第3問整式の解答・解説

因数定理・虚数解と共役・解と係数の関係・整数解の絞り込み当サイトの体感難易度：難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $f (x)$ が $x - 2$ で割り切れることを示す

答 $f (2) = 16 + 48 - 4 k + 4 k - 64 = 0$

因数定理そのもの。 $k$ を含む2つの項がちょうど打ち消し合う。

$x = 2$ を代入すると

f (2) = 2^{4} + 6 \cdot 2^{3} - k \cdot 2^{2} + 2 k \cdot 2 - 64 = 16 + 48 - 4 k + 4 k - 64 = 0

である。 $- 4 k$ と $+ 4 k$ が打ち消すので、 $k$ によらず $f (2) = 0$ になる。因数定理より $f (x)$ は $x - 2$ で割り切れる。

実際に割ると

f (x) = (x - 2) {x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32}

となる。この3次式を $g (x)$ とおく。

$k$ をいくつか変えても $f (2) = 0$ になり、商が $x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32$ であることを確かめた。

$- k x^{2}$ と $+ 2 k x$ に $x = 2$ を入れると $- 4 k$ と $+ 4 k$ になる。ここが仕掛けである。

(2)方程式 $f (x) = 0$ は負の実数解をもつことを示す

答 $g$ の3解の積が $- 32$ で、虚数解の積は正だから残る実数解は負

$f (x) = 0$ が虚数解をもち、係数が実数なので、虚数解は共役の対で現れる。 $2$ はすでに実数解なので、残る3解（ $g$ の解）のうち2つが共役な虚数、1つが実数である。その実数解の符号を解と係数の関係で決める。

$f$ の係数は実数なので、虚数解は共役の対で現れる。(1) より $x = 2$ は実数解だから、残る3つ（ $g (x) = x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32 = 0$ の解）のうち2つが共役な虚数 $z, \overline{z}$ 、1つが実数 $r$ である。

解と係数の関係。 $g$ の3解の積は $- \frac{32}{1} = - 32$ なので

r \cdot z \overline{z} = - 32, すなわち r ∣ z ∣^{2} = - 32

である。 $z$ は虚数なので $z \neq = 0$ 、よって $∣ z ∣^{2} > 0$ である。したがって

r = - \frac{32}{∣ z ∣ ^{2}} < 0

となり、 $f (x) = 0$ は負の実数解 $r$ をもつ。

$k = - 8$ では $r = - 4$ 、 $k = 12$ では $r = - 8$ で、どちらも負だった。

「虚数解をもつ」という条件から、 $g$ の3解が「実数1つ＋共役な虚数2つ」に決まる。3つとも実数の場合は起こらない。

$z \overline{z} = ∣ z ∣^{2} > 0$ である。ここが符号を決める。

$g$ の定数項は $32$ 、最高次係数は $1$ なので、3解の積は $- 32$ である（ $(- 1)^{3} \cdot \frac{32}{1}$ ）。

(3) $f (x) = 0$ のすべての実数解が整数、すべての虚数解の実部と虚部がともに整数であるとき、 $k$ をすべて求める

答 $k = - 8, 12$

$g$ の3解を $r$ （負の整数）と $p \pm q i$ （ $p, q$ 整数、 $q \neq = 0$ ）として、係数比較（解と係数の関係）で3本の式を立てる。 $x^{2}$ の係数の式と定数項の式を組み合わせると、候補が有限個に絞れる。

$g (x) = x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32$ の3解を $r$ と $p \pm q i$ （ $q \neq = 0$ ）とする。条件より $r, p, q$ は整数で、(2) より $r < 0$ である。 $m = - r > 0$ とおく。

解と係数の関係より

和： $r + 2 p = - 8$ 、すなわち $m = 8 + 2 p$
積： $r (p^{2} + q^{2}) = - 32$ 、すなわち $m (p^{2} + q^{2}) = 32$
2つずつの積の和： $2 p r + (p^{2} + q^{2}) = 16 - k$

である。

候補を絞る。 $m = 8 + 2 p$ より $m$ は偶数で、 $m (p^{2} + q^{2}) = 32$ より $m$ は $32$ の約数である。よって $m \in {2, 4, 8, 16, 32}$ 。それぞれ $p = \frac{m - 8}{2}$ 、 $p^{2} + q^{2} = \frac{32}{m}$ を調べる。

m 2481632 p - 3 - 2 0412 p^{2} + q^{2} 168421 q^{2} 7 (\times) 4 (◯, q = \pm 2) 4 (◯, q = \pm 2) - 14 (\times) - 143 (\times)

$k$ を出す。

$m = 4$ （ $r = - 4$ 、 $p = - 2$ 、 $q = \pm 2$ ）： $2 p r + (p^{2} + q^{2}) = 2 (- 2) (- 4) + 8 = 24 = 16 - k$ より $k = - 8$
$m = 8$ （ $r = - 8$ 、 $p = 0$ 、 $q = \pm 2$ ）： $0 + 4 = 4 = 16 - k$ より $k = 12$

である。

確かめ。

k = - 8 k = 12 : f (x) = (x - 2) (x + 4) (x^{2} + 4 x + 8) \Rightarrow x = 2, - 4, - 2 \pm 2 i : f (x) = (x - 2) (x + 8) (x^{2} + 4) \Rightarrow x = 2, - 8, \pm 2 i

で、どちらも虚数解をもち、実数解も虚数解の実部・虚部もすべて整数である。したがって

k = - 8, 12

である。

$m (p^{2} + q^{2}) = 32$ 、 $m = 8 + 2 p$ を全探索すると $(m, p, q, k) = (4, - 2, 2, - 8), (8, 0, 2, 12)$ の2通りで、 $k = - 8$ の根 $2, - 4, - 2 \pm 2 i$ 、 $k = 12$ の根 $2, - 8, \pm 2 i$ はいずれも $f$ を $0$ にした。