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九州大学　2020年度　前期日程　文科系

九大文系 2020年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

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第1問　積分法

2曲線の交点・判別式・1/6 公式・3次関数の最大当サイトの体感難易度：やや難

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ が異なる2点で交わるような定数 $a$ の値の範囲を求める

答 $0 \leq a < 4$

連立して2次方程式にし、判別式が正になる条件を書く。 $a$ の3次不等式になるが、 $a = 4$ が根なので因数分解できる。

$x^{2} = 3 (x - a)^{2} + a^{3} - 40$ を整理すると

2 x^{2} - 6 a x + (3 a^{2} + a^{3} - 40) = 0

である。異なる2点で交わる条件は判別式が正で

\frac{D}{4} = 9 a^{2} - 2 (3 a^{2} + a^{3} - 40) = - 2 a^{3} + 3 a^{2} + 80 > 0

すなわち

2 a^{3} - 3 a^{2} - 80 < 0

である。 $a = 4$ を代入すると $128 - 48 - 80 = 0$ なので $a - 4$ でくくれて

2 a^{3} - 3 a^{2} - 80 = (a - 4) (2 a^{2} + 5 a + 20)

となる。 $2 a^{2} + 5 a + 20$ の判別式は $25 - 160 = - 135 < 0$ で、 $a^{2}$ の係数が正だから、この2次式はつねに正である。よって

2 a^{3} - 3 a^{2} - 80 < 0 ⟺ a - 4 < 0 ⟺ a < 4

である。 $a \geq 0$ と合わせて

0 \leq a < 4

である。

$a$ を $0$ から $4$ まで $0.001$ 刻みで動かすと $\frac{D}{4} > 0$ がすべて成り立ち、 $a = 4$ でちょうど $0$ になった。

$\frac{D}{4}$ を使うなら、 $x$ の係数 $- 6 a$ の半分 $- 3 a$ を2乗する。 $2 x^{2}$ の係数 $2$ を掛け忘れない（ $\frac{D}{4} = (3 a)^{2} - 2 \cdot (\dots)$ ）。

3次不等式は因数分解してから符号を見る。 $2 a^{2} + 5 a + 20 > 0$ がつねに成り立つことを判別式で確かめる。

$a \geq 0$ という前提を最後に合わせる。

(2) $a$ が (1) の範囲を動くとき、 $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた図形の面積 $S$ の最大値を求める

答 $243$ （ $a = 1$ のとき）

2次の係数が $2$ の差の積分なので、 $\frac{1}{6}$ 公式より $S = \frac{2 ( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( β - α ) ^{3}}{3}$ である。 $(β - α)^{2} = \frac{D}{4}$ なので、 $\frac{D}{4}$ を最大にすればよい。

交点の $x$ 座標を $α < β$ とすると

3 (x - a)^{2} + a^{3} - 40 - x^{2} = 2 (x - α) (x - β)

である。 $α \leq x \leq β$ では $C_{1}$ が上なので

S = \int_{α}^{β} 2 (x - α) (β - x) d x = 2 \cdot \frac{( β - α ) ^{3}}{6} = \frac{( β - α ) ^{3}}{3}

である（ $\frac{1}{6}$ 公式）。

$(β - α)^{2}$ 。 解と係数の関係より

(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = (3 a)^{2} - 4 \cdot \frac{3 a ^{2} + a ^{3} - 40}{2} = - 2 a^{3} + 3 a^{2} + 80

である（(1) の $\frac{D}{4}$ と同じ）。これを $g (a)$ とおくと

S = \frac{g ( a ) ^{3/2}}{3}

なので、 $S$ が最大になるのは $g (a)$ が最大になるときである。

$g$ の最大。

g^{'} (a) = - 6 a^{2} + 6 a = 6 a (1 - a)

なので、 $0 < a < 1$ で増加、 $1 < a < 4$ で減少。 $a = 1$ で最大で

g (1) = - 2 + 3 + 80 = 81

である。したがって

S = \frac{8 1 ^{3/2}}{3} = \frac{729}{3} = 243

が最大値である。

a

に対する面積

S = \frac{( - 2 a ^{3} + 3 a ^{2} + 80 ) ^{3/2}}{3}

。

a = 1

で最大

243

をとり、

a \to 4

で

0

に近づく（そこで2曲線が接する）。

a = 0

でも

S = \frac{8 0 ^{3/2}}{3} = 238.4

とすでに大きい。

a = 1

のときの

C_{1} : y = x^{2}

と

C_{2} : y = 3 (x - 1)^{2} - 39

。交点は

x = - 3

と

x = 6

で、囲まれる部分（塗った部分）の面積が

243

。

$a$ を $40$ 万点に刻んで $S$ を計算すると、最大は $a = 1$ での $243.0$ だった。 $a = 1$ のとき交点は $x = - 3, 6$ で、面積を数値積分しても $243.0$ になった。

