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名古屋大学　2019年度　前期日程　文科系

第3問確率・整数の解答・解説

2次方程式の整数解・判別式と平方数・解と係数の関係・数え上げ当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)サイコロを3回投げて出た目を順に $a, b, c$ とするとき、2次方程式 $x^{2} - b x + c = 0$ が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求める

答 $\frac{7}{36}$

$x^{2} - b x + c$ はモニック（最高次の係数が1）の整数係数なので、整数解が1つあれば解と係数の関係からもう一方も整数になる。だから「2つの正の整数 $m, m^{'}$ で $m + m^{'} = b ≦ 6$ 、 $m m^{'} = c ≦ 6$ 」を数えればよい。

この事象は $b, c$ だけで決まるので、 $36$ 通りの $(b, c)$ で数えればよい。

両方の解が整数になる。 整数解を $m$ とすると、もう一方の解は解と係数の関係から $b - m$ で、これも整数である。2解を $m, m^{'}$ とすると

m + m^{'} = b, m m^{'} = c

である。 $b ≧ 1$ 、 $c ≧ 1$ より和も積も正なので、 $m, m^{'}$ はどちらも正の整数である。

数える。 $m ≦ m^{'}$ として $m + m^{'} ≦ 6$ 、 $m m^{'} ≦ 6$ を満たす組を書き出す。

$m = 1$ ： $m^{'} = 1, 2, 3, 4, 5$ （ $m^{'} = 6$ は和が $7$ で不可）。 $(b, c) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5)$
$m = 2$ ： $m^{'} = 2$ で $(b, c) = (4, 4)$ 、 $m^{'} = 3$ で $(b, c) = (5, 6)$ 。 $m^{'} = 4$ は積が $8$ で不可
$m = 3$ ： $m^{'} = 3$ は和が $6$ だが積が $9$ で不可

これで7組である。 $(b, c)$ はすべて相異なるので、求める確率は

\frac{7}{36}

である。

$36$ 通りを全列挙すると $(b, c) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 6), (6, 5)$ の7通りだった。

モニックだから「片方が整数なら両方整数」。 $a$ が $1$ でない (2)(3) ではこれが使えない。

$b, c$ はどちらも $6$ 以下。和の条件と積の条件の両方で絞る。

(2)2次方程式 $a x^{2} - b x + c = 0$ のすべての解が整数である確率を求める

答 $\frac{5}{108}$

2解をともに整数 $p, q$ とすると $a x^{2} - b x + c = a (x - p) (x - q)$ なので $b = a (p + q)$ 、 $c = a pq$ である。 $b, c ≦ 6$ から $a$ と $p + q$ 、 $pq$ が強く縛られ、 $a ≦ 3$ しかありえない。

2解を $p, q$ （整数）とすると、因数分解して

a x^{2} - b x + c = a (x - p) (x - q) = a x^{2} - a (p + q) x + a pq

なので

b = a (p + q), c = a pq

である。 $a, b, c ≧ 1$ より $p + q > 0$ 、 $pq > 0$ なので $p, q$ はどちらも正の整数である。条件は

a (p + q) ≦ 6, a pq ≦ 6

である。 $p + q ≧ 2$ なので $2 a ≦ 6$ 、つまり $a ≦ 3$ である。 $a$ ごとに書き出す。

$a = 1$ ：(1) と同じ条件で7通り。 $(b, c) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5), (4, 4), (5, 6)$
$a = 2$ ： $p + q ≦ 3$ かつ $pq ≦ 3$ 。 $(p, q) = (1, 1)$ で $(b, c) = (4, 2)$ 、 $(1, 2)$ で $(6, 4)$ の2通り
$a = 3$ ： $p + q ≦ 2$ より $(p, q) = (1, 1)$ だけで $(b, c) = (6, 3)$ の1通り

合わせて $7 + 2 + 1 = 10$ 通りである。全体は $6^{3} = 216$ 通りなので、求める確率は

\frac{10}{216} = \frac{5}{108}

である。

$216$ 通りを全列挙すると、解がすべて整数なのは $(1, 2, 1), (1, 3, 2), (1, 4, 3), (1, 4, 4), (1, 5, 4), (1, 5, 6), (1, 6, 5), (2, 4, 2), (2, 6, 4), (3, 6, 3)$ の10通りだった。

