第3問整式の解答・解説

1 の原始6乗根・因数分解・合同式・中国剰余定理当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $a, b$ を $c$ を用いて表す

答 $a = c - 1$ 、 $b = 1 - c$

$\frac{1 + 3 i}{2}$ は $x^{2} - x + 1 = 0$ の解である。係数が実数なので $f (x)$ は $x^{2} - x + 1$ で割り切れ、商は1次式 $x + m$ になる。

$ω = \frac{1 + 3 i}{2}$ は $x^{2} - x + 1 = 0$ の解である（和 $1$ 、積 $1$ の2解の一方）。 $f$ の係数は実数なので共役 $\overset{ω}{ˉ}$ も解であり、 $f (x)$ は $x^{2} - x + 1$ で割り切れる。 $f$ は3次だから商は1次で

f (x) = (x^{2} - x + 1) (x + m)

と書ける。展開すると

x^{3} + (m - 1) x^{2} + (1 - m) x + m

なので、係数を比べて

a = m - 1, b = 1 - m, c = m

である。 $m = c$ を入れて

a = c - 1, b = 1 - c

である。

$a + b = 0$ になっている。 $f (x) = (x^{2} - x + 1) (x + c)$ という形からすぐ読み取れる。

$a = c - 1$ 、 $b = 1 - c$ とすると、 $c$ を何にとっても $f (ω) = 0$ になることを数値で確かめた。

$ω$ の最小多項式は $x^{2} - x + 1$ （1の原始6乗根）である。 $x^{2} + x + 1$ （原始3乗根）と取り違えない。

商は1次式。最高次の係数が $1$ なので $x + m$ とおける。

(2) $f (1)$ を $7$ で割ると $4$ 、 $f (- 1)$ を $11$ で割ると $2$ 余るとする。 $∣ c ∣ \leq 40$ のとき $f (x) = 0$ の解をすべて求める

答 $x = \frac{1 \pm 3 i}{2}, x = - 31$

(1) を使うと $f (1)$ も $f (- 1)$ も $c$ だけの式になる。2つの合同式を中国剰余定理でまとめれば、 $c$ は法 $77$ で1つに決まる。

(1) より $a = c - 1$ 、 $b = 1 - c$ なので

f (1) f (- 1) = 1 + a + b + c = 1 + (c - 1) + (1 - c) + c = c + 1 = - 1 + a - b + c = - 1 + (c - 1) - (1 - c) + c = 3 c - 3

である。

条件を書く。

c + 1 \equiv 4 (mod 7), 3 c - 3 \equiv 2 (mod 11)

1本目から $c \equiv 3 (mod 7)$ 。2本目は $3 c \equiv 5 (mod 11)$ で、 $3 \cdot 4 = 12 \equiv 1$ より両辺を $4$ 倍して $c \equiv 20 \equiv 9 (mod 11)$ 。

$c = 3 + 7 k$ とおくと $3 + 7 k \equiv 9 (mod 11)$ 、 $7 k \equiv 6$ 。 $7 \cdot 8 = 56 \equiv 1 (mod 11)$ より $k \equiv 48 \equiv 4 (mod 11)$ 。 $k = 4$ で $c = 31$ だから