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全4問・無料

九州大学　2022年度　前期日程　文科系

九大文系 2022年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　積分法

絶対値のついた放物線・接する条件・判別式・面積当サイトの体感難易度：やや難

(1) $a$ の値を求める

答 $a = 4$

$x^{2} + (3 - a) x - 3 a = (x + 3) (x - a)$ と因数分解できる。 $- 3 < a$ なので、 $- 3 < x < a$ では $C$ は放物線を折り返した形（上に凸）、それ以外では下に凸である。傾きが負の $ℓ$ が接するのは折り返した側で、判別式 $= 0$ を解く。

$x^{2} + (3 - a) x - 3 a = (x + 3) (x - a)$ なので $C : y = ∣ (x + 3) (x - a) ∣$ である。 $- 3 < a < 13$ より、 $- 3 < x < a$ では中身が負で

y = - (x + 3) (x - a) = - x^{2} + (a - 3) x + 3 a

（上に凸）、それ以外では

y = (x + 3) (x - a) = x^{2} - (a - 3) x - 3 a

（下に凸）である。

折り返した側との交わり。 $- x^{2} + (a - 3) x + 3 a = - x + 13$ を整理すると

x^{2} - (a - 2) x - (3 a - 13) = 0

で、判別式は

D_{1} = (a - 2)^{2} + 4 (3 a - 13) = a^{2} + 8 a - 48 = (a + 12) (a - 4)

である。 $D_{1} = 0$ となるのは $a = - 12$ か $a = 4$ で、 $- 3 < a < 13$ をみたすのは $a = 4$ である。

もとの側との交わり。 $x^{2} - (a - 3) x - 3 a = - x + 13$ を整理すると

x^{2} - (a - 4) x - (3 a + 13) = 0

で、判別式は

D_{2} = (a - 4)^{2} + 4 (3 a + 13) = a^{2} + 4 a + 68 = (a + 2)^{2} + 64 > 0

なので、こちらでは必ず異なる2点で交わり、接することはない。

よって $a = 4$ である。このとき接点は $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ より $x = 1$ で、 $1$ は $- 3 < x < 4$ にあるから確かに折り返した側の点である。接点は $(1, 12)$ である。

$a$ を $0.0001$ 刻みで動かして $D_{1} = 0$ となる値を探すと $a = 4$ だけだった。

$x^{2} + (3 - a) x - 3 a$ は $(x + 3) (x - a)$ と因数分解できる。これに気づくと折れ目が $x = - 3, a$ だと一目で分かる。

接する可能性は折り返した側だけではない、と最初に疑ってかかる。実際に $D_{2} > 0$ を確かめておく。

$a = - 12$ は範囲外なので捨てる。

(2) $C$ と $ℓ$ で囲まれた2つの図形のうち、点 $(a, 0)$ が境界線上にある図形の面積を求める

答 $\frac{41}{3}$

$a = 4$ なので $C : y = x^{2} - x - 12$ 、 $(a, 0) = (4, 0)$ である。 $C$ と $ℓ$ は $x = - 5, 1, 5$ で出会う（ $x = 1$ は接点）。 $(4, 0)$ は $x = 4$ の折れ目にあるので、 $1 \leq x \leq 5$ の側の図形を求める。

$a = 4$ より $C : y = ∣ (x + 3) (x - 4) ∣ = x^{2} - x - 12$ である。

交点。 折り返した側（ $- 3 < x < 4$ ）では $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ より $x = 1$ （接点）。もとの側では

x^{2} - x - 12 = - x + 13 ⟺ x^{2} = 25 ⟺ x = \pm 5

で、 $x = - 5 \leq - 3$ 、 $x = 5 \geq 4$ とどちらももとの側にある。よって $C$ と $ℓ$ は $x = - 5, 1, 5$ で出会い、囲まれる図形は $- 5 \leq x \leq 1$ と $1 \leq x \leq 5$ の2つである。

どちらを求めるか。 $(4, 0)$ は $x = 4$ で $C$ 上の点（ $y = 4^{2} - 4 - 12 = 0$ ）であり、 $1 \leq x \leq 5$ の側の境界にある。こちらを求める。