$\frac{1}{6}$ 公式は「 $x^{2}$ の係数 $\times \frac{( β - α ) ^{3}}{6}$ 」である。ここでは係数が $2$ なので $\frac{( β - α ) ^{3}}{3}$ になる。

$S$ を $a$ で直接微分すると根号が残って面倒である。 $g (a) = (β - α)^{2}$ を最大にすればよい、と言い換える。

$a = 1$ は (1) の範囲 $0 \leq a < 4$ の内部にある。端ではないので、増減表で最大と言い切れる。

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第2問　空間図形

正四面体・距離の条件・対辺に平行な断面・長方形の面積当サイトの体感難易度：やや難

(1) $p, q, r, s$ の値を求める

答 $p = 1$ 、 $q = 0$ 、 $r = 1$ 、 $s = 1$

$OA = 2$ なので全部の辺が $2$ である。 $∣ OB ∣$ から $p$ が、 $∣ OC ∣, ∣ AC ∣, ∣ BC ∣$ から $q, r, s$ が決まる。

$OA = ∣ (1, 1, 0) ∣ = 2$ なので、正四面体の1辺は $2$ である。

$p$ 。 $OB^{2} = 1 + 0 + p^{2} = 2$ より $p^{2} = 1$ 、 $p > 0$ だから

p = 1, B (1, 0, 1)

である（ $AB = ∣ (0, - 1, 1) ∣ = 2$ も確かに成り立つ）。

$q, r, s$ 。 $C (q, r, s)$ について3本の式を立てる。

OC^{2} AC^{2} BC^{2} = q^{2} + r^{2} + s^{2} = 2 = (q - 1)^{2} + (r - 1)^{2} + s^{2} = 2 = (q - 1)^{2} + r^{2} + (s - 1)^{2} = 2 \dots ① \dots ② \dots ③

① $-$ ② を計算すると、 $q^{2} - (q - 1)^{2} = 2 q - 1$ 、 $r^{2} - (r - 1)^{2} = 2 r - 1$ より

2 q - 1 + 2 r - 1 = 0 ⟺ q + r = 1

である。① $-$ ③ も同様に

2 q - 1 + 2 s - 1 = 0 ⟺ q + s = 1

となる。よって $r = s = 1 - q$ で、① に入れると

q^{2} + 2 (1 - q)^{2} = 2 ⟺ 3 q^{2} - 4 q = 0 ⟺ q (3 q - 4) = 0

である。 $q = \frac{4}{3}$ だと $s = 1 - \frac{4}{3} = - \frac{1}{3} < 0$ となり $s > 0$ に反する。よって $q = 0$ 、 $r = s = 1$ で

p = 1, q = 0, r = 1, s = 1

である。

$O (0, 0, 0)$ 、 $A (1, 1, 0)$ 、 $B (1, 0, 1)$ 、 $C (0, 1, 1)$ は、1辺 $1$ の立方体の8頂点から1つおきに選んだ4点である。正四面体がこう書けるのは有名な事実で、辺は立方体の面の対角線 $2$ になる。

この4点の6辺をすべて計算すると、どれも $1.414213562 = 2$ だった。

$OA$ の長さから1辺が決まる。残りの辺も全部これに等しいとおく。

① $-$ ②、① $-$ ③ をとると2乗が消えて1次式になる。3本をまともに連立しない。

$s > 0$ の条件で $q = \frac{4}{3}$ を切る。 $p > 0$ も同じ役目である。

(2) $z$ 軸に垂直な平面で正四面体 $OABC$ を切ったときの断面積の最大値を求める

答 $\frac{1}{2}$

$O, A$ は $z = 0$ 、 $B, C$ は $z = 1$ にある。つまり辺 $OA$ と辺 $BC$ （向かい合う2辺）がそれぞれ $z = 0, 1$ の平面に乗っている。この2辺に平行な平面で切るので、断面は長方形になる。

