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全3問・無料

三重大学　2025年度　前期日程　数学②（医学部医学科）

三重大 2025年度数学の解答・解説

全3問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/13

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。数学②（医学部医学科）の問題文は三重大学が公開しています。

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掲載ページ名「令和7年度一般選抜（前期日程・後期日程）過去問題」／2026/10/13に当サイトでリンク先を確認。公開年度は大学側の都合で入れ替わることがあります。

第1問　小問集合

単位ベクトルの和と内積・余角の関係・和から一般項・領域と1次式の最大最小・複素数の極形式当サイトの体感難易度：標準

(1)平面上の点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上に3点 $A, B, C$ があり、 $OA + 2 OB + 3 OC = 0$ を満たすとき、 $OA \cdot OC$ を求める

答 $OA \cdot OC = - \frac{3}{3}$

$b$ だけを移項してから大きさの2乗をとると、 $b = 1$ を使って内積が出る。

$a = OA$ 、 $b = OB$ 、 $c = OC$ とおくと $∣ a ∣ = b = ∣ c ∣ = 1$ である。条件から

2 b = - (a + 3 c)

なので、両辺の大きさの2乗をとると

2 b^{2} = ∣ a ∣^{2} + 23 a \cdot c + 3 ∣ c ∣^{2}

すなわち $2 = 1 + 23 a \cdot c + 3$ である。よって

a \cdot c = - \frac{1}{3} = - \frac{3}{3}

である。

$a \cdot c = - \frac{3}{3}$ のとき $cos ∠ AOC = - \frac{3}{3}$ で、このとき $a + 3 c = 2$ だから $b = - \frac{a + 3 c}{2}$ はちょうど単位ベクトルになる。つまりそのような $A, B, C$ は実際に存在する。

$a \cdot c = - \frac{3}{3}$ となるように $a, c$ をとって $b$ を作ると、 $b = 1.000000000$ になった。

(2) $tan \frac{π}{10} tan \frac{2}{5} π = 1$ を示す

答 $\frac{π}{10} + \frac{2}{5} π = \frac{π}{2}$ なので $tan \frac{2}{5} π = \frac{1}{tan \frac{π}{10}}$

2つの角の和が $\frac{π}{2}$ であることに気づけばよい。

$\frac{π}{10} + \frac{2}{5} π = \frac{π}{10} + \frac{4 π}{10} = \frac{π}{2}$ なので

tan \frac{2}{5} π = tan (\frac{π}{2} - \frac{π}{10}) = \frac{1}{tan \frac{π}{10}}

である。 $0 < \frac{π}{10} < \frac{π}{2}$ より $tan \frac{π}{10} > 0$ で、とくに $0$ ではないから

tan \frac{π}{10} tan \frac{2}{5} π = tan \frac{π}{10} \cdot \frac{1}{tan \frac{π}{10}} = 1

である。

数値で計算すると $tan \frac{π}{10} tan \frac{2}{5} π = 1.000000000$ だった。

(3)数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が $S_{n} = 3^{n} + 2 a_{n}$ であるとき、一般項を求める

答 $a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} - 2 \cdot 3^{n}$

$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ から $a_{n}$ の漸化式を作る。 $a_{n} + 2 \cdot 3^{n}$ が等比数列になる。

$n = 1$ のとき $a_{1} = S_{1} = 3 + 2 a_{1}$ なので $a_{1} = - 3$ である。

$n ≧ 2$ のとき $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ より

a_{n} = (3^{n} + 2 a_{n}) - (3^{n - 1} + 2 a_{n - 1})

すなわち $- a_{n} = 2 \cdot 3^{n - 1} - 2 a_{n - 1}$ 、つまり

a_{n} = 2 a_{n - 1} - 2 \cdot 3^{n - 1} (n ≧ 2)

である。 $a_{n} + α \cdot 3^{n} = 2 (a_{n - 1} + α \cdot 3^{n - 1})$ と変形できるように $α$ を決める。右辺を展開すると $a_{n} = 2 a_{n - 1} + α \cdot 3^{n - 1} (2 - 3) = 2 a_{n - 1} - α \cdot 3^{n - 1}$ なので $α = 2$ である。よって

a_{n} + 2 \cdot 3^{n} = 2 (a_{n - 1} + 2 \cdot 3^{n - 1}) (n ≧ 2)

