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三重大学　2025年度　前期日程　数学②（医学部医学科）

第3問微分法・積分法の解答・解説

第2次導関数と凹凸・円の一部としてのグラフ・立体の包含関係の証明・回転体の体積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/13

問題文について

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掲載ページ名「令和7年度一般選抜（前期日程・後期日程）過去問題」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $f (x) = 1 - 1 - (x + 1)^{2}$ （ $- 1 ≦ x < 0$ ）、 $f (x) = 1 - 1 - (x - 1)^{2}$ （ $0 ≦ x ≦ 1$ ）とする。曲線 $y = f (x)$ （ $- 1 ≦ x < 0$ ）の凹凸を調べ、グラフの概形をかく

答 $f^{''} (x) = {1 - (x + 1)^{2}}^{- \frac{3}{2}} > 0$ なので下に凸。グラフは円 $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ の左下の4分の1

$u = x + 1$ とおくと $y = 1 - 1 - u^{2}$ 、つまり $u^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ の下半分である。

$- 1 ≦ x < 0$ では $u = x + 1$ とおくと $0 ≦ u < 1$ で

f (x) = 1 - 1 - u^{2}

である。 $\frac{d u}{d x} = 1$ なので

f^{'} (x) = \frac{u}{1 - u ^{2}} = \frac{x + 1}{1 - ( x + 1 ) ^{2}} ≧ 0

であり、さらに

f^{''} (x) = \frac{1}{1 - u ^{2}} + \frac{u ^{2}}{( 1 - u ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{( 1 - u ^{2} ) + u ^{2}}{( 1 - u ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{ 1 - ( x + 1 ) ^{2} } ^{\frac{3}{2}}} > 0

である。よって $- 1 < x < 0$ で $f^{''} (x) > 0$ となり、曲線は下に凸である（変曲点はない）。

また $y = 1 - 1 - (x + 1)^{2}$ は $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ かつ $y ≦ 1$ と同値なので、グラフは中心 $(- 1, 1)$ ・半径 $1$ の円の下半分、すなわち $(- 1, 0)$ から $(0, 1)$ へ向かう4分の1の円弧である。 $x = - 1$ で $f = 0$ 、 $f^{'} = 0$ （接線が $x$ 軸）、 $x \to - 0$ で $f \to 1$ 、 $f^{'} \to + \infty$ （接線が縦）になる。

y = f(x) のグラフ。-1 以上 0 未満の部分は中心 (-1, 1)・半径 1 の円の下半分で、(-1, 0) から (0, 1) へ向かって下に凸に増加する。薄い線は 0 以上 1 以下の部分。

$f^{''}$ を数値微分で確かめると、 $- 1 < x < 0$ でつねに正だった。

$x \to - 0$ で $f^{'} \to + \infty$ なので、 $(0, 1)$ のところでグラフは縦に立ち上がる。なだらかにつないではいけない。

(2) $x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ 1$ の表す球を $B$ 、 $y^{2} + z^{2} ≦ {f (x)}^{2}$ かつ $- 1 ≦ x ≦ 1$ の表す立体を $D$ とするとき、 $D$ の点は $B$ の点でもあることを示す

答 $- 1 ≦ x ≦ 1$ で $x^{2} + {f (x)}^{2} ≦ 1$ を示せばよい

$t = 1 - ∣ x ∣$ とおくと、どちらの区間でも $x^{2} + {f (x)}^{2} = 3 - 2 t - 2 1 - t^{2}$ という同じ式になる。

$(x, y, z)$ が $D$ の点なら $y^{2} + z^{2} ≦ {f (x)}^{2}$ なので

x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ x^{2} + {f (x)}^{2}

である。したがって $- 1 ≦ x ≦ 1$ でつねに $x^{2} + {f (x)}^{2} ≦ 1$ であることを示せばよい。

$0 ≦ x ≦ 1$ のとき $t = 1 - x$ とおくと $0 ≦ t ≦ 1$ 、 $(x - 1)^{2} = t^{2}$ で、 $x = 1 - t$ 、 $f (x) = 1 - 1 - t^{2}$ である。 $- 1 ≦ x < 0$ のときは $t = x + 1$ とおくと $0 ≦ t < 1$ 、 $x = t - 1$ なので $x^{2} = (1 - t)^{2}$ 、 $f (x) = 1 - 1 - t^{2}$ となり、やはり同じ形になる。

