独自の解答・詳解
問題文は非掲載
小問3問・無料

東北大学　2021年度　前期日程　文系

第3問図形と計量の解答・解説

余弦定理・正弦定理・2円の共通部分・扇形と弓形当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/13時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

(1)平面において2点 $O, A$ の距離が $1$ であるとし、 $O$ と $A$ を中心とする2つの円をそれぞれ $C_{1}, C_{2}$ とする。 $C_{1}$ と $C_{2}$ は2点 $P, Q$ において交わり、 $∠ OPA = \frac{π}{3}$ 、 $C_{2}$ の半径 $r$ は $r < 1$ を満たすとするとき、 $C_{1}$ の半径を求める

答 $\frac{r + 4 - 3 r ^{2}}{2}$

$P$ は両方の円の上にあるので $OP$ が $C_{1}$ の半径、 $AP$ が $C_{2}$ の半径。三角形 $OPA$ で余弦定理を使うと $R$ の2次方程式になる。

$C_{1}$ の半径を $R$ とおく。 $P$ は $C_{1}$ 上にあるので $OP = R$ 、 $C_{2}$ 上にもあるので $AP = r$ である。三角形 $OPA$ で $∠ OPA = \frac{π}{3}$ 、 $OA = 1$ だから、余弦定理より

1^{2} = R^{2} + r^{2} - 2 R r cos \frac{π}{3} = R^{2} + r^{2} - R r

である。 $R$ についての2次方程式

R^{2} - r R + (r^{2} - 1) = 0

を解くと

R = \frac{r \pm r ^{2} - 4 ( r ^{2} - 1 )}{2} = \frac{r \pm 4 - 3 r ^{2}}{2}

である。 $r < 1$ より $4 - 3 r^{2} > r^{2}$ 、すなわち $4 - 3 r^{2} > r$ なので、 $-$ のほうは負になってしまう。 $R > 0$ だから

R = \frac{r + 4 - 3 r ^{2}}{2}

である。

$r$ を5通りとって $R^{2} + r^{2} - R r$ を計算すると、すべて $1.000000000$ になった。

$\pm$ のうち負になるほうを捨てる理由を書く。 $r < 1$ がここで効く。

(2) $r = \frac{3}{3}$ のとき、 $∠ PAO$ の大きさを求める

答 $∠ PAO = \frac{π}{2}$

(1) に代入して $R$ を出し、三平方の定理（または正弦定理）で角を決める。

$r = \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$ のとき $r^{2} = \frac{1}{3}$ なので、(1) より

R = \frac{\frac{1}{3} + 4 - 1}{2} = \frac{\frac{1}{3} + 3}{2} = \frac{\frac{1 + 3}{3}}{2} = \frac{2}{3} = \frac{2 3}{3}

である。このとき

OA^{2} + AP^{2} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} = OP^{2}

なので、三平方の定理の逆より三角形 $OAP$ は $A$ が直角である。よって

∠ PAO = \frac{π}{2}

である。

正弦定理でもよい。 $\frac{OA}{sin ∠ OPA} = \frac{OP}{sin ∠ PAO}$ より $sin ∠ PAO = \frac{OP sin \frac{π}{3}}{OA} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = 1$ となる。

残りの角は $∠ POA = π - \frac{π}{3} - \frac{π}{2} = \frac{π}{6}$ である。

座標で計算すると $∠ PAO = 90.00000000 0^{\circ}$ 、 $∠ POA = 30.00000000 0^{\circ}$ だった。

(3) $r = \frac{3}{3}$ のとき、円 $C_{1}$ の内部と円 $C_{2}$ の内部との共通部分の面積を求める

答 $\frac{7 π}{18} - \frac{3}{3}$

$∠ PAO = \frac{π}{2}$ ということは、 $PQ$ が $C_{2}$ の直径で、かつ $OA$ に垂直だということ。共通部分を直線 $PQ$ で2つに切ると、片方は半円、もう片方は $C_{1}$ の弓形になる。

$Q$ は $P$ を直線 $OA$ について折り返した点である。(2) より $∠ PAO = \frac{π}{2}$ なので $∠ PAQ = π$ 、つまり $P, A, Q$ は一直線上にあり、 $PQ$ は $C_{2}$ の直径である。また $PQ ⊥ OA$ である。

共通部分を直線 $PQ$ で2つに分ける。

$O$ 側。 $C_{2}$ の半円（直径 $PQ$ で切った $O$ 側）である。この半円が $C_{1}$ の内部に入っていることは、 $PQ$ から $O$ 側にある $C_{2}$ 上の点の $O$ からの距離が最大でも $OP = R$ であることから分かる。面積は

\frac{1}{2} π r^{2} = \frac{1}{2} π \cdot \frac{1}{3} = \frac{π}{6}

である。

反対側。 $C_{1}$ を弦 $PQ$ で切った、 $O$ と反対側の弓形である。中心角は (2) より

∠ POQ = 2∠ POA = 2 \cdot \frac{π}{6} = \frac{π}{3}

である。弓形の面積は「扇形 $-$ 三角形」で

\frac{1}{2} R^{2} (θ - sin θ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} (\frac{π}{3} - \frac{3}{2}) = \frac{2}{3} \cdot \frac{π}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{2 π}{9} - \frac{3}{3}

である。合わせて

\frac{π}{6} + \frac{2 π}{9} - \frac{3}{3} = \frac{3 π + 4 π}{18} - \frac{3}{3} = \frac{7 π}{18} - \frac{3}{3}

である。

網かけが共通部分。大きい円が C₁（中心 O、半径 2√3/3）、小さい円が C₂（中心 A、半径 √3/3）。∠PAO = 90° なので PQ は C₂ の直径で OA に垂直。PQ で切ると、左は C₂ の半円、右は C₁ の弓形（中心角 60°）になる。

モンテカルロ法で $0.642599$ 、式の値は $\frac{7 π}{18} - \frac{3}{3} = 0.644380207$ だった。

共通部分を「2つの弓形の和」と見ると計算が重くなる。 $PQ$ が $C_{2}$ の直径になることに気づけば、片方は半円でそのまま面積が出る。

弓形の面積は扇形から三角形を引く。三角形の面積は $\frac{1}{2} R^{2} sin θ$ である。

2021年度の全4問をまとめて読む

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる東北大文系数学 2027

東北大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・100ページ・2026年8月16日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

(1)平面において2点 O,A の距離が 1 であるとし、O と A を中心とする2つの円をそれぞれ C1​,C2​ とする。C1​ と C2​ は2点 P,Q において交わり、∠OPA=3π​、C2​ の半径 r は r<1 を満たすとするとき、C1​ の半径を求める

(2)r=33​​ のとき、∠PAO の大きさを求める

(3)r=33​​ のとき、円 C1​ の内部と円 C2​ の内部との共通部分の面積を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

(2) $r = \frac{3}{3}$ のとき、 $∠ PAO$ の大きさを求める

(3) $r = \frac{3}{3}$ のとき、円 $C_{1}$ の内部と円 $C_{2}$ の内部との共通部分の面積を求める