である。 $b_{n} = a_{n} + 2 \cdot 3^{n}$ とおくと $b_{1} = - 3 + 6 = 3$ 、 $b_{n} = 2 b_{n - 1}$ なので $b_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1}$ である。したがって

a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} - 2 \cdot 3^{n}

である（ $n = 1$ でも $3 - 6 = - 3$ で合う）。

$a_{n} = 3 \cdot 2^{n - 1} - 2 \cdot 3^{n}$ の和を $n = 1$ から $14$ まで計算したところ、どれも $3^{n} + 2 a_{n}$ と一致した。

$S_{n}$ の式に $a_{n}$ が入っているので、 $a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}$ を作ると $a_{n}$ が両辺に出る。移項してから漸化式にする。

(4) $y = a_{1} x + b_{1}$ を2点 $(1, 0)$ 、 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ を通る直線、 $y = a_{2} x + b_{2}$ を2点 $(- 1, 0)$ 、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ を通る直線とする。 $x^{2} + y^{2} ≦ 1$ 、 $y ≦ a_{1} x + b_{1}$ 、 $y ≧ a_{2} x + b_{2}$ の表す領域を図示し、 $x + y$ の最大値と最小値を求める

答最大値 $2$ （点 $(\frac{2}{2}, \frac{2}{2})$ ）、最小値 $- \frac{1 + 3}{2}$ （点 $(- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ ）

4点はすべて単位円周上にあり、2本の直線は弦である。領域は単位円から2つの弓形を取り除いた形になる。

2点 $(1, 0)$ 、 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ を通る直線の傾きは

a_{1} = \frac{\frac{1}{2} - 0}{\frac{3}{2} - 1} = \frac{1}{3 - 2} = \frac{3 + 2}{3 - 4} = - (2 + 3)

で、 $(1, 0)$ を通るから $b_{1} = - a_{1} = 2 + 3$ である。同様に

a_{2} = \frac{- \frac{3}{2} - 0}{- \frac{1}{2} - ( - 1 )} = - 3, b_{2} = - 3

である。4点 $(1, 0)$ 、 $(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$ 、 $(- 1, 0)$ 、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ はどれも単位円 $x^{2} + y^{2} = 1$ の上にあり、 $(cos θ, sin θ)$ と書くと順に $θ = 0, \frac{π}{6}, π, \frac{4}{3} π$ に対応する。つまり2本の直線はどちらも単位円の弦である。

原点では $0 ≦ b_{1} = 2 + 3$ 、 $0 ≧ b_{2} = - 3$ がどちらも成り立つので、原点は領域に入る。よって領域は

単位円の周および内部から、 $θ = 0$ と $θ = \frac{π}{6}$ を結ぶ弦で切り取られる弓形、および $θ = π$ と $θ = \frac{4}{3} π$ を結ぶ弦で切り取られる弓形を、それぞれ弦より外側だけ取り除いたもの

である（弦の上も境界として含む）。図示すると次のようになる。

単位円の内部から、角 0 と 30 度を結ぶ弦の外側、および角 180 度と 240 度を結ぶ弦の外側を取り除いた領域。x + y は角 45 度の円周上の点で最大、角 240 度の点で最小になる。

次に $x + y$ の最大・最小を調べる。領域は円板と2つの半平面の共通部分なので凸である。したがって1次式 $x + y$ の最大・最小は境界上でとる（内部の点 $P$ を通る直線が境界と交わる2点を $Q, R$ とすると、 $P$ は線分 $QR$ の内分点なので、 $x + y$ の値は2点での値の間にある）。

境界の円弧の上では

x + y = cos θ + sin θ = 2 sin (θ + \frac{π}{4})

である。残っている円弧は $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ π$ と $\frac{4}{3} π ≦ θ ≦ 2 π$ である。

$θ = \frac{π}{4}$ は $\frac{π}{6} ≦ θ ≦ π$ に入るので、 $2 sin (θ + \frac{π}{4})$ はそこで最大値 $2$ をとる。
$\frac{π}{6} ≦ θ ≦ π$ での最小は $θ = π$ のときで $- 1$ 。
$\frac{4}{3} π ≦ θ ≦ 2 π$ では $θ + \frac{π}{4}$ が $\frac{19}{12} π$ から $\frac{9}{4} π$ まで動き、 $sin$ は増加するので最小は $θ = \frac{4}{3} π$ のときで $- \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = - \frac{1 + 3}{2}$ 。

