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名古屋大学　2019年度　前期日程　文科系

第1問微分法・積分法の解答・解説

定積分で定まる関数・3次関数の極値・極値の積の符号・4次不等式当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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$a$ を実数、 $f (x) = x^{2} + a x - a$ 、 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ とするとき、 $y = F (x) - f (x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わるための $a$ の条件を求める

答 $a < - 3 - 3$ 、 $- \frac{4}{3} < a < - 3 + 3$ 、 $a > 0$ のいずれか

$g (x) = F (x) - f (x)$ は3次関数なので、「異なる3点で $x$ 軸と交わる」 $⟺$ 「極大値と極小値をもち、その積が負」である。 $g^{'}$ がきれいに因数分解できるので、極値を与える $x$ は $a$ の式としてすぐ出る。最後は $a$ の4次不等式になるが、これも因数分解できる。

$g$ を求める。 $f (t) = t^{2} + a t - a$ を $0$ から $x$ まで積分して

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{a}{2} x^{2} - a x

である。 $g (x) = F (x) - f (x)$ とおくと

g (x) = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{a}{2} x^{2} - a x - (x^{2} + a x - a) = \frac{x ^{3}}{3} + (\frac{a}{2} - 1) x^{2} - 2 a x + a

である。

極値。 微分すると

g^{'} (x) = x^{2} + (a - 2) x - 2 a = (x + a) (x - 2)

である。3次関数が $x$ 軸と異なる3点で交わるのは、極大値と極小値をもち（ $g^{'} = 0$ が異なる2実数解をもち）、かつ

(極大値) \times (極小値) < 0

のときである。 $g^{'} = 0$ の解は $x = - a$ と $x = 2$ で、異なるのは $a \neq = - 2$ のときである。この2つでの値を計算すると

g (2) = \frac{8}{3} + 4 (\frac{a}{2} - 1) - 4 a + a = \frac{8}{3} - 4 - a = - \frac{3 a + 4}{3}

g (- a) = - \frac{a ^{3}}{3} + a^{2} (\frac{a}{2} - 1) + 2 a^{2} + a = \frac{a ^{3}}{6} + a^{2} + a = \frac{a}{6} (a^{2} + 6 a + 6)

である。

a = 1 のときの y = g(x)。x = -a と x = 2 で極値をとり、極大値が正・極小値が負なので x 軸と3点で交わる。

条件を整理する。 積が負という条件は

- \frac{3 a + 4}{3} \cdot \frac{a}{6} (a^{2} + 6 a + 6) < 0

すなわち、両辺に $- 18$ を掛けて（不等号の向きが変わる）

a (3 a + 4) (a^{2} + 6 a + 6) > 0 \dots ①

である。 $a^{2} + 6 a + 6 = 0$ の解は $a = - 3 \pm 3$ なので、① の左辺は

3 a (a + \frac{4}{3}) (a + 3 + 3) (a + 3 - 3) > 0

と4つの1次式の積に分解できる。4つの解を小さい順に並べると

- 3 - 3 < - \frac{4}{3} < - 3 + 3 < 0

である（ $- 3 - 3 = - 4.732 \dots$ 、 $- \frac{4}{3} = - 1.333 \dots$ 、 $- 3 + 3 = - 1.268 \dots$ ）。最高次の係数が正の4次式なので、符号は外側から $+, -, +, -, +$ と交互に変わり、① が成り立つのは

a < - 3 - 3, - \frac{4}{3} < a < - 3 + 3, a > 0

のいずれかのときである。なお $a = - 2$ はこのどの区間にも入っていないので（ $- 2$ は $- 3 - 3$ と $- \frac{4}{3}$ のあいだ）、 $a \neq = - 2$ の条件は自動的に満たされている。

$a$ を $- 9$ から $6$ まで $0.001$ 刻みでとって実数解の個数を数値で数えると、上の3つの区間と完全に一致した。 $a = - 1.3$ （ $- \frac{4}{3} < a < - 3 + 3$ ）では3個、 $a = - 1.28$ でも3個、 $a = - 3$ では1個だった。

$- \frac{4}{3}$ と $- 3 + 3$ はどちらも $- 1.3$ 前後で、大小が紛らわしい。 $- \frac{4}{3} = - 1.3333$ 、 $- 3 + 3 = - 1.2679$ なので $- \frac{4}{3} < - 3 + 3$ である。

$g^{'} = 0$ が重解になる $a = - 2$ を忘れずに外す（ただし結果的にすでに除外されている）。

「極値の積が負」で片づける。3つの解を具体的に求めようとしない。

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問題文について

a を実数、f(x)=x2+ax−a、F(x)=∫0x​f(t)dt とするとき、y=F(x)−f(x) のグラフが x 軸と異なる3点で交わるための a の条件を求める

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