第3問命題と論証の解答・解説

全称と存在・2次不等式・必要十分条件・領域図示当サイトの体感難易度：やや難最終更新 2026/10/12

問題文について

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「すべての実数 $b$ に対して、ある実数 $x$ が $a x^{2} + b x + c < 0$ をみたす」ための $a, c$ の必要十分条件を求め、 $(a, c)$ の範囲を図示する

答 $a < 0$ または $c < 0$ 。 $(a, c)$ の範囲は、座標平面から「 $a \geq 0$ かつ $c \geq 0$ 」の部分（第1象限と正の軸・原点）を除いた残り

$a$ の符号で3つに分けるのが素直だが、先に「 $c < 0$ なら $x = 0$ で終わり」「 $a < 0$ ならグラフが下に開くので終わり」と十分性を押さえてしまうと早い。残るのは $a \geq 0$ かつ $c \geq 0$ の場合で、そこでは $b = 0$ を取れば不成立が示せる。

十分性。 次の2つの場合は、どんな $b$ に対しても $x$ がとれる。

$c < 0$ のとき： $x = 0$ とすれば $a x^{2} + b x + c = c < 0$ 。 $b$ に関係なく成り立つ。
$a < 0$ のとき： $a x^{2} + b x + c$ は $x \to \infty$ で $- \infty$ に発散するので、十分大きい $x$ をとれば負になる。これも $b, c$ に関係ない。

必要性。 逆に $a \geq 0$ かつ $c \geq 0$ とする。 $b = 0$ ととると

a x^{2} + c \geq 0 (すべての x)

なので、 $a x^{2} + b x + c < 0$ をみたす $x$ は存在しない。つまり命題は成り立たない。

以上より、命題が成立するための必要十分条件は

a < 0 または c < 0

である。 $(a, c)$ の範囲は、座標平面全体から「 $a \geq 0$ かつ $c \geq 0$ 」の部分（ $a$ 軸の正の部分と $c$ 軸の正の部分、原点を含む第1象限）を取り除いた残りである。

条件をみたす

(a, c)

の範囲（塗った部分）。横軸が

a

、縦軸が

c

。第1象限（境界の正の半軸と原点を含む）だけが除かれ、残りはすべて条件をみたす。除かれる部分の境界（太い半直線）は範囲に入らない。

$(a, c)$ を $15$ 通り（ $(1, 1), (1, - 1), (- 1, 1), (0, 0), (2, 0), (0.5, 0.0001), (- 0.0001, 5)$ など）とり、 $b$ を $- 20$ から $20$ まで $0.05$ 刻みで動かして「 $a x^{2} + b x + c < 0$ をみたす $x$ があるか」を頂点と $∣ x ∣ = 1 0^{12}$ まで含めて判定すると、結果は「 $a < 0$ または $c < 0$ 」と1件も食い違わなかった。

「すべての $b$ に対して、ある $x$ が…」という入れ子の順番を読み違えない。 $b$ を先に与えられてから $x$ を選ぶので、 $x$ は $b$ に応じて変えてよい。

$a > 0$ の場合に「判別式 $b^{2} - 4 a c > 0$ 」と考えると、 $b$ が自由に動くのでほとんどの $b$ で成り立つが、 $b = 0$ だけが問題になる。そこで $c \geq 0$ だと破れる、という形で必要性が出る。

$a = 0$ （1次または定数）の場合を忘れない。 $b \neq = 0$ なら $x$ はとれるが、 $b = 0$ では $c < 0$ が必要になる。上の「 $b = 0$ をとる」議論はこの場合も同時に片づけている。

境界の扱いに注意する。 $a = 0, c = 0$ （原点）は条件をみたさない。除く側に入る。

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「すべての実数 b に対して、ある実数 x が ax2+bx+c<0 をみたす」ための a,c の必要十分条件を求め、(a,c) の範囲を図示する

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