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名古屋大学 2020年度 前期日程 文科系
第2問 空間ベクトルの解答・解説
単位ベクトルの和・内積・垂線の足と外心・正四面体当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12
問題文について
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(1)平面上に をみたす相異なる4点 があるとき、 ならば三角形 は正三角形であることを示す
答 から となり、3辺がすべて
1つのベクトルを残り2つで表して長さを取る、という2行で内積が決まる。あとは に入れるだけである。
、、 とおく。仮定は と である。
の両辺の長さの2乗を取ると
なので
である。 の役割は対称なので、同じ計算で
である。したがって
で、同様に である。3辺がすべて で等しいので、三角形 は正三角形である。
は、なす角が ということである。3本の単位ベクトルが ずつ開いている、という図のとおりの結論になる。
和が になる単位ベクトル3組を2万通り作ると、3辺はつねに で等しかった。
「相異なる4点」という条件から は相異なるが、実は 自体が を保証している。
(2)空間内に をみたす相異なる5点があり、 から平面 に下ろした垂線の足を とする。命題(i)「 ならば三角形 は正三角形」と、命題(ii)「 かつ ならば四面体 は正四面体」を示す
答 と直交分解し、(1) を を中心として使う
は から等距離（三角形 の外心）である。 と分けると、 と は直交するので、長さの2乗が「縦の成分」と「横の成分」にきれいに分かれる。
準備。 は外心。 は平面 に垂直なので、 について である。三平方の定理から
なので、 である。この共通の値を とおく。 は相異なるので である。
直交分解。 、 とおく。 を3つ足して
である。 は平面 に平行なので であり
が成り立つ。
命題(i)。 仮定 を ① に入れると
なので 、すなわち
である。 なので、各ベクトルを で割れば長さ1の3本のベクトルの和が になる。これは平面 の中での話だから、(1) がそのまま使えて三角形 は正三角形である。
命題(ii)。 より
である。 とあわせて ① に入れると
なので である。よって命題(i) の議論から三角形 は正三角形で、しかも
である。つまり は、 から平面 に下ろした垂線の反対向きに だけ進んだ点である。
辺の長さ。 である。正三角形の外接円の半径が なら1辺は なので
である。一方 で、 だから
すなわち である。 も同じである。よって6辺がすべて で等しく、四面体 は正四面体である。
の配置で ととると、4本のベクトルの和の大きさが 、6辺がすべて になった。
が三角形 の外心であることを最初に言う。 から等距離の3点を平面に落とすので当然だが、これがないと が共通だと言えない。
直交分解 ① が議論の中心。「縦（ 方向）」と「横（平面内）」が直交するので、長さの2乗が足し算になる。
(ii) では三角形 が正三角形であることだけでは足りない。 の位置（）まで決めて6辺を比べる。
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