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九州大学　2020年度　前期日程　文科系

第2問空間図形の解答・解説

正四面体・距離の条件・対辺に平行な断面・長方形の面積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $p, q, r, s$ の値を求める

答 $p = 1$ 、 $q = 0$ 、 $r = 1$ 、 $s = 1$

$OA = 2$ なので全部の辺が $2$ である。 $∣ OB ∣$ から $p$ が、 $∣ OC ∣, ∣ AC ∣, ∣ BC ∣$ から $q, r, s$ が決まる。

$OA = ∣ (1, 1, 0) ∣ = 2$ なので、正四面体の1辺は $2$ である。

$p$ 。 $OB^{2} = 1 + 0 + p^{2} = 2$ より $p^{2} = 1$ 、 $p > 0$ だから

p = 1, B (1, 0, 1)

である（ $AB = ∣ (0, - 1, 1) ∣ = 2$ も確かに成り立つ）。

$q, r, s$ 。 $C (q, r, s)$ について3本の式を立てる。

OC^{2} AC^{2} BC^{2} = q^{2} + r^{2} + s^{2} = 2 = (q - 1)^{2} + (r - 1)^{2} + s^{2} = 2 = (q - 1)^{2} + r^{2} + (s - 1)^{2} = 2 \dots ① \dots ② \dots ③

① $-$ ② を計算すると、 $q^{2} - (q - 1)^{2} = 2 q - 1$ 、 $r^{2} - (r - 1)^{2} = 2 r - 1$ より

2 q - 1 + 2 r - 1 = 0 ⟺ q + r = 1

である。① $-$ ③ も同様に

2 q - 1 + 2 s - 1 = 0 ⟺ q + s = 1

となる。よって $r = s = 1 - q$ で、① に入れると

q^{2} + 2 (1 - q)^{2} = 2 ⟺ 3 q^{2} - 4 q = 0 ⟺ q (3 q - 4) = 0

である。 $q = \frac{4}{3}$ だと $s = 1 - \frac{4}{3} = - \frac{1}{3} < 0$ となり $s > 0$ に反する。よって $q = 0$ 、 $r = s = 1$ で

p = 1, q = 0, r = 1, s = 1

である。

$O (0, 0, 0)$ 、 $A (1, 1, 0)$ 、 $B (1, 0, 1)$ 、 $C (0, 1, 1)$ は、1辺 $1$ の立方体の8頂点から1つおきに選んだ4点である。正四面体がこう書けるのは有名な事実で、辺は立方体の面の対角線 $2$ になる。

この4点の6辺をすべて計算すると、どれも $1.414213562 = 2$ だった。

$OA$ の長さから1辺が決まる。残りの辺も全部これに等しいとおく。

① $-$ ②、① $-$ ③ をとると2乗が消えて1次式になる。3本をまともに連立しない。

$s > 0$ の条件で $q = \frac{4}{3}$ を切る。 $p > 0$ も同じ役目である。

(2) $z$ 軸に垂直な平面で正四面体 $OABC$ を切ったときの断面積の最大値を求める

答 $\frac{1}{2}$

$O, A$ は $z = 0$ 、 $B, C$ は $z = 1$ にある。つまり辺 $OA$ と辺 $BC$ （向かい合う2辺）がそれぞれ $z = 0, 1$ の平面に乗っている。この2辺に平行な平面で切るので、断面は長方形になる。

$O (0, 0, 0)$ 、 $A (1, 1, 0)$ は $z = 0$ に、 $B (1, 0, 1)$ 、 $C (0, 1, 1)$ は $z = 1$ にある。つまり向かい合う2辺 $OA$ 、 $BC$ がそれぞれ底と天井にある。

OA = (1, 1, 0), BC = (- 1, 1, 0)

で、内積は $- 1 + 1 + 0 = 0$ だから $OA ⊥ BC$ である。

断面の形。 $z = t$ （ $0 < t < 1$ ）で切ると、断面の4頂点は辺 $OB, OC, AC, AB$ 上の点で、たとえば $OB$ 上の点は $t OB$ である。

$OB$ 上と $AB$ 上を結ぶ辺は $OA$ に平行で、長さは $(1 - t) OA = (1 - t) 2$
$OB$ 上と $OC$ 上を結ぶ辺は $BC$ に平行で、長さは $t BC = t 2$

隣り合う2辺が $OA$ と $BC$ に平行で、この2つは垂直だから、断面は長方形である。面積は

S (t) = (1 - t) 2 \cdot t 2 = 2 t (1 - t)

である。

最大。 $2 t (1 - t) = - 2 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}$ なので、 $t = \frac{1}{2}$ で最大値

S (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

をとる。このとき断面は1辺 $\frac{2}{2}$ の正方形である。

高さ

t

での断面積

S (t) = 2 t (1 - t)

。

t = \frac{1}{2}

（2本の対辺のちょうど中間）で最大

\frac{1}{2}

をとり、そこでは断面が1辺

\frac{2}{2}

の正方形になる。

1辺 $a$ の正四面体では、向かい合う2辺に平行な断面の最大は1辺 $\frac{a}{2}$ の正方形で、面積 $\frac{a ^{2}}{4}$ である。ここでは $a = 2$ なので $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ になる。

$t = 0.25, 0.5, 0.75$ で断面の4頂点を線形補間して求めると、隣り合う辺の内積はいずれも $0$ （長方形）で、面積は $0.375, 0.5, 0.375$ と $2 t (1 - t)$ に一致した。

$OA$ と $BC$ が向かい合う辺で、しかも $z$ 軸に垂直な平面に乗っていることに気づく。これで断面が長方形だと分かる。

断面の辺の長さは $t$ と $1 - t$ の両方が出る。片方だけにしない。

$OA \cdot BC = 0$ を確かめる。垂直でなければ平行四辺形で、面積に $sin$ が入る。

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(1)p,q,r,s の値を求める

(2)z 軸に垂直な平面で正四面体 OABC を切ったときの断面積の最大値を求める

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