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名古屋大学　2019年度　前期日程　文科系

名大文系 2019年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　微分法・積分法

定積分で定まる関数・3次関数の極値・極値の積の符号・4次不等式当サイトの体感難易度：やや難

$a$ を実数、 $f (x) = x^{2} + a x - a$ 、 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ とするとき、 $y = F (x) - f (x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わるための $a$ の条件を求める

答 $a < - 3 - 3$ 、 $- \frac{4}{3} < a < - 3 + 3$ 、 $a > 0$ のいずれか

$g (x) = F (x) - f (x)$ は3次関数なので、「異なる3点で $x$ 軸と交わる」 $⟺$ 「極大値と極小値をもち、その積が負」である。 $g^{'}$ がきれいに因数分解できるので、極値を与える $x$ は $a$ の式としてすぐ出る。最後は $a$ の4次不等式になるが、これも因数分解できる。

$g$ を求める。 $f (t) = t^{2} + a t - a$ を $0$ から $x$ まで積分して

F (x) = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{a}{2} x^{2} - a x

である。 $g (x) = F (x) - f (x)$ とおくと

g (x) = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{a}{2} x^{2} - a x - (x^{2} + a x - a) = \frac{x ^{3}}{3} + (\frac{a}{2} - 1) x^{2} - 2 a x + a

である。

極値。 微分すると

g^{'} (x) = x^{2} + (a - 2) x - 2 a = (x + a) (x - 2)

である。3次関数が $x$ 軸と異なる3点で交わるのは、極大値と極小値をもち（ $g^{'} = 0$ が異なる2実数解をもち）、かつ

(極大値) \times (極小値) < 0

のときである。 $g^{'} = 0$ の解は $x = - a$ と $x = 2$ で、異なるのは $a \neq = - 2$ のときである。この2つでの値を計算すると

g (2) = \frac{8}{3} + 4 (\frac{a}{2} - 1) - 4 a + a = \frac{8}{3} - 4 - a = - \frac{3 a + 4}{3}

g (- a) = - \frac{a ^{3}}{3} + a^{2} (\frac{a}{2} - 1) + 2 a^{2} + a = \frac{a ^{3}}{6} + a^{2} + a = \frac{a}{6} (a^{2} + 6 a + 6)

である。

a = 1 のときの y = g(x)。x = -a と x = 2 で極値をとり、極大値が正・極小値が負なので x 軸と3点で交わる。

条件を整理する。 積が負という条件は

- \frac{3 a + 4}{3} \cdot \frac{a}{6} (a^{2} + 6 a + 6) < 0

すなわち、両辺に $- 18$ を掛けて（不等号の向きが変わる）

a (3 a + 4) (a^{2} + 6 a + 6) > 0 \dots ①

である。 $a^{2} + 6 a + 6 = 0$ の解は $a = - 3 \pm 3$ なので、① の左辺は

3 a (a + \frac{4}{3}) (a + 3 + 3) (a + 3 - 3) > 0

と4つの1次式の積に分解できる。4つの解を小さい順に並べると

- 3 - 3 < - \frac{4}{3} < - 3 + 3 < 0

である（ $- 3 - 3 = - 4.732 \dots$ 、 $- \frac{4}{3} = - 1.333 \dots$ 、 $- 3 + 3 = - 1.268 \dots$ ）。最高次の係数が正の4次式なので、符号は外側から $+, -, +, -, +$ と交互に変わり、① が成り立つのは

a < - 3 - 3, - \frac{4}{3} < a < - 3 + 3, a > 0

のいずれかのときである。なお $a = - 2$ はこのどの区間にも入っていないので（ $- 2$ は $- 3 - 3$ と $- \frac{4}{3}$ のあいだ）、 $a \neq = - 2$ の条件は自動的に満たされている。

$a$ を $- 9$ から $6$ まで $0.001$ 刻みでとって実数解の個数を数値で数えると、上の3つの区間と完全に一致した。 $a = - 1.3$ （ $- \frac{4}{3} < a < - 3 + 3$ ）では3個、 $a = - 1.28$ でも3個、 $a = - 3$ では1個だった。

$- \frac{4}{3}$ と $- 3 + 3$ はどちらも $- 1.3$ 前後で、大小が紛らわしい。 $- \frac{4}{3} = - 1.3333$ 、 $- 3 + 3 = - 1.2679$ なので $- \frac{4}{3} < - 3 + 3$ である。