積分。 $1 \leq x \leq 4$ では $C = - x^{2} + x + 12$ 、 $4 \leq x \leq 5$ では $C = x^{2} - x - 12$ である。

S = \int_{1}^{4} {(- x + 13) - (- x^{2} + x + 12)} d x + \int_{4}^{5} {(- x + 13) - (x^{2} - x - 12)} d x = \int_{1}^{4} (x^{2} - 2 x + 1) d x + \int_{4}^{5} (25 - x^{2}) d x = \int_{1}^{4} (x - 1)^{2} d x + \int_{4}^{5} (25 - x^{2}) d x

である。それぞれ計算すると

\int_{1}^{4} (x - 1)^{2} d x \int_{4}^{5} (25 - x^{2}) d x = [\frac{( x - 1 ) ^{3}}{3}]_{1}^{4} = \frac{27}{3} = 9 = [25 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{4}^{5} = \frac{250}{3} - \frac{236}{3} = \frac{14}{3}

なので

S = 9 + \frac{14}{3} = \frac{41}{3}

である（ $13.67$ ほど）。

a = 4

のときの

C : y = x^{2} - x - 12

と

ℓ : y = - x + 13

。

x = 1

で接し、

x = - 5

と

x = 5

で交わる。点

(4, 0)

（折れ目）を境界にもつのは右側の図形で、その面積が

\frac{41}{3}

。左側（

- 5 \leq x \leq 1

）は

\frac{116}{3}

である。

数値積分すると右側が $13.666667 = \frac{41}{3}$ 、左側が $38.666667 = \frac{116}{3}$ になった。

$x = 4$ で $C$ が折れるので、積分を2つに分ける。

$(a, 0) = (4, 0)$ がどちらの図形の境界にあるかを確かめる。左側（ $- 5 \leq x \leq 1$ ）には含まれない。

$\int_{1}^{4} (x^{2} - 2 x + 1) d x$ は $(x - 1)^{2}$ の積分である。接しているので完全平方になる。

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第2問　空間ベクトル

外積・単位法線ベクトル・点と平面の距離・対称点当サイトの体感難易度：標準

(1) $a, b$ の両方に垂直で、 $x$ 成分が正、大きさが $1$ のベクトル $n$ を求める

答 $n = \frac{1}{3} (2, - 2, - 1)$

外積 $a \times b$ が両方に垂直なベクトルを与える。あとは大きさで割り、 $x$ 成分の符号を合わせる。

$a = (1, 1, 0)$ 、 $b = (2, 1, 2)$ である。外積は

a \times b = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 1, 0 \cdot 2 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2) = (2, - 2, - 1)

で、大きさは $4 + 4 + 1 = 3$ である。 $x$ 成分 $2 > 0$ なのでそのまま割って

n = \frac{1}{3} (2, - 2, - 1)

である。実際 $a \cdot n = \frac{2 - 2 + 0}{3} = 0$ 、 $b \cdot n = \frac{4 - 2 - 2}{3} = 0$ となっている。

外積を使わないなら $n = (p, q, r)$ とおいて $p + q = 0$ 、 $2 p + q + 2 r = 0$ 、 $p^{2} + q^{2} + r^{2} = 1$ を解く。 $q = - p$ 、 $r = - \frac{p}{2}$ から同じ答えになる。

$a \cdot n = b \cdot n = 0$ 、 $∣ n ∣ = 1$ を数値で確かめた。

「 $x$ 成分が正」という条件で向きが1つに決まる。 $- n$ のほうを答えない。

大きさ $1$ にするのを忘れない。 $(2, - 2, - 1)$ のままでは $∣ n ∣ = 3$ である。

(2)点 $P$ から平面 $α$ に垂線を下ろし、その交点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さを求める

答 $PQ = 3$

$α$ は原点を通り $n$ を法線とする平面なので、 $P$ から $α$ までの距離は $OP \cdot n$ である。 $n$ の大きさが $1$ なので割り算も要らない。

