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東北大学　2021年度　前期日程　文系

第1問 2次関数の解答・解説

解の配置・判別式・領域の図示・場合分け当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

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$a, b$ を実数とするとき、曲線 $y = a x^{2} + b x + 1$ が $x$ 軸の正の部分と共有点をもたないような点 $(a, b)$ の領域を図示する

答 $a ≧ 0$ かつ $b ≧ 0$ 、または $b < 0$ かつ $a > \frac{b ^{2}}{4}$

$f (x) = a x^{2} + b x + 1$ とおくと $f (0) = 1 > 0$ が効く。 $a$ の符号で場合分けし、 $a > 0$ のときは「判別式」と「軸の位置」で正の解の有無を判定する。

$f (x) = a x^{2} + b x + 1$ とおく。 $f (0) = 1 > 0$ である。求めるのは「 $f (x) = 0$ が正の解をもたない」条件である。

$a < 0$ のとき。 $x \to + \infty$ で $f (x) \to - \infty$ であり $f (0) = 1 > 0$ だから、中間値の定理より正の解が必ずある。よって不適。

$a = 0$ のとき。 $f (x) = b x + 1$ である。 $b = 0$ なら $f \equiv 1$ で解なし。 $b \neq = 0$ なら解は $x = - \frac{1}{b}$ で、これが正になるのは $b < 0$ のときである。よって正の解をもたないのは $b ≧ 0$ のときである。

$a > 0$ のとき。 下に凸の放物線で $f (0) = 1 > 0$ だから、正の解をもつのは「実数解をもち、かつ軸が正」のときに限る。すなわち

b^{2} - 4 a ≧ 0 かつ - \frac{b}{2 a} > 0 (⟺ b < 0)

である。その否定をとると、正の解をもたない条件は

b ≧ 0 または b^{2} < 4 a

である。

まとめ。 3つの場合を合わせると、求める領域は

{a ≧ 0 かつ b ≧ 0} \cup {b < 0 かつ a > \frac{b ^{2}}{4}}

である（ $b < 0$ で $a > \frac{b ^{2}}{4}$ なら自動的に $a > 0$ ）。図示すると次のようになる。

横軸 a、縦軸 b。網かけが求める領域。b ≧ 0 の側は b 軸（a = 0）を含み、b < 0 の側は放物線 a = b²/4 を含まない。

$(a, b) = (1, - 3)$ では $b^{2} = 9 > 4 = 4 a$ で、 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ の解 $\frac{3 \pm 5}{2}$ はどちらも正。 $(a, b) = (3, - 3)$ では $9 < 12$ で実数解なし。

$a = 0$ （1次になる場合）を別に扱う。2次方程式として処理すると漏れる。

$a > 0$ では $f (0) > 0$ なので「2解とも正」か「2解とも負」のどちらかになる。軸の符号だけで区別できる。

境界の扱い： $b ≧ 0$ 側は $a = 0$ を含み、 $b < 0$ 側は $b^{2} = 4 a$ （重解が正）を含まない。

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