$a \neq = 1$ のときは「解が整数」と「 $x^{2}$ の係数で割った式が整数係数」は別の話。 $b = a (p + q)$ 、 $c = a pq$ という形から入るのが安全である。

$p + q ≧ 2$ （ $p, q ≧ 1$ ）から $a ≦ 3$ が出る。 $a = 4, 5, 6$ を調べなくてよい。

(3)2次方程式 $a x^{2} - b x + c = 0$ が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求める

答 $\frac{1}{12}$

整数解を $m$ とおいて $c = m (b - am)$ と書くと、 $m$ と $a$ を決めるごとに $b$ の範囲が決まる。 $a$ の小さいほうから、 $m = 1, 2, \dots$ と順に書き出して重複を取り除く。

整数解を $m$ とすると $a m^{2} - bm + c = 0$ から

c = m (b - am)

である。 $c ≧ 1 > 0$ で、 $m ≦ 0$ だと $b - am ≧ b > 0$ となり $m (b - am) ≦ 0$ なので不適。よって $m ≧ 1$ で、かつ $b > am$ である。条件は

m ≧ 1, am < b ≦ 6, 1 ≦ m (b - am) ≦ 6

である。 $a$ ごとに、 $m = 1, 2, \dots$ と動かして $(a, b, c)$ を書き出す。

$a = 1$ 。 $m = 1$ で $c = b - 1$ 、 $b = 2, \dots, 6$ から $(1, 2, 1), (1, 3, 2), (1, 4, 3), (1, 5, 4), (1, 6, 5)$ 。 $m = 2$ で $c = 2 (b - 2) ≦ 6$ より $b = 3, 4, 5$ から $(1, 3, 2), (1, 4, 4), (1, 5, 6)$ 。 $m = 3$ で $b = 4, 5$ から $(1, 4, 3), (1, 5, 6)$ 。 $m = 4$ で $b = 5$ から $(1, 5, 4)$ 。 $m = 5$ で $b = 6$ から $(1, 6, 5)$ 。重複を除くと

(1, 2, 1), (1, 3, 2), (1, 4, 3), (1, 4, 4), (1, 5, 4), (1, 5, 6), (1, 6, 5)

の7通りである（(1) の結果と同じになる）。

$a = 2$ 。 $m = 1$ で $c = b - 2$ 、 $b = 3, \dots, 6$ から $(2, 3, 1), (2, 4, 2), (2, 5, 3), (2, 6, 4)$ 。 $m = 2$ で $c = 2 (b - 4) ≦ 6$ より $b = 5, 6$ から $(2, 5, 2), (2, 6, 4)$ 。 $m = 3$ は $b > 6$ で不可。重複を除くと

(2, 3, 1), (2, 4, 2), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 6, 4)

の5通りである。

$a = 3$ 。 $m = 1$ で $b = 4, 5, 6$ から $(3, 4, 1), (3, 5, 2), (3, 6, 3)$ の3通り（ $m ≧ 2$ は $b > 6$ で不可）。

$a = 4$ 。 $m = 1$ で $b = 5, 6$ から $(4, 5, 1), (4, 6, 2)$ の2通り。

$a = 5$ 。 $m = 1$ で $b = 6$ から $(5, 6, 1)$ の1通り。

$a = 6$ 。 $am < b ≦ 6$ より $6 m < b ≦ 6$ となる $b$ はない。0通り。

合計すると

7 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0 = 18 通り

なので、求める確率は

\frac{18}{216} = \frac{1}{12}

である。

(2) の10通りはこの18通りに含まれている。差の8通りは「整数解が1つだけで、もう一方は整数でない」場合で、たとえば $(a, b, c) = (2, 3, 1)$ では $2 x^{2} - 3 x + 1 = (2 x - 1) (x - 1)$ となり、解は $1$ と $\frac{1}{2}$ である。