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京都大学　2019年度　前期日程　文系

第1問整式／指数・対数の解答・解説

多項式の割り算・係数比較・桁数・累乗の評価当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/12

問題文について

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問1 $x^{5} + 2 x^{4} + a x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ を $x^{3} + x^{2} + x + 1$ で割った余り $R (x)$ の1次の係数が $1$ のとき、 $a$ と $Q (x)$ 、 $R (x)$ を求める

答 $a = 3$ 、 $Q (x) = x^{2} + x + 1$ 、 $R (x) = x + 1$

$a$ を文字のまま置いて素直に筆算すればよい。 $3$ 次式で割るので余りは2次以下で、その1次の係数が $a$ の1次式になる。そこに条件を入れるだけである。

$a$ を文字のまま、 $x^{3} + x^{2} + x + 1$ で割る。

$x^{2}$ を立てて引くと、 $x^{4} + (a - 1) x^{3} + 2 x^{2} + 3 x + 2$ が残る。
$x$ を立てて引くと、 $(a - 2) x^{3} + x^{2} + 2 x + 2$ が残る。
$a - 2$ を立てて引くと、 $(3 - a) x^{2} + (4 - a) x + (4 - a)$ が残る。

よって

Q (x) = x^{2} + x + (a - 2), R (x) = (3 - a) x^{2} + (4 - a) x + (4 - a)

である。 $R (x)$ の1次の係数が $1$ という条件は

4 - a = 1 ⟺ a = 3

である。このとき

Q (x) = x^{2} + x + 1, R (x) = 0 \cdot x^{2} + x + 1 = x + 1

である。

$a = 3$ のとき $R$ の2次の係数も $0$ になり、余りがちょうど1次式 $x + 1$ になる。これは偶然ではなく、 $3 - a$ と $4 - a$ がどちらも $a$ の同じ1次式だからである。

$(x^{3} + x^{2} + x + 1) (x^{2} + x + 1) + (x + 1)$ を展開すると $x^{5} + 2 x^{4} + 3 x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ で、 $a = 3$ のもとの式と一致する。

$3$ 次式で割った余りは2次以下である。 $R (x)$ を1次式と決めつけてから係数を比べない（結果的に1次になるだけ）。

筆算では $x^{5} + 2 x^{4} + a x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 2$ のように係数をすべて書き出しておく。 $a$ を含む項をまたいで引き算するので、 $0$ の項があると間違えやすい。

問2 $8.9 4^{18}$ の整数部分の桁数と、最高位からの2桁を求める

答 $18$ 桁で、最高位からの2桁は $13$

$8.9 4^{2} = 79.9236$ が $80$ にとても近いことを使う。 $8.9 4^{18} = (8.9 4^{2})^{9}$ なので $8 0^{9} = 8^{9} \times 1 0^{9}$ と比べればよく、ずれは $(1 - ε)^{9} \geq 1 - 9 ε$ で押さえられる。

$8.9 4^{2} = 79.9236$ なので

8.9 4^{18} = (8.9 4^{2})^{9} = 79.923 6^{9}

である。

上から。 $79.9236 < 80$ より

8.9 4^{18} < 8 0^{9} = 8^{9} \times 1 0^{9} = 134217728 \times 1 0^{9} = 1.34217728 \times 1 0^{17}

である。

下から。 $79.9236 > 79.9 = 80 (1 - 0.00125)$ で、 $0 \leq ε \leq 1$ のとき $(1 - ε)^{9} \geq 1 - 9 ε$ （展開すれば分かる）だから

79.923 6^{9} > 8 0^{9} (1 - 0.00125)^{9} \geq 8 0^{9} (1 - 0.01125) = 0.98875 \times 1.34217728 \times 1 0^{17}

であり、右辺は $1.3270 \dots \times 1 0^{17}$ である。よって

1.327 \times 1 0^{17} < 8.9 4^{18} < 1.343 \times 1 0^{17}

である。 $1 0^{17} \leq 8.9 4^{18} < 1 0^{18}$ なので整数部分は $18$ 桁、また $1.30 \times 1 0^{17} \leq 8.9 4^{18} < 1.40 \times 1 0^{17}$ なので最高位からの2桁は

13

である。

常用対数表を使うなら、 $lo g_{10} 8.94 = 0.9513$ から $18 \times 0.9513 = 17.1234$ 、 $1 0^{0.1234} = 1.328 \dots$ として同じ結論が出る。上の道筋は表を使わずに済ませたものである。

$8.9 4^{18}$ を多倍長で計算すると $133068523579410927.2257 \dots$ で、整数部分は $18$ 桁、最高位からの2桁は $13$ である。 $lo g_{10} 8.94 \times 18 = 17.12408$ とも合っている。

「整数部分の桁数」は $1 0^{17} \leq N < 1 0^{18}$ で $18$ 桁である。指数 $17$ と桁数 $18$ を取り違えない。

最高位からの2桁を決めるには、 $1.30 \times 1 0^{17}$ と $1.40 \times 1 0^{17}$ のあいだに入ることまで示す必要がある。上下の評価を両方書く。

$(1 - ε)^{9} \geq 1 - 9 ε$ は、二項展開の2項目までで打ち切った不等式である。 $ε$ が小さいときに効く。

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問1x5+2x4+ax3+3x2+3x+2 を x3+x2+x+1 で割った余り R(x) の1次の係数が 1 のとき、a と Q(x)、R(x) を求める

問28.9418 の整数部分の桁数と、最高位からの2桁を求める

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