$α$ は $O, A, B$ を通る平面、すなわち原点を通り $n$ を法線にもつ平面である。 $P (4, 0, - 1)$ から $α$ に下ろした垂線の足 $Q$ について

OQ = OP - (OP \cdot n) n

であり、 $PQ = OP \cdot n$ である（ $∣ n ∣ = 1$ だから）。

OP \cdot n = \frac{4 \cdot 2 + 0 \cdot ( - 2 ) + ( - 1 ) \cdot ( - 1 )}{3} = \frac{8 + 1}{3} = 3

なので

PQ = 3

である。ついでに $OQ = (4, 0, - 1) - 3 \cdot \frac{1}{3} (2, - 2, - 1) = (2, 2, 0)$ で、 $Q (2, 2, 0)$ である。

$Q = (2, 2, 0)$ は $OQ \cdot n = \frac{4 - 4 - 0}{3} = 0$ で平面上にあり、 $PQ = ∣ (2, 2, 1) ∣ = 3$ である。

$∣ n ∣ = 1$ なので「点と平面の距離」が内積そのものになる。(1) で大きさを $1$ にしておいた効果である。

平面が原点を通るので定数項がない。通らない平面なら $AP \cdot n$ のように基準点をとる。

(3)平面 $α$ に関して点 $P$ と対称な点 $P^{'}$ の座標を求める

答 $P^{'} (0, 4, 1)$

平面 $α$ は原点を通るので、 $P$ から平面までの符号つき距離は $OP \cdot n$ である。対称点はそのぶんを2回ぶん戻した点になる。

平面 $α$ は $O, A, B$ を通る、すなわち原点を通り $n$ を法線とする平面である。 $P (4, 0, - 1)$ について

OP \cdot n = \frac{4 \cdot 2 + 0 \cdot ( - 2 ) + ( - 1 ) \cdot ( - 1 )}{3} = \frac{8 + 1}{3} = 3

である（ $P$ から平面までの距離が $3$ で、 $n$ の側にある）。対称点は

OP^{'} = OP - 2 (OP \cdot n) n = (4, 0, - 1) - 6 \cdot \frac{1}{3} (2, - 2, - 1) = (4, 0, - 1) - (4, - 4, - 2) = (0, 4, 1)

である。

確かめ。 中点は $(2, 2, 0)$ で、 $n$ との内積は $\frac{4 - 4 - 0}{3} = 0$ だから平面上にある。また $PP^{'} = (- 4, 4, 2) = - 6 n$ で $n$ に平行である。

中点 $(2, 2, 0)$ が平面上にあり、 $PP^{'}$ が $n$ の $- 6$ 倍であることを確かめた。

$2 (OP \cdot n) n$ の $2$ を忘れると、対称点ではなく垂線の足になる。

平面が原点を通るので定数項がない。通らない平面ならここに平行移動が入る。

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第3問　整式

因数定理・虚数解と共役・解と係数の関係・整数解の絞り込み当サイトの体感難易度：難

(1) $f (x)$ が $x - 2$ で割り切れることを示す

答 $f (2) = 16 + 48 - 4 k + 4 k - 64 = 0$

因数定理そのもの。 $k$ を含む2つの項がちょうど打ち消し合う。

$x = 2$ を代入すると

f (2) = 2^{4} + 6 \cdot 2^{3} - k \cdot 2^{2} + 2 k \cdot 2 - 64 = 16 + 48 - 4 k + 4 k - 64 = 0

である。 $- 4 k$ と $+ 4 k$ が打ち消すので、 $k$ によらず $f (2) = 0$ になる。因数定理より $f (x)$ は $x - 2$ で割り切れる。

実際に割ると

f (x) = (x - 2) {x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32}

となる。この3次式を $g (x)$ とおく。

$k$ をいくつか変えても $f (2) = 0$ になり、商が $x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32$ であることを確かめた。

