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大阪大学　2023年度　前期日程　文系

第2問対数・微分の解答・解説

底の変換・3次関数の最大・場合分け・対数当サイトの体感難易度：標準最終更新 2026/10/14

問題文について

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(1)正の実数 $a, x$ に対して $y = (lo g_{\frac{1}{2}} x)^{3} + a (lo g_{2} x) (lo g_{4} x^{3})$ とする。 $t = lo g_{2} x$ とするとき、 $y$ を $a, t$ で表す

答 $y = - t^{3} + 3 a t^{2}$

底をすべて $2$ にそろえる。

底の変換公式 $lo g_{c} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} c}$ を使う。 $t = lo g_{2} x$ とおくと

lo g_{\frac{1}{2}} x lo g_{2} x lo g_{4} x^{3} = \frac{t}{lo g _{2} \frac{1}{2}} = \frac{t}{- 1} = - t = \frac{t}{lo g _{2} 2} = \frac{t}{\frac{1}{2}} = 2 t = \frac{lo g _{2} x ^{3}}{lo g _{2} 4} = \frac{3 t}{2}

である。したがって

y = (- t)^{3} + a \cdot 2 t \cdot \frac{3 t}{2} = - t^{3} + 3 a t^{2}

である。

無作為な $5000$ 組で元の式と一致した。

$lo g_{4} x^{3}$ は $(lo g_{4} x)^{3}$ ではない。真数の $3$ 乗なので $3 lo g_{4} x$ になる。

$lo g_{2} x$ の底は $2^{1/2}$ なので $lo g_{2} 2 = \frac{1}{2}$ 、割ると $2$ 倍。 $\frac{1}{2}$ 倍にしない。

(2) $x$ が $\frac{1}{2} \leq x \leq 8$ の範囲を動くとき、 $y$ の最大値 $M$ を $a$ で表す

答 $M = 1 + 3 a$ （ $0 < a \leq 1$ ）、 $M = 4 a^{3}$ （ $1 \leq a \leq \frac{3}{2}$ ）、 $M = 27 (a - 1)$ （ $a \geq \frac{3}{2}$ ）

$t$ の範囲は $- 1 \leq t \leq 3$ 。増減から候補は $t = - 1$ 、 $t = 2 a$ 、 $t = 3$ の3つ。

$t = lo g_{2} x$ は増加関数なので、 $\frac{1}{2} \leq x \leq 8$ は

lo g_{2} \frac{1}{2} \leq t \leq lo g_{2} 8, - 1 \leq t \leq 3

に対応する。 $y = - t^{3} + 3 a t^{2}$ を $t$ で微分すると

\frac{d y}{d t} = - 3 t^{2} + 6 a t = - 3 t (t - 2 a)

である。 $a > 0$ より $2 a > 0$ なので、 $y$ は $t < 0$ で減少、 $0 < t < 2 a$ で増加、 $t > 2 a$ で減少する。したがって $- 1 \leq t \leq 3$ での最大値の候補は

左端 $t = - 1$ ： $y = 1 + 3 a$
極大 $t = 2 a$ （ $2 a \leq 3$ のとき区間内）： $y = - 8 a^{3} + 12 a^{3} = 4 a^{3}$
右端 $t = 3$ （ $2 a \geq 3$ のとき、そこまで増加）： $y = - 27 + 27 a = 27 (a - 1)$

の3つである。

$0 < a \leq \frac{3}{2}$ のとき（ $2 a \leq 3$ ）。 $t = 3$ は $t > 2 a$ の側なので候補から外れ（ $y (3) \leq y (2 a)$ ）、 $M = max (1 + 3 a, 4 a^{3})$ である。差をとると

4 a^{3} - (3 a + 1) = (a - 1) (2 a + 1)^{2}

である（ $a = 1$ が解なので $a - 1$ で割った）。 $a > 0$ では $(2 a + 1)^{2} > 0$ なので、符号は $a - 1$ と同じである。よって

$0 < a \leq 1$ ： $4 a^{3} \leq 1 + 3 a$ なので $M = 1 + 3 a$
$1 \leq a \leq \frac{3}{2}$ ： $4 a^{3} \geq 1 + 3 a$ なので $M = 4 a^{3}$

$a \geq \frac{3}{2}$ のとき（ $2 a \geq 3$ ）。 $y$ は $0 \leq t \leq 3$ で増加するので、右端 $t = 3$ が内部の候補になり、 $M = max (1 + 3 a, 27 (a - 1))$ である。

27 (a - 1) - (3 a + 1) = 24 a - 28 = 4 (6 a - 7)

であり、 $a \geq \frac{3}{2} > \frac{7}{6}$ なのでこれは正。よって $M = 27 (a - 1)$ である。

まとめると

M = ⎩ ⎨ ⎧ 1 + 3 a 4 a^{3} 27 (a - 1) (0 < a \leq 1) (1 \leq a \leq \frac{3}{2}) (a \geq \frac{3}{2})

である。 $a = 1$ では $1 + 3 = 4$ と $4 \cdot 1 = 4$ 、 $a = \frac{3}{2}$ では $4 \cdot \frac{27}{8} = \frac{27}{2}$ と $27 \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{2}$ で、つなぎ目は一致する。

a = 1.2 のとき（2a = 2.4 が区間の中）。t = log₂x は −1 ≦ t ≦ 3 を動く。候補は左端 t = −1（値 4.6）、極大 t = 2a（値 6.912）、右端 t = 3（値 5.4）の 3 つで、この a では極大が最大。点線が区間の両端。

$7$ 通りの $a$ で $40$ 万等分の走査と式が小数第6位まで一致した。

$x$ の範囲ではなく $t$ の範囲に直してから考える。 $\frac{1}{2} \leq x \leq 8$ は $- 1 \leq t \leq 3$ 。

$4 a^{3} - 3 a - 1$ は $a = 1$ を解にもつ。因数分解して $(a - 1) (2 a + 1)^{2}$ とすると符号が一目でわかる。

$a > \frac{3}{2}$ では極大点 $t = 2 a$ が区間の外に出る。「極大だから最大」と決めつけない。

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問題文について

(1)正の実数 a,x に対して y=(log21​​x)3+a(log2​​x)(log4​x3) とする。t=log2​x とするとき、y を a,t で表す

(2)x が 21​≤x≤8 の範囲を動くとき、y の最大値 M を a で表す

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(1)正の実数 $a, x$ に対して $y = (lo g_{\frac{1}{2}} x)^{3} + a (lo g_{2} x) (lo g_{4} x^{3})$ とする。 $t = lo g_{2} x$ とするとき、 $y$ を $a, t$ で表す

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