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東北大学　2021年度　前期日程　文系

第4問微分法・積分法の解答・解説

共通接線・3次関数と2次関数・4次方程式の因数分解・放物線と接線で囲む面積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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(1)3次関数 $y = x^{3} + x^{2}$ のグラフと2次関数 $y = x^{2} + 4 x + 16$ のグラフの共通接線（どちらのグラフにも接する直線）は2本ある。それらの方程式を求める

答 $y = 16 x - 20$ と $y = 8 x + 12$

それぞれの曲線について接点をパラメータにして接線を書き、傾きと切片を比べる。片方を消去すると $t$ の4次方程式になるが、 $t = \pm 2$ が見つかれば $t^{2} - 4$ でくくれる。

3次曲線の接線。 $y = x^{3} + x^{2}$ の $x = t$ における接線は、 $y^{'} = 3 x^{2} + 2 x$ より

y = (3 t^{2} + 2 t) (x - t) + t^{3} + t^{2} = (3 t^{2} + 2 t) x - 2 t^{3} - t^{2}

である。

放物線の接線。 $y = x^{2} + 4 x + 16$ の $x = s$ における接線は、 $y^{'} = 2 x + 4$ より

y = (2 s + 4) (x - s) + s^{2} + 4 s + 16 = (2 s + 4) x - s^{2} + 16

である。

比べる。 傾きと $y$ 切片がそれぞれ等しいので

3 t^{2} + 2 t = 2 s + 4, - 2 t^{3} - t^{2} = - s^{2} + 16

である。1本目から $s = \frac{3 t ^{2} + 2 t - 4}{2}$ で、2本目は $s^{2} = 2 t^{3} + t^{2} + 16$ だから

(3 t^{2} + 2 t - 4)^{2} = 4 (2 t^{3} + t^{2} + 16)

である。左辺を展開すると

9 t^{4} + 12 t^{3} - 20 t^{2} - 16 t + 16 = 8 t^{3} + 4 t^{2} + 64

すなわち

9 t^{4} + 4 t^{3} - 24 t^{2} - 16 t - 48 = 0

である。 $t = 2$ を代入すると $144 + 32 - 96 - 32 - 48 = 0$ ✓、 $t = - 2$ でも $144 - 32 - 96 + 32 - 48 = 0$ ✓ なので $t^{2} - 4$ で割り切れる。実際

9 t^{4} + 4 t^{3} - 24 t^{2} - 16 t - 48 = (t^{2} - 4) (9 t^{2} + 4 t + 12)

である。 $9 t^{2} + 4 t + 12$ の判別式は $16 - 432 < 0$ なので実数解はない。よって $t = \pm 2$ だけである。

$t = 2$ ：傾き $3 \cdot 4 + 4 = 16$ 、切片 $- 16 - 4 = - 20$ で $y = 16 x - 20$ （放物線の接点は $s = 6$ ）
$t = - 2$ ：傾き $12 - 4 = 8$ 、切片 $16 - 4 = 12$ で $y = 8 x + 12$ （放物線の接点は $s = 2$ ）

である。よって共通接線は

y = 16 x - 20, y = 8 x + 12

の2本である。

$9 t^{4} + 4 t^{3} - 24 t^{2} - 16 t - 48$ を $1 0^{- 4}$ 刻みで走査すると、 $0$ になるのは $t = \pm 2$ だけだった。

「3次曲線の接線」と「放物線の接線」を別々にパラメータで書いてから、傾きと切片の2式を連立する。接点が一致するわけではないので、 $t$ と $s$ は別の文字にする。

4次方程式は $t = \pm 2$ を見つけて $t^{2} - 4$ でくくる。残りの2次式に実数解がないことも確かめる。

(2)(1) で求めた2本の共通接線と2次関数 $y = x^{2} + 4 x + 16$ のグラフで囲まれた部分の面積を求める

答 $\frac{16}{3}$

放物線と接線の差は $(x - 接点)^{2}$ になる。2本の接線の交点で分けて積分すれば、 $(x - s)^{2}$ の積分2つで済む。

2本の接線の交点は $16 x - 20 = 8 x + 12$ より $x = 4$ 、 $y = 44$ である。また接点は $x = 2$ と $x = 6$ だった。

放物線と接線の差をとると

(x^{2} + 4 x + 16) - (8 x + 12) = x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2}

(x^{2} + 4 x + 16) - (16 x - 20) = x^{2} - 12 x + 36 = (x - 6)^{2}

である（接しているので、差は接点での完全平方になる）。どちらも $0$ 以上なので、放物線は2本の接線の上側にある。したがって求める面積は

S = \int_{2}^{4} (x - 2)^{2} d x + \int_{4}^{6} (x - 6)^{2} d x

である。それぞれ計算すると

[\frac{( x - 2 ) ^{3}}{3}]_{2}^{4} = \frac{8}{3}, [\frac{( x - 6 ) ^{3}}{3}]_{4}^{6} = 0 - (- \frac{8}{3}) = \frac{8}{3}

なので

S = \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = \frac{16}{3}

である。

網かけが求める部分。放物線 y = x² + 4x + 16 に、2本の共通接線 y = 8x + 12（接点 x = 2）と y = 16x - 20（接点 x = 6）が接している。2直線は (4, 44) で交わり、そこで左右に分かれる。

交点 $x = 4$ は接点 $x = 2$ と $x = 6$ のちょうど真ん中にある。2本の接線が同じ放物線に接しているときはいつもそうなる。

数値積分すると $5.333333333$ で、 $\frac{16}{3} = 5.333333333$ と一致した。

接線と放物線の上下を取り違えない。差が完全平方なので、放物線が上である。

積分区間は「接点から交点まで」を2つ。接点から接点まで一気には積分できない（途中で下側の直線が切りかわる）。

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(1)3次関数 y=x3+x2 のグラフと2次関数 y=x2+4x+16 のグラフの共通接線（どちらのグラフにも接する直線）は2本ある。それらの方程式を求める

(2)(1) で求めた2本の共通接線と2次関数 y=x2+4x+16 のグラフで囲まれた部分の面積を求める

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