第1問 2次関数・積分法の解答・解説

解の配置・絶対値つき定積分・3次関数の増減・最小値当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $a$ を実数、 $f (x) = 2 x^{2} - 2 a x - a^{2}$ とするとき、方程式 $f (x) = 0$ の解 $t$ が必ず $- 1 ≦ t ≦ 1$ を満たすための $a$ の条件を求める

答 $- (3 - 1) ≦ a ≦ 3 - 1$

この2次方程式は解の公式がきれいに出る（判別式が $a$ の平方の定数倍）ので、解を直接書き下して評価するのがいちばん早い。解の配置の3条件（判別式・軸・端点の値）で解いてもよい。

判別式を4で割ったものは

\frac{D}{4} = a^{2} + 2 a^{2} = 3 a^{2} ≧ 0

なので、実数解はつねに存在する。解の公式から

t = \frac{2 a \pm 12 a ^{2}}{4} = \frac{2 a \pm 2 3 ∣ a ∣}{4} = \frac{a \pm 3 ∣ a ∣}{2}

である。 $a ≧ 0$ でも $a < 0$ でも、2解の集合は ${\frac{( 1 - 3 ) a}{2}, \frac{( 1 + 3 ) a}{2}}$ になる。それぞれの絶対値は

\frac{( 3 - 1 ) ∣ a ∣}{2}, \frac{( 3 + 1 ) ∣ a ∣}{2}

で、後者のほうが大きい。したがって「2解とも $[- 1, 1]$ に入る」条件は

\frac{( 3 + 1 ) ∣ a ∣}{2} ≦ 1, すなわち ∣ a ∣ ≦ \frac{2}{3 + 1}

である。有理化すると $\frac{2}{3 + 1} = \frac{2 ( 3 - 1 )}{2} = 3 - 1$ なので、求める条件は

- (3 - 1) ≦ a ≦ 3 - 1

である（ $3 - 1 = 0.732 \dots$ ）。

解の配置で解くなら、 $f (1) ≧ 0$ から $- 1 - 3 ≦ a ≦ 3 - 1$ 、 $f (- 1) ≧ 0$ から $1 - 3 ≦ a ≦ 1 + 3$ 、軸 $x = \frac{a}{2}$ が $[- 1, 1]$ にあることから $- 2 ≦ a ≦ 2$ となり、共通部分は同じ $1 - 3 ≦ a ≦ 3 - 1$ である。

$a = 0.73 (< 3 - 1)$ では解が $- 0.267199, 0.997199$ で区間内、 $a = 0.8$ では $1.092820$ が外に出た。

$12 a^{2} = 23 ∣ a ∣$ で、 $23 a$ ではない。 $a$ の符号で場合分けしてもよいが、結局同じ条件になる。

$a = 0$ のとき解は $t = 0$ （重解）で、これも条件を満たす。等号を外さない。

(2)(1) の条件を満たす $a$ に対し $S (a) = \int_{- 1}^{1} ∣ f (x) ∣ d x$ を求める

答 $S (a) = 23 ∣ a ∣^{3} - 2 a^{2} + \frac{4}{3}$

絶対値は「符号が変わるところで区間を切る」のが基本だが、ここでは2解がともに $[- 1, 1]$ の中にあるので、 $\int_{- 1}^{1} ∣ f ∣ = \int_{- 1}^{1} f - 2 \int_{t_{1}}^{t_{2}} f$ と書ける。後ろの積分は $\frac{1}{6}$ 公式で一発である。

a = 2√3/9 のときの y = f(x)。2つの解は -1 と 1 のあいだにあり、網かけの3つの部分の面積の合計が S(a)。

2解を $t_{1} ≦ t_{2}$ とすると、(1) の条件より $- 1 ≦ t_{1} ≦ t_{2} ≦ 1$ である。 $f$ は下に凸なので $t_{1} ≦ x ≦ t_{2}$ で $f ≦ 0$ 、それ以外で $f ≧ 0$ である。したがって

S (a) = \int_{- 1}^{1} ∣ f ∣ d x = \int_{- 1}^{1} f d x - 2 \int_{t_{1}}^{t_{2}} f d x

と書ける（負の部分だけ符号を反転させるので、全体の積分から負の部分を2回引く）。

第1項。 奇関数の項は消えて

\int_{- 1}^{1} (2 x^{2} - 2 a x - a^{2}) d x = 2 \cdot \frac{2}{3} - 0 - 2 a^{2} = \frac{4}{3} - 2 a^{2}

である。

第2項。 $f (x) = 2 (x - t_{1}) (x - t_{2})$ なので、 $\frac{1}{6}$ 公式から

\int_{t_{1}}^{t_{2}} f d x = - \frac{2}{6} (t_{2} - t_{1})^{3} = - \frac{( t _{2} - t _{1} ) ^{3}}{3}

である。(1) より2解の差は

t_{2} - t_{1} = \frac{( 3 + 1 ) ∣ a ∣}{2} + \frac{( 3 - 1 ) ∣ a ∣}{2} = 3 ∣ a ∣

なので

\int_{t_{1}}^{t_{2}} f d x = - \frac{3 3 ∣ a ∣ ^{3}}{3} = - 3 ∣ a ∣^{3}

である。以上から

S (a) = (\frac{4}{3} - 2 a^{2}) + 23 ∣ a ∣^{3} = 23 ∣ a ∣^{3} - 2 a^{2} + \frac{4}{3}

である。

$a = 0$ では $S = \frac{4}{3}$ で、 $\int_{- 1}^{1} 2 x^{2} d x = \frac{4}{3}$ と合う。 $S$ は $a$ の偶関数（ $∣ a ∣$ しか出てこない）である。

$a = 0.73$ で数値積分すると $1.6151277516$ 、式の値は $1.6151277513$ で一致した。

$∣ a ∣^{3}$ であって $a^{3}$ ではない。 $a < 0$ でも $t_{2} - t_{1} > 0$ だからである。

$\frac{1}{6}$ 公式の係数は $x^{2}$ の係数 $2$ 。 $\frac{2}{6} (t_{2} - t_{1})^{3}$ である。

(3) $S (a)$ の値が最小となる $a$ を求める

答 $a = \pm \frac{2 3}{9}$ （このとき $S = \frac{100}{81}$ ）

$S$ は偶関数なので $a ≧ 0$ で考えれば十分。 $a ≧ 0$ では $S = 23 a^{3} - 2 a^{2} + \frac{4}{3}$ という3次関数なので、微分して増減を見る。極小を与える $a$ が (1) の範囲に入っていることを確かめる。

$S (- a) = S (a)$ なので $0 ≦ a ≦ 3 - 1$ で考えればよい。この範囲では

S (a) = 23 a^{3} - 2 a^{2} + \frac{4}{3}

で、微分すると

S^{'} (a) = 63 a^{2} - 4 a = 2 a (33 a - 2)

である。 $S^{'} (a) = 0$ となるのは $a = 0$ と

a = \frac{2}{3 3} = \frac{2 3}{9} = 0.3849 \dots

である。 $0 < a < \frac{2 3}{9}$ では $S^{'} < 0$ 、 $a > \frac{2 3}{9}$ では $S^{'} > 0$ なので、 $a = \frac{2 3}{9}$ で最小になる。これは $3 - 1 = 0.732 \dots$ より小さいので (1) の範囲に入っている。