$O (0, 0, 0)$ 、 $A (1, 1, 0)$ は $z = 0$ に、 $B (1, 0, 1)$ 、 $C (0, 1, 1)$ は $z = 1$ にある。つまり向かい合う2辺 $OA$ 、 $BC$ がそれぞれ底と天井にある。

OA = (1, 1, 0), BC = (- 1, 1, 0)

で、内積は $- 1 + 1 + 0 = 0$ だから $OA ⊥ BC$ である。

断面の形。 $z = t$ （ $0 < t < 1$ ）で切ると、断面の4頂点は辺 $OB, OC, AC, AB$ 上の点で、たとえば $OB$ 上の点は $t OB$ である。

$OB$ 上と $AB$ 上を結ぶ辺は $OA$ に平行で、長さは $(1 - t) OA = (1 - t) 2$
$OB$ 上と $OC$ 上を結ぶ辺は $BC$ に平行で、長さは $t BC = t 2$

隣り合う2辺が $OA$ と $BC$ に平行で、この2つは垂直だから、断面は長方形である。面積は

S (t) = (1 - t) 2 \cdot t 2 = 2 t (1 - t)

である。

最大。 $2 t (1 - t) = - 2 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2}$ なので、 $t = \frac{1}{2}$ で最大値

S (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}

をとる。このとき断面は1辺 $\frac{2}{2}$ の正方形である。

高さ

t

での断面積

S (t) = 2 t (1 - t)

。

t = \frac{1}{2}

（2本の対辺のちょうど中間）で最大

\frac{1}{2}

をとり、そこでは断面が1辺

\frac{2}{2}

の正方形になる。

1辺 $a$ の正四面体では、向かい合う2辺に平行な断面の最大は1辺 $\frac{a}{2}$ の正方形で、面積 $\frac{a ^{2}}{4}$ である。ここでは $a = 2$ なので $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ になる。

$t = 0.25, 0.5, 0.75$ で断面の4頂点を線形補間して求めると、隣り合う辺の内積はいずれも $0$ （長方形）で、面積は $0.375, 0.5, 0.375$ と $2 t (1 - t)$ に一致した。

$OA$ と $BC$ が向かい合う辺で、しかも $z$ 軸に垂直な平面に乗っていることに気づく。これで断面が長方形だと分かる。

断面の辺の長さは $t$ と $1 - t$ の両方が出る。片方だけにしない。

$OA \cdot BC = 0$ を確かめる。垂直でなければ平行四辺形で、面積に $sin$ が入る。

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第3問　整式

1 の原始6乗根・因数分解・合同式・中国剰余定理当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a, b$ を $c$ を用いて表す

答 $a = c - 1$ 、 $b = 1 - c$

$\frac{1 + 3 i}{2}$ は $x^{2} - x + 1 = 0$ の解である。係数が実数なので $f (x)$ は $x^{2} - x + 1$ で割り切れ、商は1次式 $x + m$ になる。

$ω = \frac{1 + 3 i}{2}$ は $x^{2} - x + 1 = 0$ の解である（和 $1$ 、積 $1$ の2解の一方）。 $f$ の係数は実数なので共役 $\overset{ω}{ˉ}$ も解であり、 $f (x)$ は $x^{2} - x + 1$ で割り切れる。 $f$ は3次だから商は1次で

f (x) = (x^{2} - x + 1) (x + m)

と書ける。展開すると

x^{3} + (m - 1) x^{2} + (1 - m) x + m

なので、係数を比べて

a = m - 1, b = 1 - m, c = m

である。 $m = c$ を入れて

a = c - 1, b = 1 - c

である。

$a + b = 0$ になっている。 $f (x) = (x^{2} - x + 1) (x + c)$ という形からすぐ読み取れる。

$a = c - 1$ 、 $b = 1 - c$ とすると、 $c$ を何にとっても $f (ω) = 0$ になることを数値で確かめた。

$ω$ の最小多項式は $x^{2} - x + 1$ （1の原始6乗根）である。 $x^{2} + x + 1$ （原始3乗根）と取り違えない。

商は1次式。最高次の係数が $1$ なので $x + m$ とおける。

(2) $f (1)$ を $7$ で割ると $4$ 、 $f (- 1)$ を $11$ で割ると $2$ 余るとする。 $∣ c ∣ \leq 40$ のとき $f (x) = 0$ の解をすべて求める

