独自の解答・詳解
問題文は非掲載
全4問・無料

九州大学　2019年度　前期日程　文科系

九大文系 2019年度数学の解答・解説

全4問。当サイトで独自に解いた解答・計算過程・詳解・別解を、大問ごとに載せています。

最終更新 2026/10/12

問題文について

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。文科系の問題文は、この年度については大学が公開していません（2026/10/12時点）。お手元の過去問集・赤本などでご確認ください。

問題を転載している非公式サイトへのリンクは、当サイトでは行っていません。

第1問　確率

常用対数・桁数・反復試行・二項係数当サイトの体感難易度：標準

表に $3$ 、裏に $8$ が書かれた硬貨を $10$ 回投げるとき、出た数字 $10$ 個の積が $8$ 桁になる確率を求める（ $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ ）

答 $\frac{165}{512}$

表が $k$ 回出たときの積は $3^{k} \cdot 8^{10 - k}$ である。常用対数をとると $k$ の1次式になるので、「 $8$ 桁」 $⟺$ 「 $7 \leq lo g_{10} (積) < 8$ 」を $k$ の不等式に直す。

表が $k$ 回（ $0 \leq k \leq 10$ ）出たとすると、積は

P_{k} = 3^{k} \cdot 8^{10 - k} = 3^{k} \cdot 2^{3 (10 - k)}

である。常用対数をとると

lo g_{10} P_{k} = k lo g_{10} 3 + (30 - 3 k) lo g_{10} 2 = 0.4771 k + (30 - 3 k) \times 0.3010 = 0.4771 k + 9.03 - 0.903 k = 9.03 - 0.4259 k

である。

$8$ 桁の条件。 $P_{k}$ が $8$ 桁 $⟺$ $1 0^{7} \leq P_{k} < 1 0^{8}$ $⟺$ $7 \leq lo g_{10} P_{k} < 8$ である。

7 \leq 9.03 - 0.4259 k < 8

を解く。各辺から $9.03$ を引いて $- 1$ を掛けると（不等号が逆転して）

1.03 < 0.4259 k \leq 2.03

すなわち

\frac{1.03}{0.4259} < k \leq \frac{2.03}{0.4259}

である。 $\frac{1.03}{0.4259} = 2.418 \dots$ 、 $\frac{2.03}{0.4259} = 4.766 \dots$ なので、 $k$ は整数より

k = 3, 4

である。

確率。 表が $k$ 回出る確率は $\frac{_{10} C _{k}}{2 ^{10}}$ なので

P = \frac{_{10} C _{3} + _{10} C _{4}}{2 ^{10}} = \frac{120 + 210}{1024} = \frac{330}{1024} = \frac{165}{512}

である（ $0.322$ ほど）。

実際に計算すると $P_{3} = 27 \cdot 8^{7} = 56623104$ 、 $P_{4} = 81 \cdot 8^{6} = 21233664$ でどちらも $8$ 桁、 $P_{2} = 150994944$ は $9$ 桁、 $P_{5} = 7962624$ は $7$ 桁である。

$k = 0, \dots, 10$ で $3^{k} \cdot 8^{10 - k}$ を実際に計算すると、 $8$ 桁になるのは $k = 3, 4$ だけだった。確率は $\frac{330}{1024} = \frac{165}{512}$ である。

$lo g_{10} P_{k}$ は $k$ の減少関数である（係数が $- 0.4259$ ）。不等式を $k$ について解くとき向きが逆になる。

$8$ で割り切れる形にせず、 $8 = 2^{3}$ として $lo g_{10} 2$ を使う。 $lo g_{10} 8 = 3 \times 0.3010 = 0.903$ 。

$n$ 桁の条件は $1 0^{n - 1} \leq P < 1 0^{n}$ である。 $\leq$ と $<$ の向きを合わせる。

$\frac{1.03}{0.4259} = 2.418$ は $2$ より大きいので $k = 2$ は入らない。境目を丁寧に見る。

第1問だけのページ

第2問　微分法

極値をもつ条件・極大値と極小値の差・3次方程式・絶対値当サイトの体感難易度：やや難

3次関数 $y = x^{3} - k x^{2} + k x + 1$ が極大値と極小値をもち、極大値から極小値を引いた値が $4 ∣ k ∣^{3}$ になるとき、 $k$ の値を求める