$g^{'} = 0$ が重解になる $a = - 2$ を忘れずに外す（ただし結果的にすでに除外されている）。

「極値の積が負」で片づける。3つの解を具体的に求めようとしない。

第1問だけのページ

第2問　数列・図形と方程式

連立漸化式・回転・加法定理・三角形の面積当サイトの体感難易度：やや難

(1) $P_{0} (1, 0)$ とし、 $x_{n + 1} = x_{n} - k (y_{n} + y_{n + 1})$ 、 $y_{n + 1} = y_{n} + k (x_{n} + x_{n + 1})$ （ $k > 0$ ）で $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ を定める。 $k = tan \frac{α}{2}$ （ $0 < α < π$ ）のとき $P_{1}, P_{2}$ の座標を $α$ で表す

答 $P_{1} (cos α, sin α)$ 、 $P_{2} (cos 2 α, sin 2 α)$

$x_{n + 1}, y_{n + 1}$ が両辺に出ているので、まず $x_{n + 1}, y_{n + 1}$ について解く。 $2 \times 2$ の連立1次方程式になり、解くと「回転」の形が見える。 $k = tan \frac{α}{2}$ を入れると半角の公式で $cos α, sin α$ がそのまま出る。

与えられた2式を $x_{n + 1}, y_{n + 1}$ について整理すると

x_{n + 1} + k y_{n + 1} = x_{n} - k y_{n}, - k x_{n + 1} + y_{n + 1} = k x_{n} + y_{n}

である。これを㋐、㋑と呼ぶ。㋐ $- k \times$ ㋑を作ると $y_{n + 1}$ が消えて

(1 + k^{2}) x_{n + 1} = (x_{n} - k y_{n}) - k (k x_{n} + y_{n}) = (1 - k^{2}) x_{n} - 2 k y_{n}

となる。 $k \times$ ㋐ $+$ ㋑を作ると $x_{n + 1}$ が消えて

(1 + k^{2}) y_{n + 1} = k (x_{n} - k y_{n}) + (k x_{n} + y_{n}) = 2 k x_{n} + (1 - k^{2}) y_{n}

である。まとめると

⎩ ⎨ ⎧ x_{n + 1} = \frac{1 - k ^{2}}{1 + k ^{2}} x_{n} - \frac{2 k}{1 + k ^{2}} y_{n} y_{n + 1} = \frac{2 k}{1 + k ^{2}} x_{n} + \frac{1 - k ^{2}}{1 + k ^{2}} y_{n} \dots ①

である。ここで $k = tan \frac{α}{2}$ とすると、半角の公式（ $t = tan \frac{α}{2}$ 置換）から

\frac{1 - k ^{2}}{1 + k ^{2}} = cos α, \frac{2 k}{1 + k ^{2}} = sin α

なので、① は

{x_{n + 1} = x_{n} cos α - y_{n} sin α y_{n + 1} = x_{n} sin α + y_{n} cos α

すなわち「原点のまわりに角 $α$ だけ回す」という式である。 $P_{0} (1, 0)$ から始めるので

P_{1} (cos α, sin α), P_{2} (cos 2 α, sin 2 α)

である（ $P_{2}$ は $P_{1}$ をもう一度 $α$ 回したもので、加法定理から $cos α cos α - sin α sin α = cos 2 α$ 、 $sin α cos α + cos α sin α = sin 2 α$ ）。

$\frac{1 - t ^{2}}{1 + t ^{2}} = cos α$ 、 $\frac{2 t}{1 + t ^{2}} = sin α$ （ $t = tan \frac{α}{2}$ ）は、 $cos α = 2 cos^{2} \frac{α}{2} - 1$ 、 $sin α = 2 sin \frac{α}{2} cos \frac{α}{2}$ を $cos^{2} \frac{α}{2} = \frac{1}{1 + t ^{2}}$ で書き直したものである。

$α = 1$ （ $k = 0.546302$ ）で漸化式を数値で回すと $P_{1} = (0.540302, 0.841471) = (cos 1, sin 1)$ 、 $P_{2} = (cos 2, sin 2)$ になった。

漸化式の右辺に $x_{n + 1}, y_{n + 1}$ が入っている。まず「次の項」について解くのが第一歩である。

$0 < α < π$ なので $\frac{α}{2} \in (0, \frac{π}{2})$ で $k = tan \frac{α}{2} > 0$ 。問題の「 $k$ は正の実数」と整合している。