境界の弦の上では、 $y = - 3 (x + 1)$ （ $- 1 ≦ x ≦ - \frac{1}{2}$ ）のとき

x + y = (1 - 3) x - 3

で、 $1 - 3 < 0$ だから $x = - \frac{1}{2}$ で最小値 $- \frac{1 + 3}{2}$ 、 $x = - 1$ で最大値 $- 1$ をとる。もう1本の弦 $y = - (2 + 3) (x - 1)$ （ $\frac{3}{2} ≦ x ≦ 1$ ）の上では $x + y = - (1 + 3) x + 2 + 3$ で、値は $1$ と $\frac{1 + 3}{2}$ の間にあり、最大 $2$ ・最小 $- \frac{1 + 3}{2}$ には届かない。

以上より

最大値 2 (点 (\frac{2}{2}, \frac{2}{2})), 最小値 - \frac{1 + 3}{2} (点 (- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}))

である。

$1201 \times 1201$ の格子で領域内の $x + y$ を調べたところ、最大 $1.41333$ ・最小 $- 1.36500$ となり、 $2 = 1.41421$ 、 $- \frac{1 + 3}{2} = - 1.36603$ に迫った。

円周上の最小 $- 2$ は $θ = \frac{5}{4} π$ のときだが、そこは取り除いた弓形の中なので使えない。

$\frac{1 + 3}{2} = 1.366 \dots < 2 = 1.414 \dots$ なので、最大は円弧の側でとる。

(5) $cos θ_{1} - cos θ_{2} = 0$ かつ $sin θ_{1} - sin θ_{2} = 1$ （ $0 ≦ θ_{1} ≦ θ_{2} < 2 π$ ）を満たす組をすべて求め、さらに $∣ z_{1} ∣ + ∣ z_{2} ∣ = 5$ 、 $∣ z_{1} z_{2} ∣ = 6$ 、 $z_{1} ∣ z_{2} ∣ - ∣ z_{1} ∣ z_{2} = ∣ z_{1} z_{2} ∣ i$ （ $∣ z_{1} ∣ ≦ ∣ z_{2} ∣$ 、 $0 ≦ ar g z_{1} ≦ ar g z_{2} < 2 π$ ）を満たす組をすべて求める

答 $(θ_{1}, θ_{2}) = (\frac{π}{6}, \frac{11}{6} π), (\frac{5}{6} π, \frac{7}{6} π)$ 。 $(z_{1}, z_{2}) = (3 + i, \frac{3 3 - 3 i}{2}), (- 3 + i, \frac{- 3 3 - 3 i}{2})$

後半は $∣ z_{1} ∣ = 2$ 、 $∣ z_{2} ∣ = 3$ を出してから極形式にすると、前半とまったく同じ連立になる。

前半　 $cos θ_{1} = cos θ_{2}$ かつ $0 ≦ θ_{1} ≦ θ_{2} < 2 π$ より、 $θ_{2} = θ_{1}$ または $θ_{2} = 2 π - θ_{1}$ である。

$θ_{2} = θ_{1}$ なら $sin θ_{1} - sin θ_{2} = 0 \neq = 1$ なので不適。よって $θ_{2} = 2 π - θ_{1}$ で、 $θ_{1} ≦ θ_{2}$ より $θ_{1} ≦ π$ である。このとき $sin θ_{2} = - sin θ_{1}$ だから

sin θ_{1} - (- sin θ_{1}) = 2 sin θ_{1} = 1, sin θ_{1} = \frac{1}{2}

である。 $0 ≦ θ_{1} ≦ π$ での解は $θ_{1} = \frac{π}{6}, \frac{5}{6} π$ で、対応する $θ_{2}$ は $\frac{11}{6} π, \frac{7}{6} π$ である。よって

(θ_{1}, θ_{2}) = (\frac{π}{6}, \frac{11}{6} π), (\frac{5}{6} π, \frac{7}{6} π)

である。

後半　 $r_{1} = ∣ z_{1} ∣$ 、 $r_{2} = ∣ z_{2} ∣$ とおくと $r_{1} + r_{2} = 5$ 、 $r_{1} r_{2} = 6$ なので、 $r_{1}, r_{2}$ は $t^{2} - 5 t + 6 = 0$ の解、つまり $2$ と $3$ である。 $r_{1} ≦ r_{2}$ より

r_{1} = 2, r_{2} = 3

である。 $θ_{1} = ar g z_{1}$ 、 $θ_{2} = ar g z_{2}$ とおいて $z_{1} = 2 (cos θ_{1} + i sin θ_{1})$ 、 $z_{2} = 3 (cos θ_{2} + i sin θ_{2})$ と書くと

z_{1} ∣ z_{2} ∣ - ∣ z_{1} ∣ z_{2} = 3 z_{1} - 2 z_{2} = 6 {(cos θ_{1} - cos θ_{2}) + i (sin θ_{1} - sin θ_{2})}