答 $k = - \frac{3}{8}$

$y^{'} = 3 x^{2} - 2 k x + k$ の2解を $α < β$ とすると、 $α$ が極大、 $β$ が極小である。差を $α, β$ の対称式で表すと、 $(β - α)$ と $k$ だけの式になる。

$y^{'} = 3 x^{2} - 2 k x + k$ である。極大値と極小値をもつ条件は $y^{'} = 0$ が異なる2つの実数解をもつことで

\frac{D}{4} = k^{2} - 3 k > 0 ⟺ k < 0 または k > 3

である。2解を $α < β$ とすると $x^{3}$ の係数が正なので、 $x = α$ で極大、 $x = β$ で極小である。

差を計算する。 $f (x) = x^{3} - k x^{2} + k x + 1$ とおくと

f (α) - f (β) = (α^{3} - β^{3}) - k (α^{2} - β^{2}) + k (α - β)

で、 $α - β$ でくくると

= (α - β) {(α^{2} + α β + β^{2}) - k (α + β) + k}

である。解と係数の関係より $α + β = \frac{2 k}{3}$ 、 $α β = \frac{k}{3}$ なので

α^{2} + α β + β^{2} {\dots} = (α + β)^{2} - α β = \frac{4 k ^{2}}{9} - \frac{k}{3} = \frac{4 k ^{2}}{9} - \frac{k}{3} - \frac{2 k ^{2}}{3} + k = - \frac{2 k ^{2}}{9} + \frac{2 k}{3} = - \frac{2}{9} (k^{2} - 3 k)

である。また

β - α = \frac{2 k ^{2} - 3 k}{3}, α - β = - \frac{2}{3} k^{2} - 3 k

なので

f (α) - f (β) = (- \frac{2}{3} k^{2} - 3 k) (- \frac{2}{9} (k^{2} - 3 k)) = \frac{4}{27} (k^{2} - 3 k)^{3/2}

である（正になっていて、確かに極大 $-$ 極小）。

方程式を解く。 条件は

\frac{4}{27} (k^{2} - 3 k)^{3/2} = 4 ∣ k ∣^{3}

すなわち

(k^{2} - 3 k)^{3/2} = 27 ∣ k ∣^{3} = (3 ∣ k ∣)^{3} = (9 k^{2})^{3/2}

である。両辺とも $0$ 以上なので $\frac{2}{3}$ 乗して

k^{2} - 3 k = 9 k^{2} ⟺ 8 k^{2} + 3 k = 0 ⟺ k (8 k + 3) = 0

である。 $k = 0$ では $k^{2} - 3 k = 0$ となり極値をもたないので不適。よって

k = - \frac{3}{8}

である。これは $k < 0$ をみたし、 $k^{2} - 3 k = \frac{9}{64} + \frac{9}{8} = \frac{81}{64} > 0$ で確かに極値をもつ。

実線が（極大値

-

極小値）

= \frac{4}{27} (k^{2} - 3 k)^{3/2}

、点線が

4 ∣ k ∣^{3}

。極値をもつのは

k < 0

と

k > 3

の部分だけで、2つが交わるのは

k = - \frac{3}{8}

の1か所である（

k \to 0

では両方

0

に近づくが、そこでは極値が消える）。

$k = - \frac{3}{8}$ で極大値 $-$ 極小値を実際に計算すると $0.2109375$ 、 $4 ∣ k ∣^{3} = 0.2109375$ で一致した。 $k$ を $70$ 万点に刻んで条件をみたす値を探すと $- 0.375$ だけだった。

「極大値と極小値をもつ」ので $k^{2} - 3 k > 0$ 、つまり $k < 0$ または $k > 3$ である。これを先に押さえる。

$x^{3}$ の係数が正なので、小さいほうの解 $α$ が極大である。逆にすると符号が反転する。

$27 ∣ k ∣^{3} = (9 k^{2})^{3/2}$ と書き直すのがポイント。 $∣ k ∣$ のまま2乗・3乗すると場合分けが増える。

$k = 0$ は式の上では解だが、極値をもたないので答えにならない。

第2問だけのページ

第3問　空間ベクトル

平面の法線・点と平面の距離・四面体の体積・三角関数の合成当サイトの体感難易度：標準

(1)点 $P$ から平面 $α$ に下ろした垂線と $α$ との交点を $H$ とするとき、線分 $PH$ の長さを $p, q$ を用いて表す

答 $PH = \frac{∣ q - p - 1 ∣}{2}$

$AB$ と $AC$ の外積で法線を求め、平面の方程式を書く。あとは点と平面の距離の公式である。

$AB = (2, 0, 0)$ 、 $AC = (3, 3, 3)$ なので、法線ベクトルは

AB \times AC = (0 \cdot 3 - 0 \cdot 3, 0 \cdot 3 - 2 \cdot 3, 2 \cdot 3 - 0 \cdot 3) = (0, - 6, 6)