(2) $P_{n}$ の座標 $(x_{n}, y_{n})$ を $α$ と $n$ で表す

答 $(x_{n}, y_{n}) = (cos n α, sin n α)$

(1) で「1回の操作は角 $α$ の回転」と分かったので、 $n$ 回で角 $n α$ の回転になる。数学的帰納法で書けばよい。

$(x_{n}, y_{n}) = (cos n α, sin n α)$ を数学的帰納法で示す。

$n = 0$ のとき $(cos 0, sin 0) = (1, 0) = P_{0}$ で成り立つ。

$n$ で成り立つとすると、(1) の回転の式から

x_{n + 1} = cos n α cos α - sin n α sin α = cos (n + 1) α

y_{n + 1} = cos n α sin α + sin n α cos α = sin (n + 1) α

（加法定理）なので $n + 1$ でも成り立つ。よってすべての非負整数 $n$ について

(x_{n}, y_{n}) = (cos n α, sin n α)

である。

P_n は単位円上を角 α ずつ回っていく（図は α = 2π/7 の場合）。網かけは三角形 P_1 O P_2。

$∣ OP_{n} ∣ = 1$ がすべての $n$ で成り立つ。回転なので長さが変わらない、という当たり前のことだが、(3) で効く。

$α = 2$ で5回まわした結果と $(cos n α, sin n α)$ の差は最大 $5.6 \times 1 0^{- 16}$ だった。

(3) $O$ を原点とするとき、三角形 $P_{n} OP_{n + 1}$ の面積を $k$ で表す

答 $\frac{k}{1 + k ^{2}}$

$∣ OP_{n} ∣ = ∣ OP_{n + 1} ∣ = 1$ で、なす角は $α$ である。面積は $\frac{1}{2} sin α$ で、これを $k$ で書き直せばよい。 $sin α = \frac{2 k}{1 + k ^{2}}$ は (1) ですでに出ている。

(2) より $∣ OP_{n} ∣ = ∣ OP_{n + 1} ∣ = 1$ で、 $OP_{n}$ と $OP_{n + 1}$ のなす角は $α$ （ $0 < α < π$ ）である。よって

△ P_{n} OP_{n + 1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot sin α = \frac{sin α}{2}

である。(1) で見たように $sin α = \frac{2 k}{1 + k ^{2}}$ なので

△ P_{n} OP_{n + 1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 k}{1 + k ^{2}} = \frac{k}{1 + k ^{2}}

である。 $n$ によらない。

任意の正の実数 $k$ は $k = tan \frac{α}{2}$ （ $0 < α < π$ ）の形に書けるので、この式は $k > 0$ のすべてで成り立つ。 $k = 1$ （ $α = \frac{π}{2}$ ）のとき面積は $\frac{1}{2}$ で最大になり、 $k \to 0$ でも $k \to \infty$ でも $0$ に近づく。

$α = 2$ （ $k = 1.557408$ ）で $△ P_{1} OP_{2}$ を外積で計算すると $0.454648713$ 、 $\frac{k}{1 + k ^{2}} = 0.454648713$ で一致した。

面積公式 $\frac{1}{2} ab sin θ$ の $sin α$ を、そのまま $k$ の式に直す。 $α$ を残さない。

答えが $n$ によらないことを述べておくと、問題文の「 $k$ を用いて表せ」に正面から答えたことになる。

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第3問　確率・整数

2次方程式の整数解・判別式と平方数・解と係数の関係・数え上げ当サイトの体感難易度：やや難

(1)サイコロを3回投げて出た目を順に $a, b, c$ とするとき、2次方程式 $x^{2} - b x + c = 0$ が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求める

答 $\frac{7}{36}$

$x^{2} - b x + c$ はモニック（最高次の係数が1）の整数係数なので、整数解が1つあれば解と係数の関係からもう一方も整数になる。だから「2つの正の整数 $m, m^{'}$ で $m + m^{'} = b ≦ 6$ 、 $m m^{'} = c ≦ 6$ 」を数えればよい。

この事象は $b, c$ だけで決まるので、 $36$ 通りの $(b, c)$ で数えればよい。

両方の解が整数になる。 整数解を $m$ とすると、もう一方の解は解と係数の関係から $b - m$ で、これも整数である。2解を $m, m^{'}$ とすると

m + m^{'} = b, m m^{'} = c

である。 $b ≧ 1$ 、 $c ≧ 1$ より和も積も正なので、 $m, m^{'}$ はどちらも正の整数である。

数える。 $m ≦ m^{'}$ として $m + m^{'} ≦ 6$ 、 $m m^{'} ≦ 6$ を満たす組を書き出す。

$m = 1$ ： $m^{'} = 1, 2, 3, 4, 5$ （ $m^{'} = 6$ は和が $7$ で不可）。 $(b, c) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5)$
$m = 2$ ： $m^{'} = 2$ で $(b, c) = (4, 4)$ 、 $m^{'} = 3$ で $(b, c) = (5, 6)$ 。 $m^{'} = 4$ は積が $8$ で不可
$m = 3$ ： $m^{'} = 3$ は和が $6$ だが積が $9$ で不可