であり、右辺は $∣ z_{1} z_{2} ∣ i = 6 i$ である。したがって

cos θ_{1} - cos θ_{2} = 0, sin θ_{1} - sin θ_{2} = 1

となり、 $0 ≦ θ_{1} ≦ θ_{2} < 2 π$ のもとで前半とまったく同じ連立になる。よって $(θ_{1}, θ_{2}) = (\frac{π}{6}, \frac{11}{6} π), (\frac{5}{6} π, \frac{7}{6} π)$ である。

それぞれ $z_{1}, z_{2}$ に直すと

(z_{1}, z_{2}) = (3 + i, \frac{3 3}{2} - \frac{3}{2} i), (z_{1}, z_{2}) = (- 3 + i, - \frac{3 3}{2} - \frac{3}{2} i)

である。

$θ_{1}$ を $72000$ 等分して全探索したところ、解は $(\frac{π}{6}, \frac{11}{6} π)$ と $(\frac{5}{6} π, \frac{7}{6} π)$ の2組だけで、対応する $z_{1}, z_{2}$ は3つの条件をすべて満たした。

$cos θ_{1} = cos θ_{2}$ から $θ_{2} = θ_{1}$ の場合を落とさない。ここは $sin$ の条件で消える。

$z_{1} ∣ z_{2} ∣ - ∣ z_{1} ∣ z_{2}$ は $3 z_{1} - 2 z_{2}$ であって $z_{1} z_{2}$ ではない。大きさだけが係数になる。

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第2問　確率・対数

余事象・指数不等式を対数で解く・底の変換・最小の整数を求める当サイトの体感難易度：標準

(1) $k$ 本中 $1$ 本が当たりで残りがはずれの公平なくじを、引いて戻しながら $n$ 回引く。「 $n$ 回中当たりを1回以上引く確率が $a$ 以上である」を $k, n, a$ の不等式で表し、 $k = 3$ 、 $n = 2$ 、 $a = \frac{5}{9}$ のとき成り立つことを示す

答 $1 - (\frac{k - 1}{k})^{n} ≧ a$

「1回以上当たる」の余事象は「 $n$ 回ともはずれ」。

1回の試行ではずれる確率は $\frac{k - 1}{k}$ である。引いて戻すので各回は独立で、 $n$ 回ともはずれる確率は $(\frac{k - 1}{k})^{n}$ である。よって当たりを1回以上引く確率は

1 - (\frac{k - 1}{k})^{n}

であり、求める条件は

1 - (\frac{k - 1}{k})^{n} ≧ a

である。 $k = 3$ 、 $n = 2$ 、 $a = \frac{5}{9}$ のとき左辺は

1 - (\frac{2}{3})^{2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}

で、右辺の $\frac{5}{9}$ と等しいから不等式が成り立つ。

$k = 3$ 、 $n = 2$ の確率を計算すると $0.555556$ で、 $\frac{5}{9} = 0.555556$ と一致した。

(2)(1) の不等式を $n$ について解く（ $k > 1$ 、 $0 ≦ a < 1$ ）

答 $n ≧ \frac{lo g ( 1 - a )}{lo g ( k - 1 ) - lo g k}$

底 $\frac{k - 1}{k}$ が $1$ より小さいので、対数をとると不等号の向きが変わる。

(1) の不等式を変形すると

(\frac{k - 1}{k})^{n} ≦ 1 - a

である。 $k > 1$ より $0 < \frac{k - 1}{k} < 1$ で、 $0 ≦ a < 1$ より $0 < 1 - a ≦ 1$ である。両辺とも正なので自然対数をとると

n lo g \frac{k - 1}{k} ≦ lo g (1 - a)

である。 $lo g \frac{k - 1}{k} < 0$ なので、これで割ると不等号の向きが変わって

n ≧ \frac{lo g ( 1 - a )}{lo g \frac{k - 1}{k}} = \frac{lo g ( 1 - a )}{lo g ( k - 1 ) - lo g k}

