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三重大学　2025年度　前期日程　数学②（医学部医学科）

第2問確率・対数の解答・解説

余事象・指数不等式を対数で解く・底の変換・最小の整数を求める当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。数学②（医学部医学科）の問題文は三重大学が公開しています。

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掲載ページ名「令和7年度一般選抜（前期日程・後期日程）過去問題」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

(1) $k$ 本中 $1$ 本が当たりで残りがはずれの公平なくじを、引いて戻しながら $n$ 回引く。「 $n$ 回中当たりを1回以上引く確率が $a$ 以上である」を $k, n, a$ の不等式で表し、 $k = 3$ 、 $n = 2$ 、 $a = \frac{5}{9}$ のとき成り立つことを示す

答 $1 - (\frac{k - 1}{k})^{n} ≧ a$

「1回以上当たる」の余事象は「 $n$ 回ともはずれ」。

1回の試行ではずれる確率は $\frac{k - 1}{k}$ である。引いて戻すので各回は独立で、 $n$ 回ともはずれる確率は $(\frac{k - 1}{k})^{n}$ である。よって当たりを1回以上引く確率は

1 - (\frac{k - 1}{k})^{n}

であり、求める条件は

1 - (\frac{k - 1}{k})^{n} ≧ a

である。 $k = 3$ 、 $n = 2$ 、 $a = \frac{5}{9}$ のとき左辺は

1 - (\frac{2}{3})^{2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

で、右辺の $\frac{5}{9}$ と等しいから不等式が成り立つ。

$k = 3$ 、 $n = 2$ の確率を計算すると $0.555556$ で、 $\frac{5}{9} = 0.555556$ と一致した。

(2)(1) の不等式を $n$ について解く（ $k > 1$ 、 $0 ≦ a < 1$ ）

答 $n ≧ \frac{lo g ( 1 - a )}{lo g ( k - 1 ) - lo g k}$

底 $\frac{k - 1}{k}$ が $1$ より小さいので、対数をとると不等号の向きが変わる。

(1) の不等式を変形すると

(\frac{k - 1}{k})^{n} ≦ 1 - a

である。 $k > 1$ より $0 < \frac{k - 1}{k} < 1$ で、 $0 ≦ a < 1$ より $0 < 1 - a ≦ 1$ である。両辺とも正なので自然対数をとると

n lo g \frac{k - 1}{k} ≦ lo g (1 - a)

である。 $lo g \frac{k - 1}{k} < 0$ なので、これで割ると不等号の向きが変わって

n ≧ \frac{lo g ( 1 - a )}{lo g \frac{k - 1}{k}} = \frac{lo g ( 1 - a )}{lo g ( k - 1 ) - lo g k}

である。右辺は（分子 $≦ 0$ 、分母 $< 0$ なので） $0$ 以上である。

$k = 5$ 、 $a = 0.99$ を入れると右辺は $20.43$ で、(3) の結果と合う。

底が $1$ より小さいので、対数をとって割るところで不等号が反転する。

$a = 0$ のときは右辺が $0$ になり、どんな $n$ でも成り立つ。

(3) $k = 5$ 、 $a = 0.99$ のとき、(1) の不等式を満たす $n$ の最小値を求める（ $lo g_{5} 2$ の近似値として $0.43$ を使ってよい）

答 $n = 21$

底を $5$ にそろえると $lo g_{5} 2$ だけで書ける。

(2) の不等式に $k = 5$ 、 $a = 0.99$ を入れると

n ≧ \frac{lo g \frac{1}{100}}{lo g \frac{4}{5}} = \frac{lo g 100}{lo g \frac{5}{4}}

である。底を $5$ にそろえると、 $100 = 4 \cdot 5^{2}$ より

lo g_{5} 100 = lo g_{5} 4 + 2 = 2 lo g_{5} 2 + 2, lo g_{5} \frac{5}{4} = 1 - lo g_{5} 4 = 1 - 2 lo g_{5} 2

なので

n ≧ \frac{2 lo g _{5} 2 + 2}{1 - 2 lo g _{5} 2}

である。 $lo g_{5} 2 = 0.43$ とすると

\frac{2 \cdot 0.43 + 2}{1 - 2 \cdot 0.43} = \frac{2.86}{0.14} = \frac{143}{7} = 20.42 \dots

なので、 $n$ の最小値は

n = 21

である。

$0. 8^{20} = 0.011529 > 0.01$ 、 $0. 8^{21} = 0.009223 < 0.01$ なので、確かに $n = 21$ が最小だった。

$\frac{143}{7} = 20.4 \dots$ は整数ではないので、最小の整数は切り上げて $21$ である。

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問題文について

(1)k 本中 1 本が当たりで残りがはずれの公平なくじを、引いて戻しながら n 回引く。「n 回中当たりを1回以上引く確率が a 以上である」を k,n,a の不等式で表し、k=3、n=2、a=95​ のとき成り立つことを示す

(2)(1) の不等式を n について解く（k>1、0≦a<1）

(3)k=5、a=0.99 のとき、(1) の不等式を満たす n の最小値を求める（log5​2 の近似値として 0.43 を使ってよい）

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