答 $x = \frac{1 \pm 3 i}{2}, x = - 31$

(1) を使うと $f (1)$ も $f (- 1)$ も $c$ だけの式になる。2つの合同式を中国剰余定理でまとめれば、 $c$ は法 $77$ で1つに決まる。

(1) より $a = c - 1$ 、 $b = 1 - c$ なので

f (1) f (- 1) = 1 + a + b + c = 1 + (c - 1) + (1 - c) + c = c + 1 = - 1 + a - b + c = - 1 + (c - 1) - (1 - c) + c = 3 c - 3

である。

条件を書く。

c + 1 \equiv 4 (mod 7), 3 c - 3 \equiv 2 (mod 11)

1本目から $c \equiv 3 (mod 7)$ 。2本目は $3 c \equiv 5 (mod 11)$ で、 $3 \cdot 4 = 12 \equiv 1$ より両辺を $4$ 倍して $c \equiv 20 \equiv 9 (mod 11)$ 。

$c = 3 + 7 k$ とおくと $3 + 7 k \equiv 9 (mod 11)$ 、 $7 k \equiv 6$ 。 $7 \cdot 8 = 56 \equiv 1 (mod 11)$ より $k \equiv 48 \equiv 4 (mod 11)$ 。 $k = 4$ で $c = 31$ だから

c \equiv 31 (mod 77)

である。 $∣ c ∣ \leq 40$ をみたすのは $c = 31$ だけ（次は $31 - 77 = - 46$ で範囲外）。

解を求める。 $c = 31$ なら

f (x) = (x^{2} - x + 1) (x + 31)

なので

x = \frac{1 \pm 3 i}{2}, x = - 31

の3つが解である（ $a = 30$ 、 $b = - 30$ ）。

$∣ c ∣ \leq 40$ を全探索すると条件をみたすのは $c = 31$ だけで、 $f (1) = 32 = 7 \cdot 4 + 4$ 、 $f (- 1) = 90 = 11 \cdot 8 + 2$ 、 $f (- 31) = 0$ と条件どおりだった。

$f (1)$ は法 $7$ 、 $f (- 1)$ は法 $11$ と、法が違う。片方ずつ解いてから中国剰余定理でまとめる。

$3 c \equiv 5 (mod 11)$ は「 $3$ で割る」のではなく「逆元 $4$ を掛ける」。

実数解 $x = - 31$ も忘れずに書く。虚数解だけでは答えにならない。

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第4問　確率

素因数の個数・余事象・サイコロ・場合分け当サイトの体感難易度：標準

(1) $X$ が $25$ の倍数になる確率を求める

答 $\frac{19}{144}$

$25 = 5^{2}$ で、 $1$ から $6$ のうち $5$ を因数にもつのは $5$ だけである。よって「 $5$ が2個以上出る」確率を、余事象で求める。

$1, \dots, 6$ のうち $5$ で割り切れるのは $5$ だけなので、 $X$ が $5^{2}$ で割り切れるのは「出た目に $5$ が2個以上ある」ときである。余事象を数える。

$5$ が0個： $5^{4} = 625$ 通り
$5$ が1個： $_{4} C_{1} \cdot 1 \cdot 5^{3} = 4 \cdot 125 = 500$ 通り

合わせて $625 + 500 = 1125$ 通りだから

P = 1 - \frac{1125}{6 ^{4}} = 1 - \frac{1125}{1296} = \frac{171}{1296} = \frac{19}{144}

である（ $0.132$ ほど）。

$1296$ 通りを全列挙すると $25$ の倍数は $171$ 通りで、 $\frac{171}{1296} = \frac{19}{144}$ だった。

$25$ の倍数には $5$ が2個必要である。 $5$ が1個では足りない。

$\frac{171}{1296}$ は $9$ で約分して $\frac{19}{144}$ になる。

(2) $X$ が $4$ の倍数になる確率を求める

答 $\frac{37}{48}$

各目がもつ $2$ の個数を数える。 $1, 3, 5$ は $0$ 個、 $2, 6$ は $1$ 個、 $4$ は $2$ 個である。合計が $2$ 以上になる確率を、余事象（合計 $0$ または $1$ ）で求める。

