第2問 空間ベクトルの解答・解説

$\vec{a}=(1,1,0)$、$\vec{b}=(2,1,2)$ である。外積は

で、大きさは $\sqrt{4+4+1}=3$ である。$x$ 成分 $2>0$ なのでそのまま割って

である。実際 $\vec{a}\cdot \vec{n}=\frac{2-2+0}{3}=0$、$\vec{b}\cdot \vec{n}=\frac{4-2-2}{3}=0$ となっている。

外積を使わないなら $\vec{n}=(p,q,r)$ とおいて $p+q=0$、$2p+q+2r=0$、$p^2+q^2+r^2=1$ を解く。$q=-p$、$r=-\frac{p}{2}$ から同じ答えになる。

$\alpha$ は $\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ を通る平面、すなわち原点を通り $\vec{n}$ を法線にもつ平面である。$\mathrm{P}(4,0,-1)$ から $\alpha$ に下ろした垂線の足 $\mathrm{Q}$ について

であり、$\mathrm{PQ}=\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{n}\right|$ である（$\left|\vec{n}\right|=1$ だから）。

なので

である。ついでに $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(4,0,-1)-3\cdot \frac{1}{3}(2,-2,-1)=(2,2,0)$ で、$\mathrm{Q}(2,2,0)$ である。

平面 $\alpha$ は $\mathrm{O},\mathrm{A},\mathrm{B}$ を通る、すなわち原点を通り $\vec{n}$ を法線とする平面である。$\mathrm{P}(4,0,-1)$ について

である（$\mathrm{P}$ から平面までの距離が $3$ で、$\vec{n}$ の側にある）。対称点は

である。

確かめ。 中点は $\left(2,2,0\right)$ で、$\vec{n}$ との内積は $\frac{4-4-0}{3}=0$ だから平面上にある。また $\overrightarrow{{\mathrm{PP}}^{\prime }}=(-4,4,2)=-6\vec{n}$ で $\vec{n}$ に平行である。