{2})^{2} - \frac{n ( n + 1 )}{2}}

である。 $T = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ とおくと $R (n) = \frac{T ( T - 1 )}{6}$ で

T - 1 = \frac{n ^{2} + n - 2}{2} = \frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2}

だから

R (n) = \frac{1}{6} \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} \cdot \frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2} = \frac{( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{24}

である。

$R (n) =_{n + 2} C_{4}$ という形になっている。 $R (3) = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{24} = 5$ 、 $R (4) = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{24} = 15$ で (1) と合う。

総当たりで $R (1) \sim R (12)$ を数えると $0, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001$ で、式の値と完全に一致した。

$j$ だけ平行移動すると「同じ形の小さい問題」になる、という見方が要。直接2重和を計算してもできるが、 $\sum x_{2} y_{2}$ の計算が重くなる。

$T (T - 1)$ の形にまとめると、 $T - 1$ が $\frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2}$ と因数分解できて見通しがよい。

(4) $R (n) = 1001$ となる $n$ を求める

答 $n = 12$

$1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ に素因数分解してから $(n - 1) n (n + 1) (n + 2) = 24024$ を見ると、連続4整数の積として $11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14$ が見える。 $R$ は $n$ について増加するので、答えは1つだけである。

(3) より

\frac{( n - 1 ) n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{24} = 1001

すなわち

(n - 1) n (n + 1) (n + 2) = 24 \cdot 1001 = 24024

である。左辺は連続する4つの整数の積で、 $n$ が $1$ 以上の範囲で増加する。 $24024$ の4乗根はおよそ $12.4$ なので $n + 1$ あたりが $12$ 前後と見当をつけると

$n = 11$ ： $10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 = 17160$ （小さい）
$n = 12$ ： $11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 = 132 \cdot 182 = 24024$ （一致）
$n = 13$ ： $12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 = 32760$ （大きい）

となるので

n = 12

である。左辺が増加関数なので、これ以外に解はない。

$1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13$ なので $24024 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13$ である。 $11$ と $13$ が因数に入っていることから、連続4整数のうち2つが $11, 13$ 、つまり $11, 12, 13, 14$ だと当たりがつく。

$1 ≦ n ≦ 59$ で $R (n)$ を計算すると、 $1001$ になるのは $n = 12$ だけだった。

$1001$ を素因数分解してから考える。 $7 \cdot 11 \cdot 13$ は覚えておくと速い。

解が1つだけであることに触れる。左辺が $n$ について増加することを言えばよい。

第3問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる名大文系数学 2027

名大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・110ページ・2026年8月9日発売

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扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

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問題文について

(1)a を実数、f(x)=2x2−2ax−a2 とするとき、方程式 f(x)=0 の解 t が必ず −1≦t≦1 を満たすための a の条件を求める

(2)(1) の条件を満たす a に対し S(a)=∫−11​∣f(x)∣dx を求める

(3)S(a) の値が最小となる a を求める

(1)平面上に ​OP​=​OQ​​=​OR​=1 をみたす相異なる4点 O,P,Q,R があるとき、​OP+OQ​+OR​=0 ならば三角形 PQR は正三角形であることを示す

(1)x≧0, y≧0, x+y≦n で定まる領域を D とし、4つの頂点がすべて D に含まれる格子点で x 軸と平行な辺をもつ長方形の数を R(n) とするとき、R(3) と R(4) を求める

(2)R(n) のうち特に1つの辺が x 軸上にある長方形の数を S(n) とするとき、S(n) を求める

(3)R(n) を求める

(4)R(n)=1001 となる n を求める

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(1) $a$ を実数、 $f (x) = 2 x^{2} - 2 a x - a^{2}$ とするとき、方程式 $f (x) = 0$ の解 $t$ が必ず $- 1 ≦ t ≦ 1$ を満たすための $a$ の条件を求める

(2)(1) の条件を満たす $a$ に対し $S (a) = \int_{- 1}^{1} ∣ f (x) ∣ d x$ を求める

(3) $S (a)$ の値が最小となる $a$ を求める

(1)平面上に $OP = OQ = OR = 1$ をみたす相異なる4点 $O, P, Q, R$ があるとき、 $OP + OQ + OR = 0$ ならば三角形 $PQR$ は正三角形であることを示す

(1) $x ≧ 0, y ≧ 0, x + y ≦ n$ で定まる領域を $D$ とし、4つの頂点がすべて $D$ に含まれる格子点で $x$ 軸と平行な辺をもつ長方形の数を $R (n)$ とするとき、 $R (3)$ と $R (4)$ を求める

(2) $R (n)$ のうち特に1つの辺が $x$ 軸上にある長方形の数を $S (n)$ とするとき、 $S (n)$ を求める

(3) $R (n)$ を求める

(4) $R (n) = 1001$ となる $n$ を求める