阪大文系 2023年度 数学の解答・解説

$\cos 2\theta =1-2{\sin }^2\theta$ なので、$s=\sin \theta$ とおくと方程式は

である。$\theta$ が実数全体を動くとき $s=\sin \theta$ は $-1\le s\le 1$ をくまなく動き、逆に $-1\le s\le 1$ のどの値も $\sin \theta$ として実現できる。よって

である。

そこで $a$ を固定し、$g\left(s\right)=-2s^2-as+1$ の $-1\le s\le 1$ での値域を求める。$g$ は連続なので値域は閉区間 $\left[\min g,\max g\right]$ であり、求める条件は $\min g\le b\le \max g$ である。

$g$ は上に凸の2次関数で

なので、軸は $s=-\frac{a}{4}$、頂点の値は $\frac{a^2}{8}+1$ である。両端では

である。

最大。軸が区間に入る条件は $-1\le -\frac{a}{4}\le 1$、すなわち $\left|a\right|\le 4$ である。

1. $\left|a\right|\le 4$ のとき：$\max g=\frac{a^2}{8}+1$
2. $a>4$ のとき：軸が $-1$ より左なので $g$ は区間で減少し、$\max g=g\left(-1\right)=a-1$
3. $a<-4$ のとき：軸が $1$ より右なので $g$ は区間で増加し、$\max g=g\left(1\right)=-a-1$

$a>4$ と $a<-4$ をまとめると $\max g=\left|a\right|-1$ である。

最小。上に凸なので最小は必ず両端のどちらかで、

である（軸の位置によらない）。

まとめると、求める存在範囲は

である（境界を含む）。$\left|a\right|=4$ では $\frac{a^2}{8}+1=3=\left|a\right|-1$ でつながっている。

上の境界が放物線から直線に切り替わる $\left|a\right|=4$ は、「頂点がちょうど区間の端 $s=\mp 1$ に来る」ところである。放物線 $b=\frac{a^2}{8}+1$ の $a=4$ での接線の傾きは $\frac{a}{4}=1$ なので、直線 $b=a-1$ と接線がそろい、境界はとがらずになめらかにつながる。

底の変換公式 ${\log }_{c}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}c}$ を使う。$t={\log }_{2}x$ とおくと

である。したがって

である。

$t={\log }_{2}x$ は増加関数なので、$\frac{1}{2}\le x\le 8$ は

に対応する。$y=-t^3+3a{t}^2$ を $t$ で微分すると

である。$a>0$ より $2a>0$ なので、$y$ は $t<0$ で減少、$0<t<2a$ で増加、$t>2a$ で減少する。したがって $-1\le t\le 3$ での最大値の候補は

1. 左端 $t=-1$：$y=1+3a$
2. 極大 $t=2a$（$2a\le 3$ のとき区間内）：$y=-8a^3+12a^3=4a^3$
3. 右端 $t=3$（$2a\ge 3$ のとき、そこまで増加）：$y=-27+27a=27\left(a-1\right)$

の3つである。

$0<a\le \frac{3}{2}$ のとき（$2a\le 3$）。$t=3$ は $t>2a$ の側なので候補から外れ（$y\left(3\right)\le y\left(2a\right)$）、$M=\max \left(1+3a,4a^3\right)$ である。差をとると

である（$a=1$ が解なので $a-1$ で割った）。$a>0$ では ${\left(2a+1\right)}^2>0$ なので、符号は $a-1$ と同じである。よって

1. $0<a\le 1$：$4a^3\le 1+3a$ なので $M=1+3a$
2. $1\le a\le \frac{3}{2}$：$4a^3\ge 1+3a$ なので $M=4a^3$

$a\ge \frac{3}{2}$ のとき（$2a\ge 3$）。$y$ は $0\le t\le 3$ で増加するので、右端 $t=3$ が内部の候補になり、$M=\max \left(1+3a,27\left(a-1\right)\right)$ である。

であり、$a\ge \frac{3}{2}>\frac{7}{6}$ なのでこれは正。よって $M=27\left(a-1\right)$ である。

まとめると

である。$a=1$ では $1+3=4$ と $4\cdot 1=4$、$a=\frac{3}{2}$ では $4\cdot \frac{27}{8}=\frac{27}{2}$ と $27\cdot \frac{1}{2}=\frac{27}{2}$ で、つなぎ目は一致する。