である。右辺は（分子 $≦ 0$ 、分母 $< 0$ なので） $0$ 以上である。

$k = 5$ 、 $a = 0.99$ を入れると右辺は $20.43$ で、(3) の結果と合う。

底が $1$ より小さいので、対数をとって割るところで不等号が反転する。

$a = 0$ のときは右辺が $0$ になり、どんな $n$ でも成り立つ。

(3) $k = 5$ 、 $a = 0.99$ のとき、(1) の不等式を満たす $n$ の最小値を求める（ $lo g_{5} 2$ の近似値として $0.43$ を使ってよい）

答 $n = 21$

底を $5$ にそろえると $lo g_{5} 2$ だけで書ける。

(2) の不等式に $k = 5$ 、 $a = 0.99$ を入れると

n ≧ \frac{lo g \frac{1}{100}}{lo g \frac{4}{5}} = \frac{lo g 100}{lo g \frac{5}{4}}

である。底を $5$ にそろえると、 $100 = 4 \cdot 5^{2}$ より

lo g_{5} 100 = lo g_{5} 4 + 2 = 2 lo g_{5} 2 + 2, lo g_{5} \frac{5}{4} = 1 - lo g_{5} 4 = 1 - 2 lo g_{5} 2

なので

n ≧ \frac{2 lo g _{5} 2 + 2}{1 - 2 lo g _{5} 2}

である。 $lo g_{5} 2 = 0.43$ とすると

\frac{2 \cdot 0.43 + 2}{1 - 2 \cdot 0.43} = \frac{2.86}{0.14} = \frac{143}{7} = 20.42 \dots

なので、 $n$ の最小値は

n = 21

である。

$0. 8^{20} = 0.011529 > 0.01$ 、 $0. 8^{21} = 0.009223 < 0.01$ なので、確かに $n = 21$ が最小だった。

$\frac{143}{7} = 20.4 \dots$ は整数ではないので、最小の整数は切り上げて $21$ である。

第2問だけのページ

第3問　微分法・積分法

第2次導関数と凹凸・円の一部としてのグラフ・立体の包含関係の証明・回転体の体積当サイトの体感難易度：やや難

(1) $f (x) = 1 - 1 - (x + 1)^{2}$ （ $- 1 ≦ x < 0$ ）、 $f (x) = 1 - 1 - (x - 1)^{2}$ （ $0 ≦ x ≦ 1$ ）とする。曲線 $y = f (x)$ （ $- 1 ≦ x < 0$ ）の凹凸を調べ、グラフの概形をかく

答 $f^{''} (x) = {1 - (x + 1)^{2}}^{- \frac{3}{2}} > 0$ なので下に凸。グラフは円 $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ の左下の4分の1

$u = x + 1$ とおくと $y = 1 - 1 - u^{2}$ 、つまり $u^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ の下半分である。

$- 1 ≦ x < 0$ では $u = x + 1$ とおくと $0 ≦ u < 1$ で

f (x) = 1 - 1 - u^{2}

である。 $\frac{d u}{d x} = 1$ なので

f^{'} (x) = \frac{u}{1 - u ^{2}} = \frac{x + 1}{1 - ( x + 1 ) ^{2}} ≧ 0

であり、さらに

f^{''} (x) = \frac{1}{1 - u ^{2}} + \frac{u ^{2}}{( 1 - u ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{( 1 - u ^{2} ) + u ^{2}}{( 1 - u ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{{ 1 - ( x + 1 ) ^{2} } ^{\frac{3}{2}}} > 0

である。よって $- 1 < x < 0$ で $f^{''} (x) > 0$ となり、曲線は下に凸である（変曲点はない）。

また $y = 1 - 1 - (x + 1)^{2}$ は $(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ かつ $y ≦ 1$ と同値なので、グラフは中心 $(- 1, 1)$ ・半径 $1$ の円の下半分、すなわち $(- 1, 0)$ から $(0, 1)$ へ向かう4分の1の円弧である。 $x = - 1$ で $f = 0$ 、 $f^{'} = 0$ （接線が $x$ 軸）、 $x \to - 0$ で $f \to 1$ 、 $f^{'} \to + \infty$ （接線が縦）になる。

y = f(x) のグラフ。-1 以上 0 未満の部分は中心 (-1, 1)・半径 1 の円の下半分で、(-1, 0) から (0, 1) へ向かって下に凸に増加する。薄い線は 0 以上 1 以下の部分。