$- k x^{2}$ と $+ 2 k x$ に $x = 2$ を入れると $- 4 k$ と $+ 4 k$ になる。ここが仕掛けである。

(2)方程式 $f (x) = 0$ は負の実数解をもつことを示す

答 $g$ の3解の積が $- 32$ で、虚数解の積は正だから残る実数解は負

$f (x) = 0$ が虚数解をもち、係数が実数なので、虚数解は共役の対で現れる。 $2$ はすでに実数解なので、残る3解（ $g$ の解）のうち2つが共役な虚数、1つが実数である。その実数解の符号を解と係数の関係で決める。

$f$ の係数は実数なので、虚数解は共役の対で現れる。(1) より $x = 2$ は実数解だから、残る3つ（ $g (x) = x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32 = 0$ の解）のうち2つが共役な虚数 $z, \overline{z}$ 、1つが実数 $r$ である。

解と係数の関係。 $g$ の3解の積は $- \frac{32}{1} = - 32$ なので

r \cdot z \overline{z} = - 32, すなわち r ∣ z ∣^{2} = - 32

である。 $z$ は虚数なので $z \neq = 0$ 、よって $∣ z ∣^{2} > 0$ である。したがって

r = - \frac{32}{∣ z ∣ ^{2}} < 0

となり、 $f (x) = 0$ は負の実数解 $r$ をもつ。

$k = - 8$ では $r = - 4$ 、 $k = 12$ では $r = - 8$ で、どちらも負だった。

「虚数解をもつ」という条件から、 $g$ の3解が「実数1つ＋共役な虚数2つ」に決まる。3つとも実数の場合は起こらない。

$z \overline{z} = ∣ z ∣^{2} > 0$ である。ここが符号を決める。

$g$ の定数項は $32$ 、最高次係数は $1$ なので、3解の積は $- 32$ である（ $(- 1)^{3} \cdot \frac{32}{1}$ ）。

(3) $f (x) = 0$ のすべての実数解が整数、すべての虚数解の実部と虚部がともに整数であるとき、 $k$ をすべて求める

答 $k = - 8, 12$

$g$ の3解を $r$ （負の整数）と $p \pm q i$ （ $p, q$ 整数、 $q \neq = 0$ ）として、係数比較（解と係数の関係）で3本の式を立てる。 $x^{2}$ の係数の式と定数項の式を組み合わせると、候補が有限個に絞れる。

$g (x) = x^{3} + 8 x^{2} + (16 - k) x + 32$ の3解を $r$ と $p \pm q i$ （ $q \neq = 0$ ）とする。条件より $r, p, q$ は整数で、(2) より $r < 0$ である。 $m = - r > 0$ とおく。

解と係数の関係より

和： $r + 2 p = - 8$ 、すなわち $m = 8 + 2 p$
積： $r (p^{2} + q^{2}) = - 32$ 、すなわち $m (p^{2} + q^{2}) = 32$
2つずつの積の和： $2 p r + (p^{2} + q^{2}) = 16 - k$

である。

候補を絞る。 $m = 8 + 2 p$ より $m$ は偶数で、 $m (p^{2} + q^{2}) = 32$ より $m$ は $32$ の約数である。よって $m \in {2, 4, 8, 16, 32}$ 。それぞれ $p = \frac{m - 8}{2}$ 、 $p^{2} + q^{2} = \frac{32}{m}$ を調べる。

m 2481632 p - 3 - 2 0412 p^{2} + q^{2} 168421 q^{2} 7 (\times) 4 (◯, q = \pm 2) 4 (◯, q = \pm 2) - 14 (\times) - 143 (\times)

$k$ を出す。

$m = 4$ （ $r = - 4$ 、 $p = - 2$ 、 $q = \pm 2$ ）： $2 p r + (p^{2} + q^{2}) = 2 (- 2) (- 4) + 8 = 24 = 16 - k$ より $k = - 8$
$m = 8$ （ $r = - 8$ 、 $p = 0$ 、 $q = \pm 2$ ）： $0 + 4 = 4 = 16 - k$ より $k = 12$

