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九州大学　2020年度　前期日程　文科系

第1問積分法の解答・解説

2曲線の交点・判別式・1/6 公式・3次関数の最大当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求める

答 $0 \leq a < 4$

連立して2次方程式にし、判別式が正になる条件を書く。 $a$ の3次不等式になるが、 $a = 4$ が根なので因数分解できる。

$x^{2} = 3 (x - a)^{2} + a^{3} - 40$ を整理すると

2 x^{2} - 6 a x + (3 a^{2} + a^{3} - 40) = 0

である。異なる2点で交わる条件は判別式が正で

\frac{D}{4} = 9 a^{2} - 2 (3 a^{2} + a^{3} - 40) = - 2 a^{3} + 3 a^{2} + 80 > 0

すなわち

2 a^{3} - 3 a^{2} - 80 < 0

である。 $a = 4$ を代入すると $128 - 48 - 80 = 0$ なので $a - 4$ でくくれて

2 a^{3} - 3 a^{2} - 80 = (a - 4) (2 a^{2} + 5 a + 20)

となる。 $2 a^{2} + 5 a + 20$ の判別式は $25 - 160 = - 135 < 0$ で、 $a^{2}$ の係数が正だから、この2次式はつねに正である。よって

2 a^{3} - 3 a^{2} - 80 < 0 ⟺ a - 4 < 0 ⟺ a < 4

である。 $a \geq 0$ と合わせて

0 \leq a < 4

である。

$a$ を $0$ から $4$ まで $0.001$ 刻みで動かすと $\frac{D}{4} > 0$ がすべて成り立ち、 $a = 4$ でちょうど $0$ になった。

$\frac{D}{4}$ を使うなら、 $x$ の係数 $- 6 a$ の半分 $- 3 a$ を2乗する。 $2 x^{2}$ の係数 $2$ を掛け忘れない（ $\frac{D}{4} = (3 a)^{2} - 2 \cdot (\dots)$ ）。

3次不等式は因数分解してから符号を見る。 $2 a^{2} + 5 a + 20 > 0$ がつねに成り立つことを判別式で確かめる。

$a \geq 0$ という前提を最後に合わせる。

(2) $a$ が (1) の範囲を動くとき、 $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた図形の面積 $S$ の最大値を求める

答 $243$ （ $a = 1$ のとき）

2次の係数が $2$ の差の積分なので、 $\frac{1}{6}$ 公式より $S = \frac{2 ( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( β - α ) ^{3}}{3}$ である。 $(β - α)^{2} = \frac{D}{4}$ なので、 $\frac{D}{4}$ を最大にすればよい。

交点の $x$ 座標を $α < β$ とすると

3 (x - a)^{2} + a^{3} - 40 - x^{2} = 2 (x - α) (x - β)

である。 $α \leq x \leq β$ では $C_{1}$ が上なので

S = \int_{α}^{β} 2 (x - α) (β - x) d x = 2 \cdot \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( β - α ) ^{3}}{3}

である（ $\frac{1}{6}$ 公式）。

$(β - α)^{2}$ 。 解と係数の関係より

(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = (3 a)^{2} - 4 \cdot \frac{3 a ^{2} + a ^{3} - 40}{2} = - 2 a^{3} + 3 a^{2} + 80

である（(1) の $\frac{D}{4}$ と同じ）。これを $g (a)$ とおくと

S = \frac{g ( a ) ^{3/2}}{3}

なので、 $S$ が最大になるのは $g (a)$ が最大になるときである。

$g$ の最大。

g^{'} (a) = - 6 a^{2} + 6 a = 6 a (1 - a)

なので、 $0 < a < 1$ で増加、 $1 < a < 4$ で減少。 $a = 1$ で最大で

g (1) = - 2 + 3 + 80 = 81

である。したがって

S = \frac{8 1 ^{3/2}}{3} = \frac{729}{3} = 243

が最大値である。

a

に対する面積

S = \frac{( - 2 a ^{3} + 3 a ^{2} + 80 ) ^{3/2}}{3}

。

a = 1

で最大

243

をとり、

a \to 4

で

0

に近づく（そこで2曲線が接する）。

a = 0

でも

S = \frac{8 0 ^{3/2}}{3} = 238.4

とすでに大きい。

a = 1

のときの

C_{1} : y = x^{2}

と

C_{2} : y = 3 (x - 1)^{2} - 39

。交点は

x = - 3

と

x = 6

で、囲まれる部分（塗った部分）の面積が

243

。

$a$ を $40$ 万点に刻んで $S$ を計算すると、最大は $a = 1$ での $243.0$ だった。 $a = 1$ のとき交点は $x = - 3, 6$ で、面積を数値積分しても $243.0$ になった。

$\frac{1}{6}$ 公式は「 $x^{2}$ の係数 $\times \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ 」である。ここでは係数が $2$ なので $\frac{( β - α ) ^{3}}{3}$ になる。

$S$ を $a$ で直接微分すると根号が残って面倒である。 $g (a) = (β - α)^{2}$ を最大にすればよい、と言い換える。

$a = 1$ は (1) の範囲 $0 \leq a < 4$ の内部にある。端ではないので、増減表で最大と言い切れる。

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問題文について

(1)C1​ と C2​ が異なる2点で交わるような定数 a の値の範囲を求める

(2)a が (1) の範囲を動くとき、C1​ と C2​ で囲まれた図形の面積 S の最大値を求める

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