$f^{''}$ を数値微分で確かめると、 $- 1 < x < 0$ でつねに正だった。

$x \to - 0$ で $f^{'} \to + \infty$ なので、 $(0, 1)$ のところでグラフは縦に立ち上がる。なだらかにつないではいけない。

(2) $x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ 1$ の表す球を $B$ 、 $y^{2} + z^{2} ≦ {f (x)}^{2}$ かつ $- 1 ≦ x ≦ 1$ の表す立体を $D$ とするとき、 $D$ の点は $B$ の点でもあることを示す

答 $- 1 ≦ x ≦ 1$ で $x^{2} + {f (x)}^{2} ≦ 1$ を示せばよい

$t = 1 - ∣ x ∣$ とおくと、どちらの区間でも $x^{2} + {f (x)}^{2} = 3 - 2 t - 2 1 - t^{2}$ という同じ式になる。

$(x, y, z)$ が $D$ の点なら $y^{2} + z^{2} ≦ {f (x)}^{2}$ なので

x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ x^{2} + {f (x)}^{2}

である。したがって $- 1 ≦ x ≦ 1$ でつねに $x^{2} + {f (x)}^{2} ≦ 1$ であることを示せばよい。

$0 ≦ x ≦ 1$ のとき $t = 1 - x$ とおくと $0 ≦ t ≦ 1$ 、 $(x - 1)^{2} = t^{2}$ で、 $x = 1 - t$ 、 $f (x) = 1 - 1 - t^{2}$ である。 $- 1 ≦ x < 0$ のときは $t = x + 1$ とおくと $0 ≦ t < 1$ 、 $x = t - 1$ なので $x^{2} = (1 - t)^{2}$ 、 $f (x) = 1 - 1 - t^{2}$ となり、やはり同じ形になる。

そこで $s = 1 - t^{2}$ （ $0 ≦ s ≦ 1$ 、 $t^{2} + s^{2} = 1$ ）とおくと

x^{2} + {f (x)}^{2} = (1 - t)^{2} + (1 - s)^{2} = 1 - 2 t + t^{2} + 1 - 2 s + s^{2} = 3 - 2 (t + s)

である（ $t^{2} + s^{2} = 1$ を使った）。ここで $t, s ≧ 0$ より

(t + s)^{2} = t^{2} + s^{2} + 2 t s = 1 + 2 t s ≧ 1

なので $t + s ≧ 1$ である。よって

x^{2} + {f (x)}^{2} = 3 - 2 (t + s) ≦ 3 - 2 = 1

となり、 $D$ の点は $x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ 1$ を満たす、つまり $B$ の点でもある。

等号が成り立つのは $t s = 0$ 、すなわち $t = 0$ （ $x = \pm 1$ ）か $s = 0$ （ $t = 1$ 、 $x = 0$ ）のときである。このとき $D$ の境界が球面に接する。

$x^{2} + {f (x)}^{2}$ を $- 1 ≦ x ≦ 1$ で $20$ 万点調べたところ、最大値はちょうど $1$ だった。

(3) $B$ から $D$ の内部を取り除いてできる立体の体積を求める

答 $π^{2} - 2 π$

(2) より $D \subset B$ なので、求める体積は $\frac{4}{3} π - (D の体積)$ 。 $D$ は $x$ 軸のまわりの回転体。

$D$ は、 $x$ を固定するごとに半径 $f (x)$ の円板になる立体なので、 $x$ 軸のまわりの回転体で

(D の体積) = \int_{- 1}^{1} π {f (x)}^{2} d x

である。(2) で見たように、 $x \in [- 1, 0)$ では $t = x + 1$ 、 $x \in [0, 1]$ では $t = 1 - x$ とおくとどちらも $f = 1 - 1 - t^{2}$ になる。つまり $f$ は偶関数で

\int_{- 1}^{1} {f (x)}^{2} d x = 2 \int_{0}^{1} {f (x)}^{2} d x = 2 \int_{0}^{1} (1 - 1 - t^{2})^{2} d t

である（ $t = 1 - x$ と置換した）。被積分関数を展開すると

(1 - 1 - t^{2})^{2} = 1 - 2 1 - t^{2} + (1 - t^{2}) = 2 - t^{2} - 2 1 - t^{2}

である。 $\int_{0}^{1} 1 - t^{2} d t$ は半径 $1$ の4分の1円の面積で $\frac{π}{4}$ だから

\int_{0}^{1} (1 - 1 - t^{2})^{2} d t = 2 - \frac{1}{3} - 2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{5}{3} - \frac{π}{2}