である。

確かめ。

k = - 8 k = 12 : f (x) = (x - 2) (x + 4) (x^{2} + 4 x + 8) \Rightarrow x = 2, - 4, - 2 \pm 2 i : f (x) = (x - 2) (x + 8) (x^{2} + 4) \Rightarrow x = 2, - 8, \pm 2 i

で、どちらも虚数解をもち、実数解も虚数解の実部・虚部もすべて整数である。したがって

k = - 8, 12

である。

$m (p^{2} + q^{2}) = 32$ 、 $m = 8 + 2 p$ を全探索すると $(m, p, q, k) = (4, - 2, 2, - 8), (8, 0, 2, 12)$ の2通りで、 $k = - 8$ の根 $2, - 4, - 2 \pm 2 i$ 、 $k = 12$ の根 $2, - 8, \pm 2 i$ はいずれも $f$ を $0$ にした。

$m = 8 + 2 p$ から $m$ が偶数と分かる。 $m ∣ 32$ と合わせて候補が5つに減る。

$q \neq = 0$ （虚数解）なので $q^{2} \geq 1$ が必要である。 $q^{2} = 0$ の場合は除く。

$q^{2}$ が平方数になるかも確かめる。 $m = 2$ では $q^{2} = 7$ で整数にならない。

最後に $f$ を実際に因数分解して、条件をすべてみたすことを確かめておく。

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第4問　積分法

定積分の定義・導関数の定義・関数の増減・区分求積法当サイトの体感難易度：やや難

(1) ${F (x) + G (x)}^{'} = F^{'} (x) + G^{'} (x)$ を導関数の定義から示し、これと定積分の定義 ① から $\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ を示す

答差分商を2つに分け、それぞれの極限が存在することから和の極限を得る。あとは $F + G$ が $f + g$ の原始関数になることを ① に入れる

どちらも定義どおりに書き下すだけである。前半は「極限の和は和の極限」、後半は「 $F + G$ が $f + g$ の原始関数」という一言で済む。

前半。 $H (x) = F (x) + G (x)$ とおくと、 $h \neq = 0$ について

\frac{H ( x + h ) - H ( x )}{h} = \frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} + \frac{G ( x + h ) - G ( x )}{h}

である。 $F, G$ は微分可能なので、 $h \to 0$ のとき右辺の2つの極限はそれぞれ $F^{'} (x)$ 、 $G^{'} (x)$ として存在する。極限の和の性質より左辺の極限も存在して

H^{'} (x) = F^{'} (x) + G^{'} (x)

である。

後半。 $F^{'} = f$ 、 $G^{'} = g$ となる $F, G$ をとる。前半より

(F + G)^{'} = F^{'} + G^{'} = f + g

なので、 $F + G$ は $f + g$ の原始関数である。定義 ① を $f + g$ に対して使うと

\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = {F (b) + G (b)} - {F (a) + G (a)} = {F (b) - F (a)} + {G (b) - G (a)} = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x

である（最後の等号で $f, g$ それぞれに ① を使った）。

$f = x^{2}$ 、 $g = sin x$ 、 $[a, b] = [0, 1]$ で両辺を計算すると、どちらも $\frac{1}{3} + 1 - cos 1$ になる。

「極限が存在するから分けてよい」の順に書く。 $F^{'}, G^{'}$ が存在することが仮定である。

定義 ① は「原始関数の差」である。原始関数の取り方によらないと問題文にあるので、好きな $F, G$ をとってよい。

(2)定積分の定義 ① と、関数の増減と導関数の関係を用いて、 $a < b$ かつ区間 $a \leq x \leq b$ で $g (x) > 0$ ならば $\int_{a}^{b} g (x) d x > 0$ であることを示す

答原始関数 $G$ は $G^{'} = g > 0$ より増加するので $G (b) > G (a)$

「導関数が正なら増加」をそのまま使う。 $\int_{a}^{b} g = G (b) - G (a)$ なので、 $G$ が増加すれば正だと分かる。

$G^{'} (x) = g (x)$ となる $G$ をとる。定義 ① より

\int_{a}^{b} g (x) d x = G (b) - G (a)