で、 $(0, - 1, 1)$ に平行である。 $A (1, 2, 3)$ を通るので平面 $α$ は

0 \cdot (x - 1) - 1 \cdot (y - 2) + 1 \cdot (z - 3) = 0 ⟺ - y + z - 1 = 0

である（ $B, C$ も代入すると成り立つ）。

距離。 $P (6, p, q)$ との距離は

PH = \frac{∣ - p + q - 1 ∣}{0 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣ q - p - 1 ∣}{2}

である。

平面の式に $x$ が出てこない。 $AB$ が $x$ 軸方向なので、 $α$ は $x$ 軸に平行な平面になっている。だから $P$ の $x$ 座標 $6$ は距離に効かない。

$(p, q) = (9, 7), (10, 7), (9, 8)$ で $\frac{∣ q - p - 1 ∣}{2}$ を計算すると $2.12132, 2.828427, 1.414214$ で、外積から直接求めた距離と一致した。

法線は $(0, - 6, 6)$ でも $(0, - 1, 1)$ でもよいが、距離の公式では分母にその大きさを使う。約分した形で揃える。

$P$ は $α$ 上にないので $q - p - 1 \neq = 0$ である。絶対値は外せない。

(2)点 $P$ が $(p - 9)^{2} + (q - 7)^{2} = 1$ をみたしながら動くとき、四面体 $ABCP$ の体積の最大値と最小値を求める

答最大値 $3 + 2$ 、最小値 $3 - 2$

体積は $\frac{1}{3} △ ABC \cdot PH$ である。 $△ ABC$ は定数なので、 $PH$ の最大・最小を求めればよい。 $p, q$ を三角関数で表して合成する。

底面積。 $△ ABC = \frac{1}{2} AB \times AC = \frac{1}{2} ∣ (0, - 6, 6) ∣ = \frac{1}{2} \cdot 62 = 32$ である。

体積。 (1) より

V = \frac{1}{3} \cdot 32 \cdot \frac{∣ q - p - 1 ∣}{2} = ∣ q - p - 1 ∣

である（ $2$ がきれいに約分される）。

$q - p - 1$ の動く範囲。 $p = 9 + cos θ$ 、 $q = 7 + sin θ$ とおくと

q - p - 1 = (7 + sin θ) - (9 + cos θ) - 1 = - 3 + sin θ - cos θ = - 3 + 2 sin (θ - \frac{π}{4})

である。 $sin$ は $- 1$ から $1$ まで動くので

- 3 - 2 \leq q - p - 1 \leq - 3 + 2

で、 $2 = 1.414 < 3$ だからこの値はつねに負である。したがって

V = ∣ q - p - 1 ∣ = 3 - 2 sin (θ - \frac{π}{4})

となり

3 - 2 \leq V \leq 3 + 2

である。よって最大値 $3 + 2$ 、最小値 $3 - 2$ である（ $4.414$ と $1.586$ ）。

$V$ が $0$ にならないので、 $P$ は円周上のどこにあっても $α$ 上に来ない。「 $P$ は $α$ 上にない」という条件が自動的にみたされている。

$P$ を円周上 $6$ 万点以上動かして体積を計算すると、最小 $1.585786438$ 、最大 $4.414213562$ で、 $3 \mp 2$ と一致した。

