第2問 2次関数の解答・解説

$f(x)=x^2+2ax+2b|x|$ である。符号で分けると

である（$x=0$ ではどちらも $0$ で一致する）。

右半分（$x\ge 0$）の最小。 頂点は $x=-(a+b)$ である。$-(a+b)\ge 0$、つまり $a\le -b$ のとき頂点が定義域に入り最小値は $-(a+b{)}^2$、$a>-b$ のときは $x=0$ で最小値 $0$ である。

左半分（$x\le 0$）の最小。 頂点は $x=-(a-b)=b-a$ である。$b-a\le 0$、つまり $a\ge b$ のとき頂点が入り最小値は $-(a-b{)}^2$、$a<b$ のときは $x=0$ で最小値 $0$ である。

合わせる。 $b>0$ なので $-b<b$ であり、$a\le -b$ と $a\ge b$ が同時に起こることはない。

1. $a\le -b$：右半分が $-(a+b{)}^2$、左半分は（$a<b$ なので）$0$。よって $m=-(a+b{)}^2$。
2. $-b\le a\le b$：どちらも $0$。よって $m=0$。
3. $a\ge b$：右半分は（$a>-b$ なので）$0$、左半分が $-(a-b{)}^2$。よって $m=-(a-b{)}^2$。

すなわち

である。グラフは、$-b\le a\le b$ では $a$ 軸に重なる線分、その外側では上に凸の放物線を $a=\mp b$ を頂点として下向きに描いたものになる。$a=\pm b$ で値も傾きも $0$ でつながるので、なめらかにつながる。