である。よって

(D の体積) = π \cdot 2 (\frac{5}{3} - \frac{π}{2}) = \frac{10}{3} π - π^{2}

である。(2) より $D$ は $B$ に含まれるので、 $B$ から $D$ の内部を取り除いた立体の体積は

\frac{4}{3} π - (\frac{10}{3} π - π^{2}) = π^{2} - 2 π

である（ $π^{2} - 2 π = 3.586 \dots$ ）。

$D$ の体積を数値積分すると $0.6023711$ で $\frac{10}{3} π - π^{2}$ と一致し、答えは $3.5864191 = π^{2} - 2 π$ だった。

$D$ は $x$ 軸のまわりの回転体なので、断面積は $π {f (x)}^{2}$ である。 $f$ そのものではない。

$(1 - 1 - t^{2})^{2}$ を展開するとき、 $(1 - t^{2})^{2} = 1 - t^{2}$ を忘れない。

第3問だけのページ

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問題文について

(1)平面上の点 O を中心とする半径 1 の円周上に3点 A,B,C があり、OA+2​OB+3​OC=0 を満たすとき、OA⋅OC を求める

(2)tan10π​tan52​π=1 を示す

(3)数列 {an​} の初項から第 n 項までの和 Sn​ が Sn​=3n+2an​ であるとき、一般項を求める

(4)y=a1​x+b1​ を2点 (1,0)、(23​​,21​) を通る直線、y=a2​x+b2​ を2点 (−1,0)、(−21​,−23​​) を通る直線とする。x2+y2≦1、y≦a1​x+b1​、y≧a2​x+b2​ の表す領域を図示し、x+y の最大値と最小値を求める

(1)k 本中 1 本が当たりで残りがはずれの公平なくじを、引いて戻しながら n 回引く。「n 回中当たりを1回以上引く確率が a 以上である」を k,n,a の不等式で表し、k=3、n=2、a=95​ のとき成り立つことを示す

(2)(1) の不等式を n について解く（k>1、0≦a<1）

(3)k=5、a=0.99 のとき、(1) の不等式を満たす n の最小値を求める（log5​2 の近似値として 0.43 を使ってよい）

(1)f(x)=1−1−(x+1)2​（−1≦x<0）、f(x)=1−1−(x−1)2​（0≦x≦1）とする。曲線 y=f(x)（−1≦x<0）の凹凸を調べ、グラフの概形をかく

(2)x2+y2+z2≦1 の表す球を B、y2+z2≦{f(x)}2 かつ −1≦x≦1 の表す立体を D とするとき、D の点は B の点でもあることを示す

(3)B から D の内部を取り除いてできる立体の体積を求める

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(1)平面上の点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上に3点 $A, B, C$ があり、 $OA + 2 OB + 3 OC = 0$ を満たすとき、 $OA \cdot OC$ を求める

(2) $tan \frac{π}{10} tan \frac{2}{5} π = 1$ を示す

(3)数列 ${a_{n}}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_{n}$ が $S_{n} = 3^{n} + 2 a_{n}$ であるとき、一般項を求める

(2)(1) の不等式を $n$ について解く（ $k > 1$ 、 $0 ≦ a < 1$ ）

(3) $k = 5$ 、 $a = 0.99$ のとき、(1) の不等式を満たす $n$ の最小値を求める（ $lo g_{5} 2$ の近似値として $0.43$ を使ってよい）

(1) $f (x) = 1 - 1 - (x + 1)^{2}$ （ $- 1 ≦ x < 0$ ）、 $f (x) = 1 - 1 - (x - 1)^{2}$ （ $0 ≦ x ≦ 1$ ）とする。曲線 $y = f (x)$ （ $- 1 ≦ x < 0$ ）の凹凸を調べ、グラフの概形をかく

(2) $x^{2} + y^{2} + z^{2} ≦ 1$ の表す球を $B$ 、 $y^{2} + z^{2} ≦ {f (x)}^{2}$ かつ $- 1 ≦ x ≦ 1$ の表す立体を $D$ とするとき、 $D$ の点は $B$ の点でもあることを示す

(3) $B$ から $D$ の内部を取り除いてできる立体の体積を求める