$2$ が約分されて $V = ∣ q - p - 1 ∣$ というきれいな式になる。ここで計算が軽くなる。

$sin θ - cos θ = 2 sin (θ - \frac{π}{4})$ の合成。係数 $2$ を忘れない。

$- 3 + 2 < 0$ なので絶対値は符号を反転させる。 $V$ の最大は $sin = - 1$ のときである。

第3問だけのページ

第4問　整式

次数の比較・恒等式・係数比較・連立方程式当サイトの体感難易度：やや難

(1) $f (x)$ の次数と $g (x)$ の次数はともに $2$ 以下であることを示す

答次数を $m, n$ とすると第1式から $2 m = n + 2$ 、第2式から $3 n = m + 4$ となり $m = n = 2$

両辺の次数を比べる。第1式から $n$ が $m$ で表せ、それを第2式に入れると $m$ が決まる。右辺でどの項が最高次になるかで場合分けが要る。

$f, g$ は $0$ でないので次数が定まる。 $m = de g f$ 、 $n = de g g$ とおく。

第1式。 左辺 $f (x^{2})$ の次数は $2 m$ 。右辺 $(x^{2} + 2) g (x) + 7$ の次数は $n + 2$ （ $g$ の最高次係数は $0$ でないので打ち消しは起きず、 $n + 2 \geq 2 > 0$ だから $+ 7$ でも変わらない）。よって

2 m = n + 2, すなわち n = 2 m - 2

である。 $n \geq 0$ より $m \geq 1$ である。

第2式。 左辺 $g (x^{3})$ の次数は $3 n = 6 m - 6$ 。右辺は $x^{4} f (x)$ （次数 $m + 4$ ）、 $- 3 x^{2} g (x)$ （次数 $n + 2 = 2 m$ ）、 $- 6 x^{2} - 2$ （次数 $2$ ）の和である。 $m + 4$ と $2 m$ を比べて場合分けする。

$m < 4$ ： $m + 4 > 2 m$ かつ $m + 4 > 2$ なので右辺の次数は $m + 4$ 。 $6 m - 6 = m + 4$ より $m = 2$ 。これは $m < 4$ をみたす。◯
$m > 4$ ： $2 m > m + 4$ なので右辺の次数は $2 m$ 。 $6 m - 6 = 2 m$ より $m = \frac{3}{2}$ となり $m > 4$ に反する。×
$m = 4$ ： $m + 4 = 2 m = 8$ で打ち消しの可能性がある。第1式の最高次を比べると、 $f$ の最高次係数と $g$ の最高次係数が等しい（ともに $x^{8}$ の係数）。よって $x^{4} f - 3 x^{2} g$ の $x^{8}$ の係数は $1 - 3 = - 2$ 倍になって $0$ でなく、右辺の次数は $8$ 。左辺は $3 n = 18$ で合わない。×

よって $m = 2$ 、 $n = 2 m - 2 = 2$ である。どちらも $2$ 以下（実際は $2$ ちょうど）である。

(2) で求める $f = x^{2} + 3$ 、 $g = x^{2} - 2$ はどちらも2次で、確かに $2 m = 4 = n + 2$ 、 $3 n = 6 = m + 4$ をみたす。

$m = 4$ のときだけ打ち消しが起こりうる。ここを飛ばすと論証が穴になる。第1式から2つの最高次係数が等しいと分かるのが鍵である。

$n = 2 m - 2 \geq 0$ から $m \geq 1$ が出る。 $m = 0$ （定数）は第1式を成り立たせられない。

(2) $f (x)$ と $g (x)$ を求める

答 $f (x) = x^{2} + 3$ 、 $g (x) = x^{2} - 2$

(1) より $f = a x^{2} + b x + c$ 、 $g = p x^{2} + q x + r$ とおける。第1式から $q = 0$ などが決まり、第2式に入れれば残りも決まる。

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ 、 $g (x) = p x^{2} + q x + r$ （ $a \neq = 0$ 、 $p \neq = 0$ ）とおく。

第1式。

f (x^{2}) (x^{2} + 2) g (x) + 7 = a x^{4} + b x^{2} + c = p x^{4} + q x^{3} + (r + 2 p) x^{2} + 2 q x + (2 r + 7)

を係数比較して

a = p, q = 0, b = r + 2 p, c = 2 r + 7

である（ $x$ の係数からも $q = 0$ ）。

第2式。 $q = 0$ を使って

g (x^{3}) x^{4} f (x) - 3 x^{2} g (x) - 6 x^{2} - 2 = p x^{6} + r = a x^{6} + b x^{5} + (c - 3 p) x^{4} - (3 r + 6) x^{2} - 2