各目を素因数 $2$ の個数で分類する。

$2$ の個数が $0$ ： $1, 3, 5$ の3通り
$2$ の個数が $1$ ： $2, 6$ の2通り
$2$ の個数が $2$ ： $4$ の1通り

$X$ が $4 = 2^{2}$ の倍数になるのは、4個ぶんの合計が $2$ 以上のときである。余事象を数える。

合計 $0$ ：4個とも ${1, 3, 5}$ 。 $3^{4} = 81$ 通り
合計 $1$ ：1個が ${2, 6}$ 、残り3個が ${1, 3, 5}$ 。 $_{4} C_{1} \cdot 2 \cdot 3^{3} = 4 \cdot 2 \cdot 27 = 216$ 通り

合わせて $81 + 216 = 297$ 通りだから

P = 1 - \frac{297}{1296} = 1 - \frac{11}{48} = \frac{37}{48}

である（ $0.771$ ほど）。

全列挙すると $4$ の倍数は $999$ 通りで、 $\frac{999}{1296} = \frac{37}{48}$ だった。

$4$ は $2$ を2個もつ。 $4$ が1個出ればそれだけで条件をみたす。目を「偶数・奇数」で分けるだけでは足りない。

$\frac{297}{1296}$ は $27$ で約分して $\frac{11}{48}$ になる。

(3) $X$ が $100$ の倍数になる確率を求める

答 $\frac{41}{648}$

$100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$ なので、(1) と (2) の両方が同時に成り立つ場合を数える。 $5$ の個数で場合分けし、残りの目で $2$ を2個そろえられるかを見る。

$100 = 2^{2} \cdot 5^{2}$ だから、「 $5$ が2個以上」かつ「 $2$ の個数の合計が2以上」である。 $5$ の個数 $k$ で分ける。 $5$ 以外の目は ${1, 2, 3, 4, 6}$ の5通りで、 $5$ 自身は $2$ を1個ももたない。

$k = 4$ ：残り0個で $2$ が足りない。0 通り
$k = 3$ ：残り1個が $2$ を2個もつ必要があるので $4$ に限る。場所の選び方 $_{4} C_{3} = 4$ 通りで、4 通り
$k = 2$ ：場所の選び方 $_{4} C_{2} = 6$ 通り。残り2個は ${1, 2, 3, 4, 6}$ からで、 $2$ の個数の合計が2以上

$k = 2$ の「残り2個」を数える。 ${1, 3}$ が $2$ を0個（2通り）、 ${2, 6}$ が1個（2通り）、 ${4}$ が2個（1通り）なので、順序つき $5^{2} = 25$ 通りのうち

合計 $0$ ： $2 \times 2 = 4$ 通り
合計 $1$ ： $2 \cdot (2 \times 2) = 8$ 通り

で、合計 $2$ 以上は $25 - 12 = 13$ 通り。よって $k = 2$ は $6 \times 13 = 78$ 通りである。

合計して $4 + 78 = 82$ 通りだから

P = \frac{82}{1296} = \frac{41}{648}

である（ $0.063$ ほど）。

(1) と (2) の確率を掛けても答えにならない。 $5$ が多く出ると $2$ を作る余地が減るので、2つの事象は独立でない。実際 $\frac{19}{144} \cdot \frac{37}{48} = \frac{703}{6912} = 0.102$ で、正しい $0.063$ とは合わない。

全列挙すると $100$ の倍数は $82$ 通りで、 $\frac{82}{1296} = \frac{41}{648}$ だった。

$5$ を2個以上使うと、 $2$ を供給できる目が2個以下に減る。ここが (1)(2) の単純な組み合わせにならない理由である。

$k = 4$ （全部 $5$ ）は $X = 625$ で $4$ の倍数でない。忘れずに除く。

$k = 2$ の残り2個は順序つきで数える。場所の選び方 $_{4} C_{2}$ とは別勘定である。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

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問題文について

(1)C1​ と C2​ が異なる2点で交わるような定数 a の値の範囲を求める

(2)a が (1) の範囲を動くとき、C1​ と C2​ で囲まれた図形の面積 S の最大値を求める

(1)p,q,r,s の値を求める

(2)z 軸に垂直な平面で正四面体 OABC を切ったときの断面積の最大値を求める

(1)a,b を c を用いて表す

(2)f(1) を 7 で割ると 4、f(−1) を 11 で割ると 2 余るとする。∣c∣≤40 のとき f(x)=0 の解をすべて求める

(1)X が 25 の倍数になる確率を求める

(2)X が 4 の倍数になる確率を求める

(3)X が 100 の倍数になる確率を求める

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