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九州大学　2022年度　前期日程　文科系

第1問積分法の解答・解説

絶対値のついた放物線・接する条件・判別式・面積当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1) $a$ の値を求める

答 $a = 4$

$x^{2} + (3 - a) x - 3 a = (x + 3) (x - a)$ と因数分解できる。 $- 3 < a$ なので、 $- 3 < x < a$ では $C$ は放物線を折り返した形（上に凸）、それ以外では下に凸である。傾きが負の $ℓ$ が接するのは折り返した側で、判別式 $= 0$ を解く。

$x^{2} + (3 - a) x - 3 a = (x + 3) (x - a)$ なので $C : y = ∣ (x + 3) (x - a) ∣$ である。 $- 3 < a < 13$ より、 $- 3 < x < a$ では中身が負で

y = - (x + 3) (x - a) = - x^{2} + (a - 3) x + 3 a

（上に凸）、それ以外では

y = (x + 3) (x - a) = x^{2} - (a - 3) x - 3 a

（下に凸）である。

折り返した側との交わり。 $- x^{2} + (a - 3) x + 3 a = - x + 13$ を整理すると

x^{2} - (a - 2) x - (3 a - 13) = 0

で、判別式は

D_{1} = (a - 2)^{2} + 4 (3 a - 13) = a^{2} + 8 a - 48 = (a + 12) (a - 4)

である。 $D_{1} = 0$ となるのは $a = - 12$ か $a = 4$ で、 $- 3 < a < 13$ をみたすのは $a = 4$ である。

もとの側との交わり。 $x^{2} - (a - 3) x - 3 a = - x + 13$ を整理すると

x^{2} - (a - 4) x - (3 a + 13) = 0

で、判別式は

D_{2} = (a - 4)^{2} + 4 (3 a + 13) = a^{2} + 4 a + 68 = (a + 2)^{2} + 64 > 0

なので、こちらでは必ず異なる2点で交わり、接することはない。

よって $a = 4$ である。このとき接点は $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ より $x = 1$ で、 $1$ は $- 3 < x < 4$ にあるから確かに折り返した側の点である。接点は $(1, 12)$ である。

$a$ を $0.0001$ 刻みで動かして $D_{1} = 0$ となる値を探すと $a = 4$ だけだった。

$x^{2} + (3 - a) x - 3 a$ は $(x + 3) (x - a)$ と因数分解できる。これに気づくと折れ目が $x = - 3, a$ だと一目で分かる。

接する可能性は折り返した側だけではない、と最初に疑ってかかる。実際に $D_{2} > 0$ を確かめておく。

$a = - 12$ は範囲外なので捨てる。

(2) $C$ と $ℓ$ で囲まれた2つの図形のうち、点 $(a, 0)$ が境界線上にある図形の面積を求める

答 $\frac{41}{3}$

$a = 4$ なので $C : y = x^{2} - x - 12$ 、 $(a, 0) = (4, 0)$ である。 $C$ と $ℓ$ は $x = - 5, 1, 5$ で出会う（ $x = 1$ は接点）。 $(4, 0)$ は $x = 4$ の折れ目にあるので、 $1 \leq x \leq 5$ の側の図形を求める。

$a = 4$ より $C : y = ∣ (x + 3) (x - 4) ∣ = x^{2} - x - 12$ である。

交点。 折り返した側（ $- 3 < x < 4$ ）では $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ より $x = 1$ （接点）。もとの側では

x^{2} - x - 12 = - x + 13 ⟺ x^{2} = 25 ⟺ x = \pm 5

で、 $x = - 5 \leq - 3$ 、 $x = 5 \geq 4$ とどちらももとの側にある。よって $C$ と $ℓ$ は $x = - 5, 1, 5$ で出会い、囲まれる図形は $- 5 \leq x \leq 1$ と $1 \leq x \leq 5$ の2つである。

どちらを求めるか。 $(4, 0)$ は $x = 4$ で $C$ 上の点（ $y = 4^{2} - 4 - 12 = 0$ ）であり、 $1 \leq x \leq 5$ の側の境界にある。こちらを求める。

積分。 $1 \leq x \leq 4$ では $C = - x^{2} + x + 12$ 、 $4 \leq x \leq 5$ では $C = x^{2} - x - 12$ である。

S = \int_{1}^{4} {(- x + 13) - (- x^{2} + x + 12)} d x + \int_{4}^{5} {(- x + 13) - (x^{2} - x - 12)} d x = \int_{1}^{4} (x^{2} - 2 x + 1) d x + \int_{4}^{5} (25 - x^{2}) d x = \int_{1}^{4} (x - 1)^{2} d x + \int_{4}^{5} (25 - x^{2}) d x

である。それぞれ計算すると

\int_{1}^{4} (x - 1)^{2} d x \int_{4}^{5} (25 - x^{2}) d x = [\frac{( x - 1 ) ^{3}}{3}]_{1}^{4} = \frac{27}{3} = 9 = [25 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{4}^{5} = \frac{250}{3} - \frac{236}{3} = \frac{14}{3}

なので

S = 9 + \frac{14}{3} = \frac{41}{3}

である（ $13.67$ ほど）。

a = 4

のときの

C : y = x^{2} - x - 12

と

ℓ : y = - x + 13

。

x = 1

で接し、

x = - 5

と

x = 5

で交わる。点

(4, 0)

（折れ目）を境界にもつのは右側の図形で、その面積が

\frac{41}{3}

。左側（

- 5 \leq x \leq 1

）は

\frac{116}{3}

である。

数値積分すると右側が $13.666667 = \frac{41}{3}$ 、左側が $38.666667 = \frac{116}{3}$ になった。

$x = 4$ で $C$ が折れるので、積分を2つに分ける。

$(a, 0) = (4, 0)$ がどちらの図形の境界にあるかを確かめる。左側（ $- 5 \leq x \leq 1$ ）には含まれない。

$\int_{1}^{4} (x^{2} - 2 x + 1) d x$ は $(x - 1)^{2}$ の積分である。接しているので完全平方になる。

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(1)a の値を求める

(2)C と ℓ で囲まれた2つの図形のうち、点 (a,0) が境界線上にある図形の面積を求める

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