そこで $s = 1 - t^{2}$ （ $0 ≦ s ≦ 1$ 、 $t^{2} + s^{2} = 1$ ）とおくと

x^{2} + {f (x)}^{2} = (1 - t)^{2} + (1 - s)^{2} = 1 - 2 t + t^{2} + 1 - 2 s + s^{2} = 3 - 2 (t + s)

である（ $t^{2} + s^{2} = 1$ を使った）。ここで $t, s ≧ 0$ より

(t + s)^{2} = t^{2} + s^{2} + 2 t s = 1 + 2 t s ≧ 1

なので $t + s ≧ 1$ である。よって

x^{2} + {f (x)}^{2} = 3 - 2 (t + s) ≦ 3 - 2 = 1

となり、 $D$ の点は $x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ 1$ を満たす、つまり $B$ の点でもある。

等号が成り立つのは $t s = 0$ 、すなわち $t = 0$ （ $x = \pm 1$ ）か $s = 0$ （ $t = 1$ 、 $x = 0$ ）のときである。このとき $D$ の境界が球面に接する。

$x^{2} + {f (x)}^{2}$ を $- 1 ≦ x ≦ 1$ で $20$ 万点調べたところ、最大値はちょうど $1$ だった。

(3) $B$ から $D$ の内部を取り除いてできる立体の体積を求める

答 $π^{2} - 2 π$

(2) より $D \subset B$ なので、求める体積は $\frac{4}{3} π - (D の体積)$ 。 $D$ は $x$ 軸のまわりの回転体。

$D$ は、 $x$ を固定するごとに半径 $f (x)$ の円板になる立体なので、 $x$ 軸のまわりの回転体で

(D の体積) = \int_{- 1}^{1} π {f (x)}^{2} d x

である。(2) で見たように、 $x \in [- 1, 0)$ では $t = x + 1$ 、 $x \in [0, 1]$ では $t = 1 - x$ とおくとどちらも $f = 1 - 1 - t^{2}$ になる。つまり $f$ は偶関数で

\int_{- 1}^{1} {f (x)}^{2} d x = 2 \int_{0}^{1} {f (x)}^{2} d x = 2 \int_{0}^{1} (1 - 1 - t^{2})^{2} d t

である（ $t = 1 - x$ と置換した）。被積分関数を展開すると

(1 - 1 - t^{2})^{2} = 1 - 2 1 - t^{2} + (1 - t^{2}) = 2 - t^{2} - 2 1 - t^{2}

である。 $\int_{0}^{1} 1 - t^{2} d t$ は半径 $1$ の4分の1円の面積で $\frac{π}{4}$ だから

\int_{0}^{1} (1 - 1 - t^{2})^{2} d t = 2 - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{5}{3} - \frac{π}{2}

である。よって

(D の体積) = π \cdot 2 (\frac{5}{3} - \frac{π}{2}) = \frac{10}{3} π - π^{2}

である。(2) より $D$ は $B$ に含まれるので、 $B$ から $D$ の内部を取り除いた立体の体積は

\frac{4}{3} π - (\frac{10}{3} π - π^{2}) = π^{2} - 2 π

である（ $π^{2} - 2 π = 3.586 \dots$ ）。

$D$ の体積を数値積分すると $0.6023711$ で $\frac{10}{3} π - π^{2}$ と一致し、答えは $3.5864191 = π^{2} - 2 π$ だった。

$D$ は $x$ 軸のまわりの回転体なので、断面積は $π {f (x)}^{2}$ である。 $f$ そのものではない。

$(1 - 1 - t^{2})^{2}$ を展開するとき、 $(1 - t^{2})^{2} = 1 - t^{2}$ を忘れない。

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問題文について

(1)f(x)=1−1−(x+1)2​（−1≦x<0）、f(x)=1−1−(x−1)2​（0≦x≦1）とする。曲線 y=f(x)（−1≦x<0）の凹凸を調べ、グラフの概形をかく

(2)x2+y2+z2≦1 の表す球を B、y2+z2≦{f(x)}2 かつ −1≦x≦1 の表す立体を D とするとき、D の点は B の点でもあることを示す

(3)B から D の内部を取り除いてできる立体の体積を求める

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