第3問 ベクトルの解答・解説

$\vec{u}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$、$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおく。条件は $\left|\vec{u}\right|=\left|\vec{v}\right|=1$ である。また

である。3つめの条件は

すなわち

である。${\left|\vec{u}\right|}^2=1$ なので

である。つまり求める内積は $0$ で、$\vec{u}$ と $\vec{v}$ は垂直な単位ベクトルである。

$\vec{u},\vec{v}$ が正規直交なら $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{2\vec{u}-\vec{v}}{3}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{2\vec{v}-\vec{u}}{3}$ なので、$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\frac{\sqrt{5}}{3}$、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\frac{4}{9}$ である。$\mathrm{A},\mathrm{B}$ 自身は特別な位置ではなく、$\vec{u},\vec{v}$ に移してから考えるのが見通しがよい。

(1) より $\vec{u},\vec{v}$ は正規直交基底なので、平面上の任意の点 $\mathrm{P}$ は

とただ一通りに書け、${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2=p^2+q^2$ である。また $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}$ は $\left(p,q\right)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ にあたる。

条件を書き直す。1つめは

で、中心 $\mathrm{C}\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$、半径 $\frac{1}{3}$ の円板である。2つめは $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{u}=p$ なので

である。これは中心 $\mathrm{C}$ を通る縦線の左側なので、動ける範囲は円板の左半分（半円板）である。

原点 $\mathrm{O}$ から中心 $\mathrm{C}$ までの距離は

で、半径 $\frac{1}{3}$ より大きい（$\sqrt{2}>1$）。つまり $\mathrm{O}$ は円板の外にある。

最小。円板全体で $\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$ が最小になるのは、線分 $\mathrm{OC}$ と円周の交点

で、そこでの値は $\mathrm{OC}-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$ である。${\mathrm{P}}_0$ の $p$ 座標は $\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt{2}}\doteqdot 0.0976<\frac{1}{3}$ なので、半円板の中に入っている。よって

である。

最大。円板全体での最大は $\mathrm{C}+\frac{1}{3}\cdot \frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}$ で起きるが、その $p$ 座標は $\frac{1}{3}+\frac{1}{3\sqrt{2}}>\frac{1}{3}$ なので半円板の外である。そこで半円板の境界で考える。

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2=p^2+q^2$ は $p$ を固定すれば $\left|q\right|$ が大きいほど大きい。半円板の中で $\left|q\right|$ を最も大きくできるのは直径 $p=\frac{1}{3}$ の上端 $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ で、実際に

である。これが最大であることは次のように確かめられる。円板上の点は $\mathrm{C}+\frac{1}{3}\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)$ の形（内部を含めるなら半径を $r\le \frac{1}{3}$ に）で、

である。$p\le \frac{1}{3}$ は $\cos \theta \le 0$ を意味し、このとき $\cos \theta +\sin \theta \le 1$（等号は $\theta =\frac{\pi }{2}$）であり、$r\le \frac{1}{3}$ と合わせて

である。等号は $r=\frac{1}{3}$、$\theta =\frac{\pi }{2}$、つまり $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ のときである。よって

である。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{u}\le \frac{1}{3}$ という条件は、$\vec{u}$ が単位ベクトルなので「$\vec{u}$ 方向の成分が $\frac{1}{3}$ 以下」、つまり中心 $\mathrm{C}$ を通る直線で切った半分という意味になる。$\vec{u},\vec{v}$ を基底にとると、2つの条件がどちらも素直な形になるのがこの問題の仕掛けである。