である。

$G$ は増加する。 区間 $a \leq x \leq b$ で $G^{'} (x) = g (x) > 0$ なので、関数の増減と導関数の関係より $G$ はこの区間で（狭義）増加する。

$a < b$ だから

G (b) > G (a), すなわち \int_{a}^{b} g (x) d x = G (b) - G (a) > 0

である。

この (2) は、性質 (C) を「差 $g - h$ に使う」ときの土台になる。 $g \geq h$ なら $\int (g - h) \geq 0$ 、つまり $\int g \geq \int h$ である。

$g (x) = x^{2} + 1 > 0$ 、 $[a, b] = [0, 2]$ で $\int = \frac{8}{3} + 2 > 0$ となり、確かに正である。

「 $g > 0$ だから積分も正」は見た目には当たり前だが、ここでは定義 ① から導くことが求められている。

増減を調べる相手は $g$ ではなく原始関数 $G$ である。

$a < b$ を使う。 $a = b$ なら積分は $0$ になってしまう。

(3)空欄アに入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ② を示す

答ア $=$ (C)

$f$ が増加関数なので、小区間 $[\frac{i - 1}{n}, \frac{i}{n}]$ 上では $f$ の値が両端の値の間にある。これを定数関数と比べるのが性質 (C) である。定数の定積分は ① から直接計算できる。

空欄アは (C)（大小関係が定積分に移る性質）である。

定数の定積分。 定数 $k$ に対し $(k x)^{'} = k$ なので、① より

\int_{a}^{b} k d x = k b - k a = k (b - a)

である。

不等式 ②。 $f$ は増加関数なので、 $\frac{i - 1}{n} \leq x \leq \frac{i}{n}$ では

f (\frac{i - 1}{n}) \leq f (x) \leq f (\frac{i}{n})

が成り立つ。左の不等式に (C) を（ $g = f$ 、 $h =$ 定数 $f (\frac{i - 1}{n})$ として）適用すると

\int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x \geq \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (\frac{i - 1}{n}) d x = f (\frac{i - 1}{n}) \cdot \frac{1}{n}

である（区間の幅が $\frac{i}{n} - \frac{i - 1}{n} = \frac{1}{n}$ ）。右の不等式に同じく (C) を適用すると

\int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x \leq f (\frac{i}{n}) \cdot \frac{1}{n}

である。2つを合わせて ② が得られる。

$f (x) = x^{3} + e^{x}$ 、 $n = 10$ 、 $i = 4$ で $\frac{1}{10} f (0.3) = 0.1619$ 、 $\int_{0.3}^{0.4} f = 0.1697$ 、 $\frac{1}{10} f (0.4) = 0.1856$ となり、② のとおり挟まれている。

区間の幅が $\frac{1}{n}$ であることから $\frac{1}{n}$ が出る。 $f$ の値そのものが積分値になるのではない。

$f$ が増加関数だから、左端で最小・右端で最大になる。減少関数なら不等号が逆になる。

(4)空欄イに入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ③ を示す

答イ $=$ (B)

$\int_{0}^{1}$ を $n$ 個の小区間の和に分けるのが性質 (B) である。② を $i = 1$ から $n$ まで足すと、左側から $S_{n}$ が、右側から「右端和」が出てくる。2つの差は途中が打ち消し合って $\frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n}$ になる。

空欄イは (B)（区間を分けて足す性質）である。これを繰り返し使うと

\int_{0}^{1} f (x) d x = i = 1 \sum n \int_{\frac{i - 1}{n}}^{\frac{i}{n}} f (x) d x

である。

左側の不等式。 ② の左側を $i = 1$ から $n$ まで足すと

\int_{0}^{1} f (x) d x \geq i = 1 \sum n \frac{1}{n} f (\frac{i - 1}{n}) = S_{n}

すなわち $\int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} \geq 0$ である。

右側の不等式。 ② の右側を足すと

\int_{0}^{1} f (x) d x \leq i = 1 \sum n \frac{1}{n} f (\frac{i}{n}) = T_{n}

とおける。ここで

T_{n} - S_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n {f (\frac{i}{n}) - f (\frac{i - 1}{n})} = \frac{1}{n} {f (1) - f (0)}

