第2問 数列・図形と方程式の解答・解説

与えられた2式を $x_{n+1},y_{n+1}$ について整理すると

である。これを ㋐、㋑ と呼ぶ。㋐ $-k\times$㋑ を作ると $y_{n+1}$ が消えて

となる。$k\times$㋐ $+$ ㋑ を作ると $x_{n+1}$ が消えて

である。まとめると

である。ここで $k=\tan \frac{\alpha }{2}$ とすると、半角の公式（$t=\tan \frac{\alpha }{2}$ 置換）から

なので、① は

すなわち「原点のまわりに角 $\alpha$ だけ回す」という式である。${\mathrm{P}}_0(1,0)$ から始めるので

である（${\mathrm{P}}_2$ は ${\mathrm{P}}_1$ をもう一度 $\alpha$ 回したもので、加法定理から $\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha =\cos 2\alpha$、$\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha =\sin 2\alpha$）。

$\frac{1-t^2}{1+t^2}=\cos \alpha$、$\frac{2t}{1+t^2}=\sin \alpha$（$t=\tan \frac{\alpha }{2}$）は、$\cos \alpha =2{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-1$、$\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}$ を ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{1+t^2}$ で書き直したものである。

$\left(x_n,y_n\right)=\left(\cos n\alpha ,\sin n\alpha \right)$ を数学的帰納法で示す。

$n=0$ のとき $\left(\cos 0,\sin 0\right)=(1,0)={\mathrm{P}}_0$ で成り立つ。

$n$ で成り立つとすると、(1) の回転の式から

（加法定理）なので $n+1$ でも成り立つ。よってすべての非負整数 $n$ について

である。

$\left|{\mathrm{OP}}_n\right|=1$ がすべての $n$ で成り立つ。回転なので長さが変わらない、という当たり前のことだが、(3) で効く。

(2) より $\left|{\mathrm{OP}}_n\right|=\left|{\mathrm{OP}}_{n+1}\right|=1$ で、$\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_n}$ と $\overrightarrow{{\mathrm{OP}}_{n+1}}$ のなす角は $\alpha$（$0<\alpha <\pi$）である。よって

である。(1) で見たように $\sin \alpha =\frac{2k}{1+k^2}$ なので

である。$n$ によらない。

任意の正の実数 $k$ は $k=\tan \frac{\alpha }{2}$（$0<\alpha <\pi$）の形に書けるので、この式は $k>0$ のすべてで成り立つ。$k=1$（$\alpha =\frac{\pi }{2}$）のとき面積は $\frac{1}{2}$ で最大になり、$k\to 0$ でも $k\to \infty$ でも $0$ に近づく。