を係数比較すると

$x^{6}$ ： $p = a$ （第1式と同じ）
$x^{5}$ ： $0 = b$
$x^{4}$ ： $0 = c - 3 p$ 、すなわち $c = 3 p$
$x^{2}$ ： $0 = - (3 r + 6)$ 、すなわち $r = - 2$
定数項： $r = - 2$ （上と一致）

である。 $b = 0$ と $b = r + 2 p$ から $0 = - 2 + 2 p$ 、よって $p = 1$ 、 $a = 1$ 。 $c = 3 p = 3$ で、第1式の $c = 2 r + 7 = - 4 + 7 = 3$ とも合う。

したがって

f (x) = x^{2} + 3, g (x) = x^{2} - 2

である。

確かめ。

(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) + 7 x^{4} (x^{2} + 3) - 3 x^{2} (x^{2} - 2) - 6 x^{2} - 2 = x^{4} - 4 + 7 = x^{4} + 3 = f (x^{2}) = x^{6} + 3 x^{4} - 3 x^{4} + 6 x^{2} - 6 x^{2} - 2 = x^{6} - 2 = g (x^{3})

で、どちらも成り立つ。

$x$ を $- 5$ から $5$ まで $0.01$ 刻みに動かして2つの恒等式を計算すると、どちらも $1 0^{- 9}$ 以内で成り立った。

第1式で $q = 0$ がまず決まる。これを第2式に入れてから係数比較すると式が短くなる。

$c$ は第1式（ $c = 2 r + 7$ ）と第2式（ $c = 3 p$ ）の両方から出る。食い違わないことを確かめておくと検算になる。

最後に両方の恒等式に代入して確かめる。係数比較は条件を使い切ったつもりでも抜けやすい。

第4問だけのページ

大学の公式解答ではなく、当サイト独自の解答・解説です。問題文は掲載していません。解答は当サイトで検算していますが、誤りが残っている可能性はあります。掲載方針配点・採点基準・難易度を大学の公表値として示すことはしていません。

当サイト運営者が制作した教材

同じ形式の問題を、5回分

合格答案をつくる九大文系数学 2027

九大文系数学の出題を分析して書き下ろした予想問題集です。過去問そのものは入っていません。本番と同じ試験時間・大問構成で5回分、解答・詳解・別解に加えて、小問ごとの加点・減点つきの採点表を収録しています。

Amazonで見る収録内容を見る¥2,695・100ページ・2026年8月30日発売

中身を試し読みする

扉・問題・解答などを、それぞれ抜粋して掲載しています。連続したページではありません。画像を押すと拡大できます。

抜粋をPDFでまとめて見る

問題文について

表に 3、裏に 8 が書かれた硬貨を 10 回投げるとき、出た数字 10 個の積が 8 桁になる確率を求める（log10​2=0.3010、log10​3=0.4771）

3次関数 y=x3−kx2+kx+1 が極大値と極小値をもち、極大値から極小値を引いた値が 4∣k∣3 になるとき、k の値を求める

(1)点 P から平面 α に下ろした垂線と α との交点を H とするとき、線分 PH の長さを p,q を用いて表す

(2)点 P が (p−9)2+(q−7)2=1 をみたしながら動くとき、四面体 ABCP の体積の最大値と最小値を求める

(1)f(x) の次数と g(x) の次数はともに 2 以下であることを示す

(2)f(x) と g(x) を求める

同じ形式の問題を、5回分

中身を試し読みする

関連するページ

表に $3$ 、裏に $8$ が書かれた硬貨を $10$ 回投げるとき、出た数字 $10$ 個の積が $8$ 桁になる確率を求める（ $lo g_{10} 2 = 0.3010$ 、 $lo g_{10} 3 = 0.4771$ ）

3次関数 $y = x^{3} - k x^{2} + k x + 1$ が極大値と極小値をもち、極大値から極小値を引いた値が $4 ∣ k ∣^{3}$ になるとき、 $k$ の値を求める

(1)点 $P$ から平面 $α$ に下ろした垂線と $α$ との交点を $H$ とするとき、線分 $PH$ の長さを $p, q$ を用いて表す

(2)点 $P$ が $(p - 9)^{2} + (q - 7)^{2} = 1$ をみたしながら動くとき、四面体 $ABCP$ の体積の最大値と最小値を求める

(1) $f (x)$ の次数と $g (x)$ の次数はともに $2$ 以下であることを示す

(2) $f (x)$ と $g (x)$ を求める