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九州大学　2019年度　前期日程　文科系

第1問確率の解答・解説

常用対数・桁数・反復試行・二項係数当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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表に $3$ 、裏に $8$ が書かれた硬貨を $10$ 回投げるとき、出た数字 $10$ 個の積が $8$ 桁になる確率を求める（ $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ ）

答 $\frac{165}{512}$

表が $k$ 回出たときの積は $3^{k} \cdot 8^{10 - k}$ である。常用対数をとると $k$ の1次式になるので、「 $8$ 桁」 $⟺$ 「 $7 \leq lo g_{10} (積) < 8$ 」を $k$ の不等式に直す。

表が $k$ 回（ $0 \leq k \leq 10$ ）出たとすると、積は

P_{k} = 3^{k} \cdot 8^{10 - k} = 3^{k} \cdot 2^{3 (10 - k)}

である。常用対数をとると

lo g_{10} P_{k} = k lo g_{10} 3 + (30 - 3 k) lo g_{10} 2 = 0.4771 k + (30 - 3 k) \times 0.3010 = 0.4771 k + 9.03 - 0.903 k = 9.03 - 0.4259 k

である。

$8$ 桁の条件。 $P_{k}$ が $8$ 桁 $⟺$ $1 0^{7} \leq P_{k} < 1 0^{8}$ $⟺$ $7 \leq lo g_{10} P_{k} < 8$ である。

7 \leq 9.03 - 0.4259 k < 8

を解く。各辺から $9.03$ を引いて $- 1$ を掛けると（不等号が逆転して）

1.03 < 0.4259 k \leq 2.03

すなわち

\frac{1.03}{0.4259} < k \leq \frac{2.03}{0.4259}

である。 $\frac{1.03}{0.4259} = 2.418 \dots$ 、 $\frac{2.03}{0.4259} = 4.766 \dots$ なので、 $k$ は整数より

k = 3, 4

である。

確率。 表が $k$ 回出る確率は $\frac{_{10} C _{k}}{2 ^{10}}$ なので

P = \frac{_{10} C _{3} + _{10} C _{4}}{2 ^{10}} = \frac{120 + 210}{1024} = \frac{330}{1024} = \frac{165}{512}

である（ $0.322$ ほど）。

実際に計算すると $P_{3} = 27 \cdot 8^{7} = 56623104$ 、 $P_{4} = 81 \cdot 8^{6} = 21233664$ でどちらも $8$ 桁、 $P_{2} = 150994944$ は $9$ 桁、 $P_{5} = 7962624$ は $7$ 桁である。

$k = 0, \dots, 10$ で $3^{k} \cdot 8^{10 - k}$ を実際に計算すると、 $8$ 桁になるのは $k = 3, 4$ だけだった。確率は $\frac{330}{1024} = \frac{165}{512}$ である。

$lo g_{10} P_{k}$ は $k$ の減少関数である（係数が $- 0.4259$ ）。不等式を $k$ について解くとき向きが逆になる。

$8$ で割り切れる形にせず、 $8 = 2^{3}$ として $lo g_{10} 2$ を使う。 $lo g_{10} 8 = 3 \times 0.3010 = 0.903$ 。

$n$ 桁の条件は $1 0^{n - 1} \leq P < 1 0^{n}$ である。 $\leq$ と $<$ の向きを合わせる。

$\frac{1.03}{0.4259} = 2.418$ は $2$ より大きいので $k = 2$ は入らない。境目を丁寧に見る。

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問題文について

表に 3、裏に 8 が書かれた硬貨を 10 回投げるとき、出た数字 10 個の積が 8 桁になる確率を求める（log10​2=0.3010、log10​3=0.4771）

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