これで7組である。 $(b, c)$ はすべて相異なるので、求める確率は

\frac{7}{36}

である。

$36$ 通りを全列挙すると $(b, c) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (4, 4), (5, 4), (5, 6), (6, 5)$ の7通りだった。

モニックだから「片方が整数なら両方整数」。 $a$ が $1$ でない (2)(3) ではこれが使えない。

$b, c$ はどちらも $6$ 以下。和の条件と積の条件の両方で絞る。

(2)2次方程式 $a x^{2} - b x + c = 0$ のすべての解が整数である確率を求める

答 $\frac{5}{108}$

2解をともに整数 $p, q$ とすると $a x^{2} - b x + c = a (x - p) (x - q)$ なので $b = a (p + q)$ 、 $c = a pq$ である。 $b, c ≦ 6$ から $a$ と $p + q$ 、 $pq$ が強く縛られ、 $a ≦ 3$ しかありえない。

2解を $p, q$ （整数）とすると、因数分解して

a x^{2} - b x + c = a (x - p) (x - q) = a x^{2} - a (p + q) x + a pq

なので

b = a (p + q), c = a pq

である。 $a, b, c ≧ 1$ より $p + q > 0$ 、 $pq > 0$ なので $p, q$ はどちらも正の整数である。条件は

a (p + q) ≦ 6, a pq ≦ 6

である。 $p + q ≧ 2$ なので $2 a ≦ 6$ 、つまり $a ≦ 3$ である。 $a$ ごとに書き出す。

$a = 1$ ：(1) と同じ条件で7通り。 $(b, c) = (2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5), (4, 4), (5, 6)$
$a = 2$ ： $p + q ≦ 3$ かつ $pq ≦ 3$ 。 $(p, q) = (1, 1)$ で $(b, c) = (4, 2)$ 、 $(1, 2)$ で $(6, 4)$ の2通り
$a = 3$ ： $p + q ≦ 2$ より $(p, q) = (1, 1)$ だけで $(b, c) = (6, 3)$ の1通り

合わせて $7 + 2 + 1 = 10$ 通りである。全体は $6^{3} = 216$ 通りなので、求める確率は

\frac{10}{216} = \frac{5}{108}

である。

$216$ 通りを全列挙すると、解がすべて整数なのは $(1, 2, 1), (1, 3, 2), (1, 4, 3), (1, 4, 4), (1, 5, 4), (1, 5, 6), (1, 6, 5), (2, 4, 2), (2, 6, 4), (3, 6, 3)$ の10通りだった。

$a \neq = 1$ のときは「解が整数」と「 $x^{2}$ の係数で割った式が整数係数」は別の話。 $b = a (p + q)$ 、 $c = a pq$ という形から入るのが安全である。

$p + q ≧ 2$ （ $p, q ≧ 1$ ）から $a ≦ 3$ が出る。 $a = 4, 5, 6$ を調べなくてよい。

(3)2次方程式 $a x^{2} - b x + c = 0$ が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求める

答 $\frac{1}{12}$

整数解を $m$ とおいて $c = m (b - am)$ と書くと、 $m$ と $a$ を決めるごとに $b$ の範囲が決まる。 $a$ の小さいほうから、 $m = 1, 2, \dots$ と順に書き出して重複を取り除く。

整数解を $m$ とすると $a m^{2} - bm + c = 0$ から

c = m (b - am)

である。 $c ≧ 1 > 0$ で、 $m ≦ 0$ だと $b - am ≧ b > 0$ となり $m (b - am) ≦ 0$ なので不適。よって $m ≧ 1$ で、かつ $b > am$ である。条件は

m ≧ 1, am < b ≦ 6, 1 ≦ m (b - am) ≦ 6

である。 $a$ ごとに、 $m = 1, 2, \dots$ と動かして $(a, b, c)$ を書き出す。

$a = 1$ 。 $m = 1$ で $c = b - 1$ 、 $b = 2, \dots, 6$ から $(1, 2, 1), (1, 3, 2), (1, 4, 3), (1, 5, 4), (1, 6, 5)$ 。 $m = 2$ で $c = 2 (b - 2) ≦ 6$ より $b = 3, 4, 5$ から $(1, 3, 2), (1, 4, 4), (1, 5, 6)$ 。 $m = 3$ で $b = 4, 5$ から $(1, 4, 3), (1, 5, 6)$ 。 $m = 4$ で $b = 5$ から $(1, 5, 4)$ 。 $m = 5$ で $b = 6$ から $(1, 6, 5)$ 。重複を除くと