である（途中の項が次々に打ち消し合う）。したがって

\int_{0}^{1} f (x) d x - S_{n} \leq T_{n} - S_{n} = \frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n}

となり、2つを合わせて ③ が示された。

$f$ が増加関数なので $f (1) - f (0) \geq 0$ であり、③ の右辺は $n \to \infty$ で $0$ に収束する。はさみうちの原理から $S_{n} \to \int_{0}^{1} f (x) d x$ がしたがう。これが区分求積法である。

$f (x) = x^{3} + e^{x}$ （増加関数、 $f (1) - f (0) = e$ ）で $n = 100$ とすると $\int_{0}^{1} f - S_{n} = 0.01351$ で、 $\frac{f ( 1 ) - f ( 0 )}{n} = 0.02718$ 以下である。 $f (x) = x + 1$ でも $n = 10, 100, 1000$ で ③ が成り立った。

(B) は「 $a \leq c \leq b$ のとき2つに分ける」形だが、これを繰り返せば $n$ 個に分けられる。そのことを一言添えておく。

$S_{n}$ は左端の値を使う和である。 $T_{n}$ （右端の和）と取り違えない。

$T_{n} - S_{n}$ が望遠鏡のように打ち消し合うのが要点。 $f (1) - f (0)$ だけが残る。

第4問だけのページ

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問題文について

(1)a の値を求める

(2)C と ℓ で囲まれた2つの図形のうち、点 (a,0) が境界線上にある図形の面積を求める

(1)a,b の両方に垂直で、x 成分が正、大きさが 1 のベクトル n を求める

(2)点 P から平面 α に垂線を下ろし、その交点を Q とするとき、線分 PQ の長さを求める

(3)平面 α に関して点 P と対称な点 P′ の座標を求める

(1)f(x) が x−2 で割り切れることを示す

(2)方程式 f(x)=0 は負の実数解をもつことを示す

(3)f(x)=0 のすべての実数解が整数、すべての虚数解の実部と虚部がともに整数であるとき、k をすべて求める

(1){F(x)+G(x)}′=F′(x)+G′(x) を導関数の定義から示し、これと定積分の定義 ① から ∫ab​{f(x)+g(x)}dx=∫ab​f(x)dx+∫ab​g(x)dx を示す

(2)定積分の定義 ① と、関数の増減と導関数の関係を用いて、a<b かつ区間 a≤x≤b で g(x)>0 ならば ∫ab​g(x)dx>0 であることを示す

(3)空欄 ア に入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ② を示す

(4)空欄 イ に入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ③ を示す

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(1) $a$ の値を求める

(2) $C$ と $ℓ$ で囲まれた2つの図形のうち、点 $(a, 0)$ が境界線上にある図形の面積を求める

(1) $a, b$ の両方に垂直で、 $x$ 成分が正、大きさが $1$ のベクトル $n$ を求める

(2)点 $P$ から平面 $α$ に垂線を下ろし、その交点を $Q$ とするとき、線分 $PQ$ の長さを求める

(3)平面 $α$ に関して点 $P$ と対称な点 $P^{'}$ の座標を求める

(1) $f (x)$ が $x - 2$ で割り切れることを示す

(2)方程式 $f (x) = 0$ は負の実数解をもつことを示す

(3) $f (x) = 0$ のすべての実数解が整数、すべての虚数解の実部と虚部がともに整数であるとき、 $k$ をすべて求める

(1) ${F (x) + G (x)}^{'} = F^{'} (x) + G^{'} (x)$ を導関数の定義から示し、これと定積分の定義 ① から $\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$ を示す

(2)定積分の定義 ① と、関数の増減と導関数の関係を用いて、 $a < b$ かつ区間 $a \leq x \leq b$ で $g (x) > 0$ ならば $\int_{a}^{b} g (x) d x > 0$ であることを示す

(3)空欄アに入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ② を示す

(4)空欄イに入る記号を (A), (B), (C) から選び、不等式 ③ を示す