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九州大学　2019年度　前期日程　文科系

第2問微分法の解答・解説

極値をもつ条件・極大値と極小値の差・3次方程式・絶対値当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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3次関数 $y = x^{3} - k x^{2} + k x + 1$ が極大値と極小値をもち、極大値から極小値を引いた値が $4 ∣ k ∣^{3}$ になるとき、 $k$ の値を求める

答 $k = - \frac{3}{8}$

$y^{'} = 3 x^{2} - 2 k x + k$ の2解を $α < β$ とすると、 $α$ が極大、 $β$ が極小である。差を $α, β$ の対称式で表すと、 $(β - α)$ と $k$ だけの式になる。

$y^{'} = 3 x^{2} - 2 k x + k$ である。極大値と極小値をもつ条件は $y^{'} = 0$ が異なる2つの実数解をもつことで

\frac{D}{4} = k^{2} - 3 k > 0 ⟺ k < 0 または k > 3

である。2解を $α < β$ とすると $x^{3}$ の係数が正なので、 $x = α$ で極大、 $x = β$ で極小である。

差を計算する。 $f (x) = x^{3} - k x^{2} + k x + 1$ とおくと

f (α) - f (β) = (α^{3} - β^{3}) - k (α^{2} - β^{2}) + k (α - β)

で、 $α - β$ でくくると

= (α - β) {(α^{2} + α β + β^{2}) - k (α + β) + k}

である。解と係数の関係より $α + β = \frac{2 k}{3}$ 、 $α β = \frac{k}{3}$ なので

α^{2} + α β + β^{2} {\dots} = (α + β)^{2} - α β = \frac{4 k ^{2}}{9} - \frac{k}{3} = \frac{4 k ^{2}}{9} - \frac{k}{3} - \frac{2 k ^{2}}{3} + k = - \frac{2 k ^{2}}{9} + \frac{2 k}{3} = - \frac{2}{9} (k^{2} - 3 k)

である。また

β - α = \frac{2 k ^{2} - 3 k}{3}, α - β = - \frac{2}{3} k^{2} - 3 k

なので

f (α) - f (β) = (- \frac{2}{3} k^{2} - 3 k) (- \frac{2}{9} (k^{2} - 3 k)) = \frac{4}{27} (k^{2} - 3 k)^{3/2}

である（正になっていて、確かに極大 $-$ 極小）。

方程式を解く。 条件は

\frac{4}{27} (k^{2} - 3 k)^{3/2} = 4 ∣ k ∣^{3}

すなわち

(k^{2} - 3 k)^{3/2} = 27 ∣ k ∣^{3} = (3 ∣ k ∣)^{3} = (9 k^{2})^{3/2}

である。両辺とも $0$ 以上なので $\frac{2}{3}$ 乗して

k^{2} - 3 k = 9 k^{2} ⟺ 8 k^{2} + 3 k = 0 ⟺ k (8 k + 3) = 0

である。 $k = 0$ では $k^{2} - 3 k = 0$ となり極値をもたないので不適。よって

k = - \frac{3}{8}

である。これは $k < 0$ をみたし、 $k^{2} - 3 k = \frac{9}{64} + \frac{9}{8} = \frac{81}{64} > 0$ で確かに極値をもつ。

実線が（極大値

-

極小値）

= \frac{4}{27} (k^{2} - 3 k)^{3/2}

、点線が

4 ∣ k ∣^{3}

。極値をもつのは

k < 0

と

k > 3

の部分だけで、2つが交わるのは

k = - \frac{3}{8}

の1か所である（

k \to 0

では両方

0

に近づくが、そこでは極値が消える）。

$k = - \frac{3}{8}$ で極大値 $-$ 極小値を実際に計算すると $0.2109375$ 、 $4 ∣ k ∣^{3} = 0.2109375$ で一致した。 $k$ を $70$ 万点に刻んで条件をみたす値を探すと $- 0.375$ だけだった。

「極大値と極小値をもつ」ので $k^{2} - 3 k > 0$ 、つまり $k < 0$ または $k > 3$ である。これを先に押さえる。

$x^{3}$ の係数が正なので、小さいほうの解 $α$ が極大である。逆にすると符号が反転する。

$27 ∣ k ∣^{3} = (9 k^{2})^{3/2}$ と書き直すのがポイント。 $∣ k ∣$ のまま2乗・3乗すると場合分けが増える。

$k = 0$ は式の上では解だが、極値をもたないので答えにならない。

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3次関数 y=x3−kx2+kx+1 が極大値と極小値をもち、極大値から極小値を引いた値が 4∣k∣3 になるとき、k の値を求める

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