$\vec{u}=2\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}$、$\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+2\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ とおく。条件は $\left|\vec{u}\right|=\left|\vec{v}\right|=1$ である。また

である。3つめの条件は

すなわち

である。${\left|\vec{u}\right|}^2=1$ なので

である。つまり求める内積は $0$ で、$\vec{u}$ と $\vec{v}$ は垂直な単位ベクトルである。

$\vec{u},\vec{v}$ が正規直交なら $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\frac{2\vec{u}-\vec{v}}{3}$、$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{2\vec{v}-\vec{u}}{3}$ なので、$\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{OB}}\right|=\frac{\sqrt{5}}{3}$、$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-\frac{4}{9}$ である。$\mathrm{A},\mathrm{B}$ 自身は特別な位置ではなく、$\vec{u},\vec{v}$ に移してから考えるのが見通しがよい。

(1) より $\vec{u},\vec{v}$ は正規直交基底なので、平面上の任意の点 $\mathrm{P}$ は

とただ一通りに書け、${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2=p^2+q^2$ である。また $\overrightarrow{\mathrm{OA}}+\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\frac{\vec{u}+\vec{v}}{3}$ は $\left(p,q\right)=\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$ にあたる。

条件を書き直す。1つめは

で、中心 $\mathrm{C}\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)$、半径 $\frac{1}{3}$ の円板である。2つめは $\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{u}=p$ なので

である。これは中心 $\mathrm{C}$ を通る縦線の左側なので、動ける範囲は円板の左半分（半円板）である。

原点 $\mathrm{O}$ から中心 $\mathrm{C}$ までの距離は

で、半径 $\frac{1}{3}$ より大きい（$\sqrt{2}>1$）。つまり $\mathrm{O}$ は円板の外にある。

最小。円板全体で $\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|$ が最小になるのは、線分 $\mathrm{OC}$ と円周の交点

で、そこでの値は $\mathrm{OC}-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}-1}{3}$ である。${\mathrm{P}}_0$ の $p$ 座標は $\frac{1}{3}-\frac{1}{3\sqrt{2}}\doteqdot 0.0976<\frac{1}{3}$ なので、半円板の中に入っている。よって

である。

最大。円板全体での最大は $\mathrm{C}+\frac{1}{3}\cdot \frac{\overrightarrow{\mathrm{OC}}}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OC}}\right|}$ で起きるが、その $p$ 座標は $\frac{1}{3}+\frac{1}{3\sqrt{2}}>\frac{1}{3}$ なので半円板の外である。そこで半円板の境界で考える。

${\left|\overrightarrow{\mathrm{OP}}\right|}^2=p^2+q^2$ は $p$ を固定すれば $\left|q\right|$ が大きいほど大きい。半円板の中で $\left|q\right|$ を最も大きくできるのは直径 $p=\frac{1}{3}$ の上端 $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ で、実際に

である。これが最大であることは次のように確かめられる。円板上の点は $\mathrm{C}+\frac{1}{3}\left(\cos \theta ,\sin \theta \right)$ の形（内部を含めるなら半径を $r\le \frac{1}{3}$ に）で、

である。$p\le \frac{1}{3}$ は $\cos \theta \le 0$ を意味し、このとき $\cos \theta +\sin \theta \le 1$（等号は $\theta =\frac{\pi }{2}$）であり、$r\le \frac{1}{3}$ と合わせて

である。等号は $r=\frac{1}{3}$、$\theta =\frac{\pi }{2}$、つまり $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$ のときである。よって

である。

$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \vec{u}\le \frac{1}{3}$ という条件は、$\vec{u}$ が単位ベクトルなので「$\vec{u}$ 方向の成分が $\frac{1}{3}$ 以下」、つまり中心 $\mathrm{C}$ を通る直線で切った半分という意味になる。$\vec{u},\vec{v}$ を基底にとると、2つの条件がどちらも素直な形になるのがこの問題の仕掛けである。