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九州大学　2019年度　前期日程　文科系

第3問空間ベクトルの解答・解説

平面の法線・点と平面の距離・四面体の体積・三角関数の合成当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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(1)点 $P$ から平面 $α$ に下ろした垂線と $α$ との交点を $H$ とするとき、線分 $PH$ の長さを $p, q$ を用いて表す

答 $PH = \frac{∣ q - p - 1 ∣}{2}$

$AB$ と $AC$ の外積で法線を求め、平面の方程式を書く。あとは点と平面の距離の公式である。

$AB = (2, 0, 0)$ 、 $AC = (3, 3, 3)$ なので、法線ベクトルは

AB \times AC = (0 \cdot 3 - 0 \cdot 3, 0 \cdot 3 - 2 \cdot 3, 2 \cdot 3 - 0 \cdot 3) = (0, - 6, 6)

で、 $(0, - 1, 1)$ に平行である。 $A (1, 2, 3)$ を通るので平面 $α$ は

0 \cdot (x - 1) - 1 \cdot (y - 2) + 1 \cdot (z - 3) = 0 ⟺ - y + z - 1 = 0

である（ $B, C$ も代入すると成り立つ）。

距離。 $P (6, p, q)$ との距離は

PH = \frac{∣ - p + q - 1 ∣}{0 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣ q - p - 1 ∣}{2}

である。

平面の式に $x$ が出てこない。 $AB$ が $x$ 軸方向なので、 $α$ は $x$ 軸に平行な平面になっている。だから $P$ の $x$ 座標 $6$ は距離に効かない。

$(p, q) = (9, 7), (10, 7), (9, 8)$ で $\frac{∣ q - p - 1 ∣}{2}$ を計算すると $2.12132, 2.828427, 1.414214$ で、外積から直接求めた距離と一致した。

法線は $(0, - 6, 6)$ でも $(0, - 1, 1)$ でもよいが、距離の公式では分母にその大きさを使う。約分した形で揃える。

$P$ は $α$ 上にないので $q - p - 1 \neq = 0$ である。絶対値は外せない。

(2)点 $P$ が $(p - 9)^{2} + (q - 7)^{2} = 1$ をみたしながら動くとき、四面体 $ABCP$ の体積の最大値と最小値を求める

答最大値 $3 + 2$ 、最小値 $3 - 2$

体積は $\frac{1}{3} △ ABC \cdot PH$ である。 $△ ABC$ は定数なので、 $PH$ の最大・最小を求めればよい。 $p, q$ を三角関数で表して合成する。

底面積。 $△ ABC = \frac{1}{2} AB \times AC = \frac{1}{2} ∣ (0, - 6, 6) ∣ = \frac{1}{2} \cdot 62 = 32$ である。

体積。 (1) より

V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot \frac{∣ q - p - 1 ∣}{2} = ∣ q - p - 1 ∣

である（ $2$ がきれいに約分される）。

$q - p - 1$ の動く範囲。 $p = 9 + cos θ$ 、 $q = 7 + sin θ$ とおくと

q - p - 1 = (7 + sin θ) - (9 + cos θ) - 1 = - 3 + sin θ - cos θ = - 3 + 2 sin (θ - \frac{π}{4})

である。 $sin$ は $- 1$ から $1$ まで動くので

- 3 - 2 \leq q - p - 1 \leq - 3 + 2

で、 $2 = 1.414 < 3$ だからこの値はつねに負である。したがって

V = ∣ q - p - 1 ∣ = 3 - 2 sin (θ - \frac{π}{4})

となり

3 - 2 \leq V \leq 3 + 2

である。よって最大値 $3 + 2$ 、最小値 $3 - 2$ である（ $4.414$ と $1.586$ ）。

$V$ が $0$ にならないので、 $P$ は円周上のどこにあっても $α$ 上に来ない。「 $P$ は $α$ 上にない」という条件が自動的にみたされている。

$P$ を円周上 $6$ 万点以上動かして体積を計算すると、最小 $1.585786438$ 、最大 $4.414213562$ で、 $3 \mp 2$ と一致した。

$2$ が約分されて $V = ∣ q - p - 1 ∣$ というきれいな式になる。ここで計算が軽くなる。

$sin θ - cos θ = 2 sin (θ - \frac{π}{4})$ の合成。係数 $2$ を忘れない。

$- 3 + 2 < 0$ なので絶対値は符号を反転させる。 $V$ の最大は $sin = - 1$ のときである。

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問題文について

(1)点 P から平面 α に下ろした垂線と α との交点を H とするとき、線分 PH の長さを p,q を用いて表す

(2)点 P が (p−9)2+(q−7)2=1 をみたしながら動くとき、四面体 ABCP の体積の最大値と最小値を求める

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