(1, 2, 1), (1, 3, 2), (1, 4, 3), (1, 4, 4), (1, 5, 4), (1, 5, 6), (1, 6, 5)

の7通りである（(1) の結果と同じになる）。

$a = 2$ 。 $m = 1$ で $c = b - 2$ 、 $b = 3, \dots, 6$ から $(2, 3, 1), (2, 4, 2), (2, 5, 3), (2, 6, 4)$ 。 $m = 2$ で $c = 2 (b - 4) ≦ 6$ より $b = 5, 6$ から $(2, 5, 2), (2, 6, 4)$ 。 $m = 3$ は $b > 6$ で不可。重複を除くと

(2, 3, 1), (2, 4, 2), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 6, 4)

の5通りである。

$a = 3$ 。 $m = 1$ で $b = 4, 5, 6$ から $(3, 4, 1), (3, 5, 2), (3, 6, 3)$ の3通り（ $m ≧ 2$ は $b > 6$ で不可）。

$a = 4$ 。 $m = 1$ で $b = 5, 6$ から $(4, 5, 1), (4, 6, 2)$ の2通り。

$a = 5$ 。 $m = 1$ で $b = 6$ から $(5, 6, 1)$ の1通り。

$a = 6$ 。 $am < b ≦ 6$ より $6 m < b ≦ 6$ となる $b$ はない。0通り。

合計すると

7 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0 = 18 通り

なので、求める確率は

\frac{18}{216} = \frac{1}{12}

である。

(2) の10通りはこの18通りに含まれている。差の8通りは「整数解が1つだけで、もう一方は整数でない」場合で、たとえば $(a, b, c) = (2, 3, 1)$ では $2 x^{2} - 3 x + 1 = (2 x - 1) (x - 1)$ となり、解は $1$ と $\frac{1}{2}$ である。

$216$ 通りを全列挙すると18通りで、 $a = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ ごとの内訳は $7, 5, 3, 2, 1, 0$ だった。

同じ $(a, b, c)$ が複数の $m$ から出てくる（たとえば $(1, 5, 6)$ は $m = 2$ と $m = 3$ の両方）。重複を必ず取り除く。

$m ≧ 1$ であること（負の整数解はない）を最初に示しておくと、探索範囲が有限で済む。

$a = 1$ の場合だけは (1) の答えと一致する。モニックなら「片方整数 $\Rightarrow$ 両方整数」だからである。

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問題文について

a を実数、f(x)=x2+ax−a、F(x)=∫0x​f(t)dt とするとき、y=F(x)−f(x) のグラフが x 軸と異なる3点で交わるための a の条件を求める

(1)P0​(1,0) とし、xn+1​=xn​−k(yn​+yn+1​)、yn+1​=yn​+k(xn​+xn+1​)（k>0）で Pn​(xn​,yn​) を定める。k=tan2α​（0<α<π）のとき P1​,P2​ の座標を α で表す

(2)Pn​ の座標 (xn​,yn​) を α と n で表す

(3)O を原点とするとき、三角形 Pn​OPn+1​ の面積を k で表す

(1)サイコロを3回投げて出た目を順に a,b,c とするとき、2次方程式 x2−bx+c=0 が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求める

(2)2次方程式 ax2−bx+c=0 のすべての解が整数である確率を求める

(3)2次方程式 ax2−bx+c=0 が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求める

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$a$ を実数、 $f (x) = x^{2} + a x - a$ 、 $F (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ とするとき、 $y = F (x) - f (x)$ のグラフが $x$ 軸と異なる3点で交わるための $a$ の条件を求める

(1) $P_{0} (1, 0)$ とし、 $x_{n + 1} = x_{n} - k (y_{n} + y_{n + 1})$ 、 $y_{n + 1} = y_{n} + k (x_{n} + x_{n + 1})$ （ $k > 0$ ）で $P_{n} (x_{n}, y_{n})$ を定める。 $k = tan \frac{α}{2}$ （ $0 < α < π$ ）のとき $P_{1}, P_{2}$ の座標を $α$ で表す

(2) $P_{n}$ の座標 $(x_{n}, y_{n})$ を $α$ と $n$ で表す

(3) $O$ を原点とするとき、三角形 $P_{n} OP_{n + 1}$ の面積を $k$ で表す

(1)サイコロを3回投げて出た目を順に $a, b, c$ とするとき、2次方程式 $x^{2} - b x + c = 0$ が少なくとも1つ整数解をもつ確率を求める

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